Kiến thức

Các phương pháp giải hệ phương trình

Các phương pháp giải hệ phương trình

January 3, 2014

Bạn đang xem: Các phương pháp giải hệ phương trình

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

 

1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn.

Dạng tổng quát left{begin{matrix} a_1x^2+b_1xy+c_1y^2+d_1x+e_1y+f_1=0\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2+d_2x+e_2y+f_2=0 end{matrix}right.

a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế.

b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng hạn d_1=e_1=f_1=0. Khi đó phương trình thứ nhất có dạng a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0, phương trình này cho phép tính được dfrac{x}{y}.

c) Hệ đẳng cấp bậc hai, tức là d_1=e_1=d_2=e_2=0. Bằng cách khử đi hệ số tự do ta sẽ tìm ra được một phương trình thuần nhất bậc hai để tìm tỉ số dfrac{x}{y}

d) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp “tịnh tiến nghiệm” bằng cách đưa vào các ẩn mới left{begin{matrix} x=u+a\ y=v+b end{matrix}right. (với u,v là các ẩn). Ta sẽ tìm a,b để khi khai triển thì các hạng tử bậc nhất ở cả hai phương trình của hệ đều bị triệt tiêu. Từ đó có hệ đẳng cấp theo u,v mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} x^2+3y^2+4xy-18x-22y+31=0\ 2x^2+4y^2+2xy+6x-46y+175=0 end{matrix}right.

Lời giải :

Đặt x=u+a,y=v+b. Hệ trở thành : 

left{begin{matrix} u^2+4uv+3v^2+u(2a+4b-18)+v(4a+6b-22)+4ab+a^2+3b^2-18a-22b+31=0\ 2u^2+4v^2+2uv+u(4a+2b+6)+v(2a+8b-46)+2ab+2a^2+4b^2+6a-16b+175=0 end{matrix}right.

Để thu được hệ đẳng cấp thì các hệ số theo u,v phải bằng 0. Tức là chọn a,b sao cho :

left{begin{matrix} 2a+4b-18=0\ 4a+6b-22=0\ 4a+2b+6=0\ 2a+8b-46=0 end{matrix}right.Leftrightarrow a=-5,b=7

Vậy ta có hệ left{begin{matrix} u^2+3v^2+4uv=1\ 2u^2+4v^2+2uv=1 end{matrix}right..

Dễ dàng giải được hệ này. 

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình đã cho là left ( x,y right )=left ( dfrac{1}{sqrt{8}}-5,dfrac{1}{sqrt{8}}+7 right ),left ( -dfrac{1}{sqrt{8}}-5,-dfrac{1}{sqrt{8}}+7 right )

2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng.

a) Hệ phương trình đối xứng loại I.

Dạng tổng quát left{begin{matrix} F(x,y)=0\ G(x,y)=0 end{matrix}right. với F(x,y),G(x,y) là các đa thức đối xứng $x,y$.

Cách giải chung là đặt ẩn phụ S=x+y,P=xy.

b) Hệ phương trình đối xứng loại II

Dạng tổng quát left{begin{matrix} F(x,y)=0\ F(y,x)=0 end{matrix}right. với F(x,y) là một đa thức không đối xứng. 

Cách giải chung là trừ vế theo vế hai phương trình để thu được nhân tử chung x-y.

c) Hệ phương trình đối xứng ba ẩn.

Dạng tổng quát left{begin{matrix} f(x,y,z)=0\ g(x,y,z)=0\ h(x,y,z)=0 end{matrix}right.

Trong đó f,g,h là các biểu thức đối xứng theo x,y,z

Cách giải chung là tìm cách đưa về các ẩn mới S=x+y+z,T=xy+yz+zx,P=xyz và sử dụng định lí Viete đảo cho phương trình bậc ba :

Nếu ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=S,xy+yz+zx=T,xyz=P thì chúng là ba nghiệm của phương trình X^3-SX^2+TX-P=0.

3. Hệ phương trình hoán vị.

Dạng tổng quát left{begin{matrix} f(x_1)=g(x_2)\ f(x_2)=g(x_3)\ ...\ f(x_{n-1})=g(x_n)\ f(x_n)=g(x_1) end{matrix}right.

Với f(x),g(x) thường là các hàm đơn điệu (trên một khoảng nào đó)

Một số định lí :

a) Nếu f(x),g(x) là các hàm đồng biến trên D(x_1,x_2,...,x_n) là nghiệm (trên D) của hệ thì x_1=x_2=....=x_n.

b) Nếu f(x),g(x) là các hàm nghịch biến trên D(x_1,x_2,...,x_n) là nghiệm (trên D) của hệ thì với n lẻ, ta có x_1=x_2=....=x_n.

c) Nếu f(x) nghịch biến và g(x) đồng biến trên tập D(x_1,x_2,...,x_n) là nghiệm (trên D) của hệ thì với n chẵn, ta có x_1=x_3=....=x_{n-1}x_2=x_4=...=x_n.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} y^3=6x^2-12x+8\ z^3=6y^2-12y+8\ x^2=6z^3-12z+8 end{matrix}right.

