Kiến thức

Liên tục đều: dấu hiệu – phản ví dụ

Liên tục đều: dấu hiệu – phản ví dụ

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Một cách hiểu nôm na về tính liên tục đều: khoảng cách giữa các giá trị của hàm số tại hai điểm sẽ nhỏ lại khi khoảng cách giữa hai điểm nhỏ lại mà không cần biết chúng ở đâu!

Còn không liên tục đều: có hai dãy điểm tiến sát nhau nhưng khoảng cách giữa giá trị của hàm số lại vẫn cách nhau một khoảng lớn hơn một số định trước.

Bây giờ ta đi vào cụ thể hơn đối với hàm số f: (a, b)tomathbb R.

Dĩ nhiên hàm không liên tục thì không liên tục đều! Nên dấu hiệu đầu tiên là kiểm tra xem hàm có liên tục hay không!

Khi hàm số f liên tục ta sẽ kiểm tra giới hạn của hàm tại hai đầu mút! Nếu có các giới hạn tại hai đầu mút

lim_{xto a}f(x), lim_{xto b}f(x)

thì hàm số f liên tục đều.

Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng! Chẳng hạn ta xét ví dụ

f(x)=sin{x}, xinmathbb R, hay f(x)=x, xinmathbb R.

Lý do ở đây miền xác định (a, b) là vô hạn!

Còn khi -infty< a<b<+infty thì điều ngược lại là đúng! Nghĩa là, hàm f liên tục đều khi và chỉ khi có giới hạn tại hai đầu mút!

Ta cũng có kết quả khá giống khi một đầu hữu hạn, một đầu vô hạn như sau.

Hàm f:(0, +infty)tomathbb R nếu không có giới hạn tại x=0 thì không liên tục đều.

Vậy lý do gì mà hai hàm f(x)=sin{x}, xinmathbb Rf(x)=x, xinmathbb R là liên tục đều? Rất đơn giản đạo hàm của chúng lần lượt là f'(x)=cos{x}f'(x)=1 bị chặn!

Ta có dấu hiệu: nếu hàm số fđạo hàm là hàm bị chặn thì nó liên tục đều!

Điều ngược lại ở đây cũng không đúng vì ta có ví dụ sau.

Hàm f(x)=sqrt{x}, x>0, liên tục đều và đạo hàm của nó f'(x)=dfrac{1}{2sqrt{x}} không bị chặn.

Lý do đạo hàm của nó không bị chặn tại 0 nhưng bản thân nó lại có giới hạn tại 0.

Ta có dấu hiệu sau.

Hàm f:(0, +infty)tomathbb R thỏa mãn:

+) có giới hạn lim_{xto 0}f(x),

+) tồn tại điểm x_0>0 và số M>0 sao cho |f'(x)|<M với mọi xge x_0

thì nó liên tục đều.

Hàm f:(0, +infty)tomathbb R sẽ không liên tục đều nếu:

nó có đạo hàm là hàm đơn điệu và lim_{xto+infty}|f'(x)|=+infty.

Hãy thử xây dựng hàm liên tục đều có đạo hàm không bị chặn ở vô cùng và không đơn điệu?

Hàm f(x)=sin{(x^2)} không liên tục đều có đạo hàm không bị chặn ở vô cùng và không đơn điệu.

Một hướng khác: để ý rằng có đạo hàm bị chặn thì hàm số là dưới tuyến tính nghĩa là có các số dương A, B sao cho

|f(x)|le A|x|+B.

Từ định nghĩa của hàm liên tục đều ta có ngay hàm liên tục đều là dưới tuyến tính.

Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn hàm dưới tuyến tính f(x)=xsin{(x)}, xinmathbb R, không liên tục đều!

Hướng khác nữa: hàm có đạo hàm bị chặn là hàm Lipschitz, nghĩa là có số dương L sao cho

|f(x)-f(y)|le L|x-y|.

Dễ thấy hàm Lipschitz thì liên tục đều.

Điều ngược lại cũng không đúng. Chẳng hạn hàm liên tục đều f(x)=xsin{(1/x)}, x>0, không Lipschitz.

About datuan5pdes

Giảng viên của Khoa Toán – Bộ môn Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội. Hướng nghiên cứu: Phương trình Đạo hàm riêng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button