Kiến thức

Tập có độ đo không

Tập có độ đo không

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Trong Giải tích ta bắt đầu biết về tập độ đo không khi học về hàm khả tích Riemann. Ta bắt đầu với kết quả đơn giản:

Hàm bị chặn f: [0, 1]to mathbb R khả tích Riemann nếu nó liên tục tại mọi điểm trừ ra hữu hạn điểm.

Tập hữu hạn điểm là tập độ đo không đơn giản nhất (không kể tập rỗng).

Với kỹ thuật đánh giá dựa vào chuỗi hội tụ ta có kết quả mạnh hơn:

Hàm bị chặn f: [0, 1]to mathbb R khả tích Riemann nếu nó liên tục tại mọi điểm trừ ra một tập có tối đa đếm được điểm.

Khái niệm “đếm được”  và “hữu hạn” là khái niệm  cơ bản phân biệt giữa các khái niệm “độ đo không” và “thể tích không”.

Để dễ hình dung ta chỉ xét tập trên đường thẳng thực.

Tập Asubsetmathbb R có “độ dài không” nếu

với mọi epsilon>0 đều có hữu hạn đoạn con đóng [a_1, b_1], [a_2, b_2], dots, [a_n, b_n] phủ A nghĩa là

Asubset cup_{i=1}^n [a_i, b_i]

thỏa mãn tổng độ dài các đoạn sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<epsilon.

Tập Asubsetmathbb R có “độ đo không” nếu

với mọi epsilon>0 đều có đếm được đoạn con đóng [a_1, b_1], [a_2, b_2], dots, [a_n, b_n], dots phủ A nghĩa là

Asubset cup_{i=1}^infty [a_i, b_i]

thỏa mãn tổng độ dài các đoạn sum_{i=1}^infty (b_i-a_i)<epsilon.

Tập hữu hạn điểm là tập có độ dài không.

Cũng có tập vô hạn điểm có độ dài không. Chẳng hạn tập A_1={frac{1}{n}: ; n=1, 2, dots}.

Có thể thấy tập có độ dài không là tập có độ đo không.

Không phải tập có độ đo không nào cũng là tập có độ dài không. Chẳng hạn tập A_2={n: ; n=1, 2, dots}.

Tập đếm được điểm có độ đo không. Cũng có tập không đếm được có độ đo không. Chẳng hạn tập Cantor.

Tính chất quan trọng mà tất cả các kết quả dưới đây đều sử dụng:

“Hợp đếm được các tập có độ đo không cũng có độ đo không”.

Tập có độ dài khác không là tập không có độ đo không. Chẳng hạn đoạn [0, 1].

Hàm Dirichlet: f: [0, 1]tomathbb R

f(x)=0 khi xinmathbb Q

f(x)=1 khi xnotinmathbb Q

là hàm không khả tích Riemann.

Tập điểm gián đoạn của hàm Dirichlet là toàn bộ đoạn [0, 1] là tập không có độ đo không.

Ta dẫn đến kết quả sau của Lebesgue:

Hàm bị chặn f: [0, 1]to mathbb R là khả tích Riemann

khi và chỉ khi

tập điểm gián đoạn của hàm f có độ đo không.

Như vậy ta có tập độ đo không đáng lưu ý đầu tiên:

tập điểm gián đoạn của một hàm khả tích Riemann.

Để có kết quả này người ta dùng khái niệm dao độ

với mỗi xin [0, 1], dao độ của hàm f tại điểm x được xác định bởi

w(f, x)=limlimits_{rto 0_+} (suplimits_{yin [0, 1]cap (x-r, x+r)}f(y)-inflimits_{yin [0, 1]cap (x-r, x+r)}f(y)).

Ta có f liên tục tại x khi và chỉ khi w(f, x)=0.

Tập điểm gián đoạn của f:

cup_{n=1}^infty{xin [0, 1]: w(f, x)>1/n}.

Tập độ đo không khác cũng đáng lưu ý: tập các điểm không khả vi của hàm Lipschitz, nghĩa là ánh xạ f: [0, 1]tomathbb R thỏa mãn

|f(x)-f(y)|le L|x- y|; forall x, yin[0, 1] (với L>0 nào đó).

Điều này được dẫn như sau:

+ Hàm Lipschitz là hàm liên tục tuyệt đối (absolutely continuous), nghĩa là hàm f: [0, 1] tomathbb R thỏa mãn

với mỗi epsilon>0 đều có delta>0

sao cho với bất kỳ dãy hữu hạn các đoạn không giao nhau [x_k, y_k]subset[0, 1], k=1, 2, dots, n thỏa mãn

sum_{k=1}^n (y_k-x_k)<delta

thì

sum_{k=1}^n |f(y_k)-f(x_k)|<epsilon.

