Kiến thức

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau: intlimits_a^b {fleft[ {uleft( x right)} right]u'left( x right)dx} = intlimits_{uleft( a right)}^{uleft( b right)} {fleft( u right)du} (1)
trong đó u=uleft( x right) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = fleft( u right) liên tục và sao cho hàm số hợp fleft[ {uleft( x right)} right] xác định trên Ka và b là hai số thuộc K.
Từ công thức (1), ta có hai cách đổi biến số sau:
Cách 1 (Phương pháp đổi biến kiểu II)
Giả sử ta cần tính intlimits_a^b {gleft( x right)dx} .
Nếu ta viết được gleft(xright) dưới dạng fleft[uleft(xright)right]u'left(xright), thì theo (1) ta có

intlimits_a^b {fleft[ {uleft( x right)} right]u'left( x right)dx} = intlimits_{uleft( a right)}^{uleft( b right)} {fleft( u right)du}.
Vậy bài toán qui về tính intlimits_{uleft( a right)}^{uleft( b right)} {fleft( u right)du}, tích phân này sẽ đơn giản hơn.
Cách 2 (Phương pháp đổi biến kiểu I)
Giả sử cần tính intlimits_{a}^{b}{fleft(xright)dx}.
Đặt x=xleft(tright), left(t in K right) và a, b in K thỏa mãn alpha=xleft(aright),beta=xleft(bright), thì (1) cho ta intlimits_{alpha} ^{beta}{fleft(xright)dx}=intlimits_a^b{fleft[{xleft(tright)}right]x'left(tright)dt}

Bài toán qui về tính intlimits_a^b {gleft( t right)dt}, với gleft( t right) = fleft[ {xleft( t right)} right]x'left( t right). Trong nhiều trường hợp, việc tính tích phân này đơn giản hơn.
Một số ví dụ về phương pháp đổi biến kiểu II
Ví dụ 1. Tính I_1=intlimits_0^frac{22}{3}{sqrt[3]{3x+5}dx}.
Giải.
Đặt u=3x+5Rightarrow du=3dx
Đổi cận x = 0 Rightarrow u = 5;x = frac{{22}}{3} Rightarrow u = 27. Vậy {I_1}=dfrac{1}{3}intlimits_5^{27}{sqrt[3]{u}du}=left.{dfrac{1}{3}frac{{sqrt[3]{{{u^4}}}}}{{frac{4}{3}}}}right|_5^{27}=dfrac{1}{4}left({27sqrt[3]{{27}}-5sqrt[3]{5}}right)=dfrac{1}{4}left({81-5sqrt[3]{5}}right)

Ví dụ 2. Tính I_2=intlimits_0^1 {{x^3}{{left({1 + {x^4}}right)}^3}dx}
Giải
Đặt u=1+x^4Rightarrow du=4x^3dx.
Đổi cận x=0Rightarrow u=1;x=1Rightarrow u=2.
Vậy {I_2}=dfrac{1}{4}intlimits_1^2{{u^3}du}=left.{dfrac{1}{4}dfrac{{{u^4}}}{4}}right|_1^2=dfrac{1}{{16}}left({{2^4}-1}right)=dfrac{{15}}{{16}}.

Ví dụ 3. Tính I_3=intlimits_{0}^{1}x^2e^{3x^3}dx

Giải
Đặt u=3x^3Rightarrow du=9x^2dx
Đổi cận x=0Rightarrow u=0;x=1Rightarrow u=3
Vậy I_3=dfrac{1}{9}intlimits_{0}^{3}e^udu=dfrac{1}{9}e^uBig|_{0}^{3}=dfrac{1}{9}(e^3-1)
Ví dụ 4. Tính I_4=intlimits_{0}^{frac{pi}{2}}dfrac{sin x}{1+cos x}dx
Giải.
Đặt u=1+cos xRightarrow du=-sin xdx
Đổi cận x=0Rightarrow u=2;x=dfrac{pi}{2}Rightarrow u=1
Vậy I_4=-intlimits_{2}^{1}dfrac{du}{u}=intlimits_{1}^{2}dfrac{du}{u}=ln|u|Big|_{1}^{2}=ln 2-ln 1=ln 2.
Nhận xét: Các tích phân tính được bằng phương pháp đổi biến kiểu II được xem như các tích phân đã biết d(u(x)) là gì, chẳng hạn trong Ví dụ 1, d(u(x))=dx; trong Ví dụ 2, d(u(x))=x^3dx; trong Ví dụ 4, d(u(x))=sin xdx. Nói cách khác, trong biểu thức dưới dấu tích phân nếu ta lấy vi phân của một thừa số thì được thừa số còn lại (sai khác một hằng số), chẳng hạn trong Ví dụ 4, d(1+cos{x})=-sin{x}dx.
Một số ví dụ về phương pháp đổi biến kiểu I
Ví dụ 5. Tính I_5=intlimits_{0}^{frac{a}{2}}dfrac{dx}{sqrt{a^2-x^2}}dx, (a>0).
Giải.
Đặt x=asin t, tin left[-dfrac{pi}{2};dfrac{pi}{2}right]
Rightarrow dx=acos tdt
Đổi cận x=0Rightarrow t=0;x=dfrac{a}{2}Rightarrow t=dfrac{pi}{6}
Vậy I_5=intlimits_{0}^{frac{pi}{6}}dfrac{acos tdt}{sqrt{a^2cos^2t}}=intlimits_{0}^{frac{pi}{6}}dfrac{acos tdt}{a|cos t|}
=intlimits_{0}^{frac{pi}{6}}dt=dfrac{pi}{6}.
Ví dụ 6. Tính I_6=intlimits_{0}^{a}dfrac{dx}{a^2+x^2}, (a>0)
Giải.
Đặt x=atan t, tin left(-dfrac{pi}{2};dfrac{pi}{2}right)
Rightarrow dx=dfrac{a}{cos^2t}dt
Đổi cận x=0Rightarrow t=0;x=aRightarrow t=dfrac{pi}{4}
Vậy I_6=intlimits_{0}^{frac{pi}{4}}dfrac{dfrac{a}{cos^2t}dt}{a^2+a^2tan^2t}=intlimits_{0}^{frac{pi}{4}}dfrac{dfrac{a}{cos^2t}dt}{a^2(1+tan^2t)}=dfrac{1}{a}intlimits_{0}^{frac{pi}{4}}dt=dfrac{pi}{4a}
Bài tập đề nghị
Bài 1. Tính I=intlimits_{1}^{2}x(1-x)^5dx
ĐS: I=dfrac{-13}{42}
Bài 2. Tính I=intlimits_{0}^{frac{1}{3}}dfrac{x+1}{sqrt[3]{3x+1}}dx
ĐS: I=dfrac{7sqrt[3]{4}}{15}-dfrac{2}{5}
Bài 3. Tính I=intlimits_{0}^{sqrt{3}}x^5sqrt{1+x^2}dx
ĐS: I=dfrac{848}{105}
Bài 4. Tính I=intlimits_{0}^{frac{pi}{2}}dfrac{sin 2xdx}{4-cos^2x}
ĐS: I=lndfrac{4}{3}
Bài 5. Tính I=intlimits_{0}^{1}dfrac{dx}{x^2+x+1}
ĐS: I=dfrac{pisqrt{3}}{9}.
Nguồn: mathblog.org

Bài này đã được đăng trong

Tích phân và ứng dụng

. Đánh dấu

đường dẫn tĩnh

.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button