Kiến thức

Tập hút cho phương trình đạo hàm riêng (Attractors for partial differential equations)

Tập hút cho phương trình đạo hàm riêng (Attractors for partial differential equations)

LTG: Đây là bài viết ngắn giới thiệu về hướng nghiên cứu chính của tác giả hiện nay. Bài viết được đăng trên nội san T&T (khoa Toán, ĐHSPHN) số chào mừng 20 – 11 – 2011. Xin được post lại ở đây để bạn đọc quan tâm có thể tham khảo.

Phương trình đạo hàm riêng có thể coi là cầu nối giữa toán học ứng dụng và toán học lý thuyết. Một mặt, rất nhiều phương trình đạo hàm riêng là mô hình toán học của các bài toán thực tế. Nghiên cứu tính chất (định tính, định lượng) của nghiệm các phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa quan trọng trong việc quay trở lại áp dụng vào bài toán thực tế. Mặt khác, để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, người ta cần sử dụng rất nhiều công cụ Toán học khác nhau, chính điều đó thúc đẩy sự phát triển của toán học lý thuyết, mà điển hình là Giải tích hàm.

Đối với phương trình đạo hàm riêng, sau khi bài toán xét tính đặt đúng của phương trình (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm,ldots), một bài toán quan trọng là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi biến thời gian trightarrow infty. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái của các mô hình thực tế, do đó nghiên cứu dáng điệu nghiệm cũng giống như là dự đoán sự thay đổi của mô hình khi thời gian trightarrowinfty. Để có thể nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, người ta thường sử dụng khái niệm tập hút.

Lý thuyết tập hút cho phương trình đạo hàm riêng được bắt đầu vào khoảng đầu những năm 80 của thế kỷ 20, và được phát triển theo nhiều hướng, đặc biệt cho những phương trình không ôtônôm và phương trình vi phân ngẫu nhiên trong những năm gần đây (xem [1,2,3]). Trong giới hạn bài viết này, tác giả trình bày một trường hợp điển hình của lý thuyết tập hút với mong muốn các độc giả quan tâm, đặc biệt là các bạn sinh viên say mê khoa học, có thêm thông tin về một vấn đề nghiên cứu thời sự hiện nay.

Xét một bài toán phương trình đạo hàm riêng

displaystyle begin{cases} dfrac{partial u}{partial t} = F(t, u),\ u(0) = u_0, end{cases}qquadqquad (1)

trong không gian Banach H, trong đó F là hàm của u và các đạo hàm của u theo biến không gian. Khi phương trình (1) là ôtônôm, tức là F(t,u)equiv F(u), để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình, người ta thường sử dụng khái niệm tập hút toàn cục. Một cách cụ thể, giả sử rằng với mỗi giá trị ban đầu, phương trình (1) có duy nhất nghiệm. Khi đó ta có thể định nghĩa một họ các toán tử nghiệm

S(t): u_0 mapsto u(t), tgeq 0,

xác định trên H, trong đó S(t)u_0 là nghiệm của phương trình tại thời điểm t với điều kiện ban đầu u_0. Họ các toán tử này thỏa mãn

S(0) = I,

S(t+s) = S(t) circ S(s), forall t, sgeq 0,

I là toán tử đồng nhất, và ta nói rằng nó tạo thành một nửa nhóm trên không gian pha H. Khi đó, tập mathcal A được gọi là tập hút toàn cục cho S(t) trong H nếu

  • mathcal A compact trong H.
  • mathcal A bất biến đối với S(t), tức là, S(t)mathcal A = mathcal A, với mọi tgeq 0.
  • mathcal A hút các tập bị chặn theo nghĩa, với mọi tập bị chặn Bsubset H, ta có
lim_{trightarrow +infty}dist(S(t)B, mathcal A) = 0
trong đó dist là nửa khoảng cách Hausdorff giữa các tập được định nghĩa như sau 
dist(A,B) = sup_{ain A}inf_{bin B}|a-b|_{H}

Điều kiện (iii) có thể viết lại dưới dạng tương đương: Với mọi tập bị chặn Bsubset H, mọi varepsilon>0, tồn tại t_0 thỏa mãn S(t)Bsubset mathcal U_{varepsilon} với mọi tgeq t_0, trong đó mathcal U_{varepsilon}varepsilon – lân cận của mathcal A.