+ Hàm liên tục tuyệt đối là hàm biến phân bị chặn (bounded variation), nghĩa là hàm f: [0, 1]tomathbb R có biến phân toàn phần (total variation)

V_1^0(f)=suplimits_P sumlimits_{k=0}^{n_P-1}|f(x_{k+1})-f(x_k)|

trong đó suplimits_P là sup lấy trên toàn bộ các phân hoạch P={0=x_0<x_1<dots<x_{n_P-1}<x_{n_P}=1},

là hữu hạn.

+Hàm biến phân bị chặn là hiệu hai hàm không giảm.

+Hàm không giảm, theo Lebesgue, có tập các điểm không khả vi có độ đo không.

Cần lưu ý rằng nếu giảm bớt điều kiện Lipschitz bởi điều kiện Holder, nghĩa là

|f(x)-f(y)|le H|x-y|^alpha (với H>0, alphain (0, 1) nào đó),

thì kết quả không đúng. Chẳng hạn hàm Weierstrass là hàm Holder và không khả vi tại mọi điểm.

Các tập có độ đo không trên đều nằm trong miền xác định của hàm số. Tập có độ đo không đáng lưu ý tiếp nằm trong miền giá trj.

Hàm khả vi liên tục f: (0, 1)tomathbb R (nghĩa là hàm khả vi và đạo hàm của nó là hàm liên tục) có tập các giá trị tới hạn (critical value) là tập có độ đo không. (Định lý Sard).

Giá trị yinmathbb R được gọi là giá trị tới hạn của hàm f nếu có một điểm xin (0, 1) sao cho

f(x)=y, f^{,}(x)=0.

Những điểm xin (0, 1): f^{,}(x)=0 được gọi là điểm dừng hay điểm tới hạn. Ký hiệu M là tập điểm dừng. Tập giá trị tới hạn f(M).

Để chứng minh f(M) có độ đo không người ta hạn chế M trong các đoạn con đóng [1/n, 1-1/n], n=3, 4, dots:

M_n=Mcap [1/n, 1-1/n]

để sử dụng tính liên tục đều trên tập compact [1/n, 1-1/n] của đạo hàm f^{,} rồi từ đó dùng khai triển Taylor tại mỗi điểm dừng và đánh giá.

Định lý Sard và các dạng của nó là yếu tố quan trọng trong lý thuyết bậc và lý thuyết hàm Morse.

Chẳng hạn trong lý thuyết hàm Morse, Định lý Sard cho ta biết:

“Nếu f: mathbb R^nto mathbb R là hàm khả vi liên tục đến cấp 2 thì tập các điểm ainmathbb R^n thỏa mãn

f(x)-sum_{i=1}^n a_i x_i không là hàm Morse

là tập có độ đo không.”

Hàm g:mathbb R^nto mathbb R được gọi là hàm Morse nếu tại mỗi điểm tới hạn ma trận Hessian của hàm g tại điểm đó không suy biến.

Tập có độ đo không đáng chú ý khác liên quan đến việc đổi thứ tự lấy đạo hàm riêng. Cụ thể như  sau.

Cho hàm f:(0, 1)times(0, 1)tomathbb R là hàm có các đạo hàm riêng cấp hai partial_xpartial_y f(x, y), partial_ypartial_x f(x, y). Các đạo hàm riêng cấp hai này là các hàm liên tục. Khi đó, chúng bằng nhau (kết quả của Alexis Claude Clairaut và Hermann Amandus Schwarz, tác giả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Như ta cũng đã thấy các ví dụ cho thấy nếu không có điều kiện liên tục thì kết luận sai. Tuy nhiên khi phân tích ví dụ kết luận sai hay sự không bằng nhau chỉ tại vài điểm.

Từ lý thuyết hàm suy rộng người ta thấy rằng nếu các đạo hàm riêng cấp hai trên là các hàm chính quy (khả tích điạ phương) thì chúng sẽ bằng nhau hầu khắp nơi. Nói cách khác tập những điểm hai đạo hàm riêng cấp hai

partial_xpartial_y f(x, y), partial_ypartial_x f(x, y)

khác nhau có độ đo không.

About datuan5pdes

Giảng viên của Khoa Toán – Bộ môn Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội. Hướng nghiên cứu: Phương trình Đạo hàm riêng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button