Kiến thức

Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

4

BÀI TOÁN.  Tính tích phân displaystyle I = intlimits_a^b {left| {f(x)} right|dx} .

PHƯƠNG PHÁP.

  • Cho f(x)=0 Rightarrow x=x_i (chỉ lấy những x_iin (a;b)).
  • Khi đó displaystyle I = intlimits_a^{{x_i}} {left| {f(x)} right|dx} + intlimits_{{x_i}}^b {left| {f(x)} right|dx} .
  • Xét dấu f(x) trên các khoảng (a;x_i)(x_i;b) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_{ - 2}^2 {left| {x - 1} right|dx} .

Phân tích.
Cho x-1=0 ta có x=1in (-2;2), do đó displaystyle I = intlimits_{ - 2}^1 {left| {x - 1} right|dx} + intlimits_1^2 {left| {x - 1} right|dx} =I_1+I_2.
Đối với I_1, chọn x=0Rightarrow f(0)=-1 < 0 Rightarrow f(x) < 0 trên (-2;1) nên displaystyle I_1= intlimits_{ - 2}^1 {left( {1 - x} right)dx}. Đối với I_2, chọn x=dfrac{3}{2}Rightarrow fleft(dfrac{3}{2}right)=dfrac{1}{2}>0 Rightarrow f(x)>0 trên (-2;1) nên displaystyle I_2= intlimits_1^2 {left( {x - 1} right)dx}.
Do đó displaystyle I=I_1+I_2=intlimits_{ - 2}^1 {left( {1 - x} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {x - 1} right)dx}.

Lời giải.

displaystyle I = intlimits_{ - 2}^1 {left| {x - 1} right|dx} + intlimits_1^2 {left| {x - 1} right|dx} = intlimits_{ - 2}^1 {left( {1 - x} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {x - 1} right)dx}

displaystyle = left. {left( {x - frac{1}{2}{x^2}} right)} right|_{ - 2}^1 + left. {left( {frac{1}{2}{x^2} - x} right)} right|_1^2 = frac{9}{2} + frac{1}{2} = 5.

Nhận xét. Để xét dấu f(x) trên khoảng (alpha;beta) ta chọn cin (alpha;beta) và tính f(c). Khi đó dấu f(c) là dấu f(x) trên (alpha;beta).

Ví dụ 2. (D-2003) Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_0^2 {left| {{x^2} - x} right| dx} .

Lời giải.

displaystyle I = intlimits_0^1 {left| {{x^2} - x} right|dx} + intlimits_1^2 {left| {{x^2} - x} right|dx}

= intlimits_0^1 {left( {x - {x^2}} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {{x^2} - x} right)dx}

displaystyle = left. {left( {frac{1}{2}x - frac{1}{3}{x^3}} right)} right|_0^1 + left. {left( {frac{1}{3}{x^3} - frac{1}{2}x} right)} right|_1^2 = frac{1}{6} + frac{5}{6} = 1.

Ví dụ 3. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_{ - 2}^2 {left| {2x - left| {x + 1} right|} right|dx} .

Lời giải.

displaystyle I = intlimits_{ - 2}^{ - 1} {left| {2x + x + 1} right|dx} + intlimits_{ - 1}^2 {left| {2x - x - 1} right|dx}

displaystyle = intlimits_{ - 2}^{ - 1} {left| {3x + 1} right|dx} + intlimits_{ - 1}^1 {left| {x - 1} right|dx} + intlimits_1^2 {left| {x - 1} right|dx}

displaystyle = intlimits_{ - 2}^{ - 1} {left( { - 3x - 1} right)dx} + intlimits_{ - 1}^1 {left( {1 - x} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {x - 1} right)dx}

displaystyle = left. {left( { - frac{{3{x^2}}}{2} - x} right)} right|_{ - 2}^{ - 1} + left. {left( {x - frac{1}{2}{x^2}} right)} right|_{ - 1}^1 + left. {left( {frac{1}{2}{x^2} - x} right)} right|_1^2

= dfrac{7}{2} + 2 + dfrac{1}{2} = 6.

Ví dụ 4. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_0^{2pi } {sqrt {1 - cos 2x} dx} .

Lời giải.

displaystyle I = sqrt 2 intlimits_0^{2pi } {left| {sin x} right|dx} = sqrt 2 intlimits_0^pi {left| {sin x} right|dx} + sqrt 2 intlimits_pi ^{2pi } {left| {sin x} right|dx}

displaystyle = sqrt 2 intlimits_0^pi {sin xdx} - sqrt 2 intlimits_pi ^{2pi } {sin xdx}

displaystyle = left. { - sqrt 2 cos x} right|_0^pi + left. {sqrt 2 cos x} right|_pi ^{2pi } = sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 + sqrt 2 = 4sqrt 2 .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_0^4 {left| {3 - x} right|dx}

2. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_0^2 {left| {{x^2} - 3x + 2} right|dx} .

3. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_{ - 2}^3 {left( {left| {x + 1} right| + left| {x - 2} right|} right)dx}.

4. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_0^3 {left| {sqrt {{x^2} - 4x + 4} - 1} right|dx} .

5. Tính tích phân: displaystyle I = intlimits_0^{2pi } {sqrt {1 + sin x} dx} .

6. Tính tích phân: displaystyle I=intlimits_{0}^{3}{left| frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1} right|dx}.

Toán Phổ Thông

Tích Phân

,

Toán Lớp 12

,

Toán Thi THPT Quốc Gia

Jan·13

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button