Lời giải :

Ta có y^{3}=6(x-1)^2+2>1, suy ra y>1. Tương tự x,y,z>1.

Gỉa sử x=maxleft { x,y,z right }. Xét hàm g(x)=6t^2-12t+8, dễ dàng thấy hàm này đồng biến trên left ( 1,+infty right ).

Vì xgeq yRightarrow x^{3}geq y^{3}Rightarrow 6z^2-12z+8geq 6x^2-12x+8Rightarrow g(z)geq g(x)Rightarrow zgeq xRightarrow 6y^2-12y+8geq 6z^2-12z+8Rightarrow g(y)geq g(z)Rightarrow ygeq z.

Suy ra xgeq ygeq zgeq x, từ đó x=y=z.

Kết luận : Hệ có nghiệm duy nhất (x,y,z)=(2,2,2)

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp này chủ yếu dựa vào định lí sau :

Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì số nghiệm của phương trình f(x)=k không nhiều hơn 1 và f(x)=f(y)Leftrightarrow x=y

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} x^5+xy^4=y^{10}+y^6\ sqrt{4x+5}+sqrt{y^2+8}=6 end{matrix}right.

Lời giải :

Nhận xét rằng (x,0) không là nghiệm của hệ. Ta xét yneq 0. Dễ thấy hàm số f(t)=t^5+t đồng biến trên mathbb{R}

Phương trình thứ nhất có thể viết thành : left ( dfrac{x}{y} right )^{5}+dfrac{x}{y}=y^5+yLeftrightarrow fleft ( dfrac{x}{y} right )=f(y)Leftrightarrow x=y^2

Thay vào phương trình sau : sqrt{4x+5}+sqrt{x+8}=6

Nếu x>1 thì rõ ràng sqrt{4x+5}+sqrt{x+8}>6

Nếu x<1 thì rõ ràng sqrt{4x+5}+sqrt{x+8}<6

Vậy x=1

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là left ( x,y right )=(1,pm1)

5. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} dfrac{1}{sqrt{1-x^2}}+dfrac{1}{sqrt{1-y^2}}=dfrac{35}{12} & & \ dfrac{x}{sqrt{1-x^2}}-dfrac{y}{sqrt{1-y^2}}=dfrac{7}{12} & & end{matrix}right.

Lời giải :

Điều kiện x,yin left ( -1,1 right )

Cộng vế theo vế hai phương trình : dfrac{1+x}{sqrt{1-x^2}}+dfrac{1-y}{sqrt{1-y^2}}=dfrac{7}{2}Leftrightarrow sqrt{dfrac{1+x}{1-x}}+sqrt{dfrac{1-y}{1+y}}=dfrac{7}{2}

Trừ vế theo vế hai phương trình : dfrac{1-x}{sqrt{1-x^2}}+dfrac{1+y}{sqrt{1-y^2}}=dfrac{7}{2}Leftrightarrow sqrt{dfrac{1-x}{1+x}}+sqrt{dfrac{1+y}{1-y}}=dfrac{7}{3}

Vậy nếu ta đặt sqrt{dfrac{1-x}{1+x}}=a>0,sqrt{dfrac{1-y}{1+y}}=b>0

Thì ta có hệ left{begin{matrix} dfrac{1}{a}+b=dfrac{7}{2}\ a+dfrac{1}{b}=dfrac{7}{3} end{matrix}right.Leftrightarrow (a,b)=left ( 2,3 right ),(dfrac{1}{3},dfrac{1}{2})

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu.

6. Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} sqrt{3x}+2sqrt{y}=4\ sqrt[3]{dfrac{x}{y}}+sqrt[3]{dfrac{y}{x}}=sqrt[3]{2(x+y)left ( dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y} right )} end{matrix}right.

Lời giải :

“Chất bất đẳng thức” của hệ này nằm ở phương trình thứ hai.

Điều kiện x,y>0

Đặt sqrt[3]{dfrac{x}{y}}=a>0,sqrt[3]{dfrac{y}{x}}=b>0 (ta có ab=1)  thì phương trình thứ hai trở thành : a+b=sqrt[3]{2(2+a^3+b^3)}Leftrightarrow 2(a^3+b^3)+4=(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2Leftrightarrow a^3+b^3+4=3(a+b)

Nhưng theo BĐT AM-GM ta có a^3+b^3+4=(a^3+1+1)+(a^3+1+1)geq 3(a+b)

Đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi a=b=1, tức x=y.

Kết luận : Nghiệm của hệ đã cho là x=y=left ( dfrac{4}{2+sqrt{3}} right )^2

7. Phương pháp biến đổi đẳng thức.

a) Đưa về phương trình tích.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} x^2+xy+y^2=7;;(1)\ y^2+yz+z^2=28;;(2)\ z^2+zx+x^2=21;;(3) end{matrix}right.

