Kiến thức

Một số cách tính tích phân suy rộng

Một số cách tính tích phân suy rộng

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Cách tính tích phân suy rộng đơn thuần nhất xuất phát từ định nghĩa. Chẳng hạn ta tính các tích phân sau

I_c=int_0^infty e^{-ax}cos(bx)dx, ; I_s=int_0^infty e^{-ax}sin(bx); (a>0).

Dùng tích phân từng phần hai lần ta có được các nguyên hàm

int e^{-ax}cos(bx)dx=dfrac{e^{-ax}(bsin(bx)-acos(bx))}{a^2+b^2}+C,

int e^{-ax}sin(bx)dx=-dfrac{e^{-ax}(asin(bx)+bcos(bx))}{a^2+b^2}+C

nên

I_c=lim_{Ato+infty}dfrac{e^{-ax}(bsin(bx)-acos(bx))}{a^2+b^2}Big|_{x=0}^A=dfrac{a}{a^2+b^2},

I_s=lim_{Ato+infty}dfrac{e^{-ax}(-asin(bx)-bcos(bx))}{a^2+b^2}Big|_{x=0}^A=dfrac{b}{a^2+b^2}.

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng viết tường minh được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, chẳng hạn một số hàm:

e^{-x^2}, cos(x^2), dfrac{sin(x)}{x}, .v.v.

Lúc này công cụ khá hữu hiệu để tính chính là tích phân phụ thuộc tham số.

Dưới đây tôi sẽ trình bày một số phương pháp để tính tích phân dạng:

I(a, b)=int_0^infty e^{-ax}dfrac{sin(bx)}{x}dx ; (a>0).

Trước hết dễ có tích phân I(a,b) hội tụ từ Định lý Abel:

+) dfrac{1}{x} là hàm đơn điệu giảm theo x và bị chặn dưới bởi 0,

+) int_0^infty e^{-ax}sin(bx)dx hội tụ.

Cách 1: (Dùng đạo hàm) Ta có thể đạo hàm theo a hoặc b. Muốn dùng được cách này ta cần biết giá trị của I(a, b) tại một điểm đặc biệt chẳng hạn

I(a, 0)=0.

Ta cũng có thể nghĩ đến

I(0, b)=int_0^infty dfrac{sin(bx)}{x}dx.

Tuy nhiên trong bài này tôi sẽ tính I(0, b) và không coi đó là kết quả đã biết.

Với gợi ý trên ta cố định a>0 và sẽ xem xét đạo hàm I_b(a, b). Ta dùng khái niệm hội tụ đều để đẩy đạo hàm vào bên trong dấu tích phân.

Có:

|e^{-ax}cos(bx)|le e^{-ax}, forall xin (0, +infty), binmathbb R,

int_0^infty e^{-ax}dx hội tụ khi a>0

nên theo Weierstrass có tích phân

int_0^infty e^{-ax}cos(bx)dx hội tụ đều theo b trên mathbb R.

Như vậy ta có thể chuyển phép lấy đạo hàm theo b qua dấu tích phân, nghĩa là

I_b(a, b)=int_0^infty e^{-ax}cos(bx)dx=dfrac{a}{a^2+b^2}.

Từ đó, ta tích phân trở lại

I(a, b)=I(a, 0)+int_0^b I_b(a, c)dc=int_0^b dfrac{a}{a^2+c^2}dc=arctan(b/a).

Cách 2: (Dùng tích phân) Ta có thể nhìn cách trên qua cách nhìn tích phân như sau.

Để ý rằng:

dfrac{sin(bx)}{x}=int_0^b cos(xy)dy

nên

I(a, b)=int_0^infty e^{-ax}dxint_0^b cos(xy)dy.

Ta lại dùng khái niệm hội tụ đều để chuyển dấu tích phân qua dấu tích phân.

Như trên có J(y)=int_0^infty e^{-ax}cos(xy)dx hội tụ đều theo y trên mathbb R và hàm e^{-ax}cos(x, y) liên tục theo y nên hàm J(y) liên tục, do đó khả tích và ta có thể dấu tích phân qua dấu tích phân, nghĩa là

int_0^b J(y)dy=I(a, b).

Cũng bằng cách tính tích phân ta có thể xuất phát từ

dfrac{e^{-ax}}{x}=int_a^infty e^{-xy}dy.

