Kiến thức

Tính đạo hàm mọi cấp – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Tính đạo hàm mọi cấp

Tại sao phải tính đạo hàm mọi cấp? Một trong các lý do, ta cần kiểm tra một hàm có thuộc vào không gian các hàm cơ bản hay không? Chẳng hạn, khi bắt đầu môn học tôi đưa ra hàm rho:mathbb Rtomathbb R xác định bởi

rho(x)=begin{cases} Ce^{frac{1}{x^2-1}};; khi ;; |x|<1,\ 0 ;; khi ;;|x|ge 1.end{cases}

“Dễ thấy” hàm rho(x) khả vi vô hạn trên |x|>1|x|<1. Còn tại x=pm 1 thì sao? Ta cần tính đạo hàm trái và phải mọi cấp tại đó. Muốn vậy ta phải tính đạo hàm mọi cấp khi |x|>1|x|<1. Khi |x|>1 đạo hàm mọi cấp của nó đều bằng 0. Khi |x|<1 đạo hàm cấp k của nó

dfrac{d^k}{dx^k}(e^{frac{1}{x^2-1}})=?

Ta cần tìm quy luật bằng cách tính vài đạo hàm đầu như sau.

dfrac{d}{dx}(e^{frac{1}{x^2-1}})=-dfrac{2x}{(x^2-1)^2}e^{frac{1}{x^2-1}},

dfrac{d^2}{dx^2}(e^{frac{1}{x^2-1}})=big(dfrac{6}{(x^2-1)^2}+dfrac{12}{(x^2-1)^3}+dfrac{4}{(x^2-1)^4}big)e^{frac{1}{x^2-1}},

dfrac{d^3}{dx^3}(e^{frac{1}{x^2-1}})=-2xbig(dfrac{12}{(x^2-1)^3}+dfrac{42}{(x^2-1)^4}+dfrac{28}{(x^2-1)^5}+
+dfrac{4}{(x^2-1)^6}big)e^{frac{1}{x^2-1}}

.v.v.

Như vậy có thể đoán

dfrac{d^{2k+1}}{dx^{2k+1}}(e^{frac{1}{x^2-1}})=2xP_{4k+2}(frac{1}{x^2-1})e^{frac{1}{x^2-1}},

dfrac{d^{2k}}{dx^{2k}}(e^{frac{1}{x^2-1}})=P_{4k}(frac{1}{x^2-1})e^{frac{1}{x^2-1}},

với k=0, 1, 2, dotsP_k là đa thức bậc k.

Phần còn lại gồm hai việc:

– chứng minh công thức đưa ra đúng,

– chứng minh hàm rho(x) khả vi mọi cấp tại x=pm 1,

xin dành cho bạn đọc.

Một ví dụ tôi cũng hay đưa ra e^{-x^2}in S. Từ ví dụ này không khó để thấy x^m e^{-x^2}in S, e^{-x^2}sin(kx)in S với k, minmathbb Z_+. Câu hỏi: nếu m=-1 hay m=1/2 thì sao? Quay trở lại việc kiểm tra e^{-x^2}in S ta cũng cần tính đạo hàm mọi cấp của hàm e^{-x^2}. Cách làm khá giống ở trên, nghĩa là ta tính vài đạo hàm đầu để tìm ra quy luật rồi chứng minh quy luật đó. Các bạn thử xem có phải

dfrac{d^k}{dx^k}(e^{-x^2})=P_k(x)e^{-x^2},

với P_k(x) là đa thức bậc k?

Trong giáo trình của tôi, có ví dụ yêu cầu tính

dfrac{d^k}{dx^k}(e^{-x^2})(0)=?

Các bạn thử dùng công thức trên để tính?

Một bài khác trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones yêu cầu chứng minh gamma(x^3)in S khi gammain S. Ta cũng có thể hỏi gamma(x^m)in S hay không khi gammain S. Ta cần tính đạo hàm mọi cấp của các hàm này. Lúc này hàm đã cho có công thức tổng quát nên công thức đạo hàm sẽ không đẹp như trên. Cụ thể, một vài đạo hàm đầu của gamma(x^3)

dfrac{d}{dx}(gamma(x^3))=3x^2gamma^{,}(x^3),

dfrac{d^2}{dx^2}(gamma(x^3))=6xgamma^{,}(x^3)+9x^4gamma^{,,}(x^3),

lưu ý

(gamma(x^3))^{,,}not=gamma^{,,}(x^3).

Từ đây ta đoán

dfrac{d^k}{dx^k}(gamma(x^3))=sumlimits_{j=0}^{[frac{2k}{3}]}a_{k, j}x^{2k-3j}gamma^{(k-j)}(x^3).

Phần tiếp theo các bạn thử tự làm xem sao?

Một ví dụ khác trong giáo trình của tôi: kiểm tra sự hội tụ trong không gian S của dãy hàm

rho_{((k))}(x)=dfrac{rho(x-k)}{(x^2+1)^k}.

Ta thử tính vài đạo hàm đầu của hàm rho_{((k))}(x)

dfrac{d}{dx}(rho_{((k))}(x))=dfrac{rho^{,}(x-k)}{(x^2+1)^k}-dfrac{2kxrho(x-k)}{(x^2+1)^{k+1}},

dfrac{d^2}{dx^2}(rho_{((k))}(x))=dfrac{rho^{,,}(x-k)}{(x^2+1)^k}-dfrac{4kxrho^{,}(x-k)}{(x^2+1)^{k+1}}+
+dfrac{2k((2k+1)x^2-1)rho(x-k)}{(x^2+1)^{k+2}}.

Như vậy ta đoán

dfrac{d^m}{dx^m}(rho_{((k))}(x))=sumlimits_{j=0}^mdfrac{P_{m, 2j}(x, k)rho^{(m-j)}(x-k)}{(x^2+1)^{k+j}},

trong đó P_{m, 2j}(x, k) là đa thức bậc 2j theo cả x, k. Chẳng hạn P_{m, 0}(x, k)=1, P_{1, 2}(x, k)=2kx, .v.v.

Trong luận văn của Phạm Vân Hà

Click to access luanvanha3.pdf

cũng cần đến việc tính đạo hàm mọi cấp ở các trang 23, 40, 41.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button