Lời giải :

Trừ (1)(2) vế theo vế : (x-z)(x+y+z)=-21;;;(4)

Trừ (2)(3) vế theo vế : (y-x)(x+y+z)=7;;;(5)

Từ (4)(5) thì có (x-z+3y-3x)(x+y+z)=0Leftrightarrow z=3y-2x

Thay vào (3) ta được hệ đẳng cấp left{begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\ x^2-3xy+3y^2=7 end{matrix}right..

Ta dễ dàng giải được hệ này.

b) Đưa về phương trình thuần nhất.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 3x^3-y^3=dfrac{1}{x+y};;(1)\ x^2+y^2=1;;(2) end{matrix}right.

Lời giải :

Nhận thấy vế trái của (1) có bậc ba và vế phải của (1) có bậc -1. Để đưa (1) thành một phương trình thuần nhất (thuần nhất bậc ba) thì ta cần nhân vào vế phải một biểu thức bậc 4.

Để ý rằng từ (2) ta có (x^2+y^2)^2=1

Thay vào (1)3x^3-y^3=dfrac{(x^2+y^2)^2}{x+y}Leftrightarrow 3x^4+3x^3y-xy^3-y^4=x^4+y^4+2x^2y^2Leftrightarrow 2x^4+3x^3y+2x^2y^2-xy^3-2y^4=0Leftrightarrow (x-y)(x+2y)(2x^2+xy+y^2)=0

Dễ dàng giải tiếp hệ này.

8. Phương pháp lượng giác hóa (phép thế lượng giác)

Xem tại

đây

9. Phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} x^2+y^2+x=3;;;(1)\ x^2-xy-2y^2+y+1=0;;;(2) end{matrix}right.

Lời giải :

Mục đích ở đây là ta sẽ tạo ra một phương trình mà có thể tính được ẩn này theo ẩn kia. 

Nhân (1) với a rồi cộng với (2)

a(x^2+y^2+x)+x^2-xy-2y^2+y+1=3aLeftrightarrow (a+1)x^2+(a-y)x+(a-2)y^2+y-3a+1=0

Coi đây là một phương trình bậc hai ẩn x, để tính được x theo y thì Delta_{x} =(a-y)^2-4(a+1)left [ (a-2)y^2+y-3a+1 right ]=(-4a^2+4a+9)y^2-(6a+4)y+13a^2+8a-4 phải là một bình phương đúng.

Muốn vậy thì phương trình (-4a^2+4a+9)y^2-(6a+4)y+13a^2+8a-4=0 phải có nghiệm kép Leftrightarrow Delta _{y}'=(3a+2)^2-(-4a^2+4a+9)(13a^2+8a-4)=0Leftrightarrow a=2

Vậy lấy phương trình (1) nhân với 2 và cộng vế với phương trình (2) thì thu được :3x^2+(2-y)x+y-5=0

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn x thì Delta =y^2-16y+64=(y-8)^2Rightarrow x=1;vee ;x=dfrac{y-5}{3}

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình ban đầu là left ( x,y right )=left ( -dfrac{11}{10},dfrac{17}{10} right ),left ( 1,1 right ),left ( -2,-1 right ),left ( 1,-1 right )

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} x^3-y^3-3y^2=9\ x^2+y^2=x-4y end{matrix}right.

Xem lời giải tại

đây

.

Ví dụ : Giải hệ phương trình left{begin{matrix} x^2+2xy+2y^2+3x=0;;(1)\ xy+y^2+3y+1=0;;(2) end{matrix}right.

Lời giải : 

Ta cần phối hợp hai phương trình của hệ để tạo một phương trình bậc hai có ẩn là mx+ny.

Nhân hai vế của (2) với a và cộng vế với (1) thì được :

x^2+2xy+2y^2+3x+a(xy+y^2+3y+1)=0Leftrightarrow left [ x^2+(2+a)xy+(2+a)y^2 right ]+3(x+ay)+a=0

Như vậy phương trình bậc hai cần tìm sẽ có ẩn là x+ay, muốn vậy thì x^2+(2+a)xy+(2+a)y^2=(x+ay)^2Rightarrow left{begin{matrix} 2+a=2a\ 2+a=a^2 end{matrix}right.Rightarrow a=2

Từ đó được phương trình x^2+4xy+4y^2+3x+6y+2=0Leftrightarrow (x+2y)^2+3(x+2y)+2=0Leftrightarrow x+2yin left { -1,-2 right }.

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là left ( -3pm 2sqrt{2},1mp sqrt{2} right ),left ( -3pm sqrt{5},dfrac{1pm sqrt{5}}{2} right )

 

Tham khảo :

Chuyên đề PT-HPT Diễn đàn Mathscope

This entry was posted in

(3) Danh sách tổng hợp các bài toán về PT-HPT

. Bookmark the

permalink

.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button