Kiến thức

Mặt và đường cong bậc hai

Mặt và đường cong bậc hai

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Đường cong bậc hai dạng tổng quát trên mặt phẳng có dạng

ax^2+ by^2+2cxy +2dx+2ey+f=0

trong đó a, b, c, d, e, f là các hằng số thực.

Bằng phép biến đổi tuyến tính (nói một cách dễ hiểu, ta ghép vào thành các số hạng có dạng bình phương) ta có thể chuyển thành một trong các dạng sau:

X^2 + Y^2= R^2, (đường tròn- ellip)

X^2- Y^2=R^2 (hyperbol)

X^2-2Y=0. (parabol)

Với dạng ellip ta chọn cách tham số hóa theo hệ tọa độ cực

X= Rcos{(varphi)}, Y=Rsin{(varphi)}, 0le varphile 2pi.

Với dạng hyperbol ta chọn cách tham số hóa

X= Rcosh{(t)}, Y=Rsinh{(t)}, 0le t.

Trường hợp parabol đơn giản Y=dfrac{1}{2}X^2.

Mặt cong bậc hai trong không gian dạng tổng quát

a_1x^2+a_2y^2+a_3z^2+2b_1xy +2b_2yz+2b_3zx+

+2c_1x+2c_2y+2c_3z+d=0,

trong đó a_i, b_i, c_i, i=1, 2, 3,d là các số thực.

Bằng phép biến đổi tuyến tính ta sẽ chuyển về một trong các dạng sau

X^2 +Y^2+ Z^2=R^2, (mặt cầu- ellipsoid)

X^2+Y^2=Z^2, (mặt nón)

X^2+Y^2=Z^2+a, anot=0, (hyperboloid)

X^2+Y^2= R^2, (mặt trụ)

X^2+Y^2+2Z=0, (paraboloid)

X^2 +2Y=0.

Với trường hợp mặt ellipsoid chọn cách tham số hóa cầu

X=Rcos{(varphi)}sin{(theta)}, Y=Rsin{(varphi)}sin{(theta)}, Z=Rcos{theta},

0le varphile 2pi, 0le thetale pi.

Với các trường hợp còn lại, trừ trường hợp cuối cùng, ta dùng cách tham số trụ

X=Rcos{(varphi)}, Y=Rsin{(varphi)}, Z=Z, 0le varphile 2pi.

Mặt nón ta có R=|Z|.

Mặt hyperbol ta có R^2-Z^2=a, anot=0.

Nếu a=r^2>0 ta tham số R=rcosh{(t)}, Z=rsinh{(t)}, 0le t.

Nếu a=-r^2<0 ta tham số ngược lại.

About datuan5pdes

Giảng viên của Khoa Toán – Bộ môn Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội. Hướng nghiên cứu: Phương trình Đạo hàm riêng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button