Từ điều kiện (i) và (ii) ta có thể suy ra rằng tập hút toàn cục (nếu tồn tại) là duy nhất. Câu hỏi đặt ra là việc nghiên cứu tập hút toàn cục có lợi ích và ý nghĩa như thế nào?

Trước hết, từ điều kiện (iii), ta thấy rằng đối với bất kỳ một nghiệm nào của (1) với điều kiện ban đầu u_0 thì sau một khoảng thời gian đủ lớn, nghiệm đó sẽ tiến gần đến tập mathcal A. Hơn nữa, người ta chứng minh được là có thể xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của một nghiệm bất kỳ bằng một nghiệm nằm trên tập hút toàn cục mathcal A. Một câu hỏi tự nhiên là việc xấp xỉ như vậy có gì tốt so với việc xét trực tiếp nghiệm của phương trình? Như ta đã biết, hầu hết các phương trình đạo hàm riêng đều không tìm được công thức nghiệm cụ thể (người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại của nghiệm), do đó, việc xét trực tiếp nghiệm của phương trình tại mọi thời điểm là không khả thi. Bên cạnh đó, do điều kiện tập mathcal A là compact nên ta có thể lợi dụng được rất nhiều tính chất tốt của tập compact (một tính chất điển hình là nếu như H là không gian vô hạn chiều thì mathcal A “mỏng” hơn so với H theo nghĩa tập mathcal A không chứa một hình cầu nào). Cần chú ý thêm rằng, tập hút toàn cục mathcal A có thể xây dựng được mà không cần biết công thức nghiệm cụ thể của phương trình (bạn đọc có thể xem chi tiết trong các tài liệu tham khảo). Vì những lý do đó, việc xấp xỉ nghiệm tại một thời điểm đủ lớn bằng tập hút mathcal A mang lại nhiều lợi ích trong quá trình nghiên cứu phương trình.

Thứ hai, trong hầu hết các trường hợp, người ta chứng minh được rằng tập mathcal A là hữu hạn chiều (theo nghĩa số chiều Hausdorff hoặc số chiều fractal [1,2,3]), vì thế, dù rằng không gian pha là vô hạn chiều thì hệ động lực sinh bởi phương trình rút gọn trên tập hút toàn cục, có thể coi như là hữu hạn chiều và có thể biểu diễn được thông qua một số hữu hạn các tham số. Với thực tế là tính toán trên tập hữu hạn tốt hơn nhiều trên tập vô hạn, ta có thể thấy được ngay ý nghĩa của tập hút toàn cục.

Thứ ba, trong thực tế, các số liệu hầu hết là gần đúng, do vậy phương trình đạo hàm riêng thường có thêm số hạng nhiễu, ví dụ dưới dạng

frac{partial u}{partial t} = F(t, u) + varepsilon(u), qquadqquad (2)

trong đó varepsilon(u) là nhiễu của phương trình. Giả sử với mỗi varepsilon, phương trình (2) có một tập hút toàn cục mathcal A_{varepsilon}. Trong nhiều trường hợp, người ta chứng minh được khi varepsilon rightarrow 0 thì mathcal A_{varepsilon} cũng tiến dần đến mathcal A theo nghĩa

lim_{varepsilonrightarrow 0}text{dist}(mathcal A_{varepsilon}, mathcal A) = 0.

Như vậy, trong một số điều kiện nhất định, tập hút toàn cục là ổn định đối với các tham số nhiễu đủ bé. Tính chất này có thể dùng cho việc mô phỏng nghiệm của phương trình gốc ban đầu.

Những lý do trên làm cho việc nghiên cứu tập hút toàn cục đối với phương trình đạo hàm riêng trở nên rất quan trọng và thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Trong những năm gần đây, có nhiều hướng phát triển đối với lý thuyết tập hút cho phương trình đạo hàm riêng, chẳng hạn nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút đều, tập hút lùi, tập hút mũ, tập hút ngẫu nhiên, ldots.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button