Khi đó

I(a, b)=int_0^infty sin(bx)dxint_a^infty e^{-xy}dy.

Do H(y)=int_0^infty e^{-xy}sin(bx)dx hội tụ đều theo y trên mathbb R nên tương tự trên, với mọi A>a

int_a^A dy int_0^infty e^{-xy}sin(bx)dx=int_0^infty dx int_a^A e^{-xy}sin(bx)dy.

int_0^infty g(A, x)dx, với g(A, x)=sin(bx)dfrac{e^{-ax}-e^{-Ax}}{x}, hội tụ đều theo A trên (0, +infty).

Bạn đọc thử viết tiếp các lý do để ta có đẳng thức sau

int_a^infty dy int_0^infty e^{-xy}sin(bx)dx=int_0^infty dx int_a^infty e^{-xy}sin(bx)dy

hay

int_a^infty H(y)dy =I(a, b).

Mà ta có H(y)=dfrac{b}{b^2+y^2} nên

I(a, b)=dfrac{pi}{2}-arctan(a/b).

Ta sẽ dùng kết quả trên để tính I(0, b) nhờ quá trình lấy giới hạn.

TH1: b=0 ta có ngay I(0, 0)=0.

TH2: bnot=0, do tích phân

I(a, b)=int_0^infty e^{-ax}dfrac{sin(bx)}{x}dx

hội tụ đều theo a trên [0, +infty)

nên I(0, b)=limlimits_{ato 0^+} I(a, b)=dfrac{pi}{2}

hay int_0^infty dfrac{sin(bx)}{x}dx=dfrac{pi}{2}; (bnot=0).

Như vậy ta có cách thứ 3 để tính tích phân suy rộng.

Người ta còn có cách khác không dùng tích phân phụ thuộc tham số để tính tích phân suy rộng. Cách này đòi hỏi kiến thức về Hàm biến phức một biến. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách tính tích phân

I(0, 1)=int_0^infty dfrac{sin x}{x}dx

nhờ các kết quả về tích phân Cauchy và thặng dư.

Do hàm dfrac{sin x}{x} là hàm chẵn và tích phân I(0, 1) hội tụ nên

I(0, 1)=dfrac{1}{2}limlimits_{Rto infty}limlimits_{epsilonto 0^+}intlimits_{epsilon<|x|<R}dfrac{sin x}{x}dx.

Lại có

+) dfrac{sin x}{x}=Im dfrac{e^{ix}}{x};

+) hàm dfrac{e^{iz}}{z} là hàm chỉnh hình trong miền mathbb Csetminus{0} nên

tích phân Cauchy int_C dfrac{e^{iz}}{z}dz=0 với

C={(x, 0)|; -Rle xle -epsilon}cup C_epsilon cup {(x, 0)|; epsilonle xle R}cup C_R;

do đó

intlimits_{epsilonle |x|le R}dfrac{sin x}{x}dx=-Imbig(int_{C_epsilon}dfrac{e^{iz}}{z}dzbig)-Imbig(int_{C_R}dfrac{e^{iz}}{z}dzbig).

+) Trên C_epsilon: z=epsilon e^{itheta}, theta chạy từ pi đến 0 nên

int_{C_epsilon}dfrac{e^{iz}}{z}dz=-int_0^pi ie^{iz}dtheta=-ipi e^{iz_epsilon}, z_epsilonin C_epsilon,

do đó limlimits_{epsilonto 0^+}int_{C_epsilon}dfrac{e^{iz}}{z}dz=-ipi.

+) Trên C_R: z=Re^{itheta}, theta chạy từ 0 đến pi

|e^{iz}|=e^{-Rsintheta}

|int_{C_R}dfrac{e^{iz}}{z}dz|=|int_0^pi ie^{iz}dtheta|le 2int_0^{pi /2}e^{-Rsintheta}dtheta,

do đó limlimits_{Rto infty}int_{C_R}dfrac{e^{iz}}{z}dz=0

(lưu ý sin{theta}ge Ctheta, thetain[0, pi/2)).

Vậy

I(0, 1)=dfrac{pi}{2}.

About datuan5pdes

Giảng viên của Khoa Toán – Bộ môn Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội. Hướng nghiên cứu: Phương trình Đạo hàm riêng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button