Kiến thức

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng-Vui Học Toán

Toán – Math

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

21:39

2



Trong kì thi HSG hay là Giải toán trên mạng thì hệ thức Vi-ét được ứng dụng rất nhiều. Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó như thế nào nhé: 

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
ax^{2}+bx+c=0,,aneq 0
thì
{begin{cases}{x_{1}x_{2}=P=c/a}\{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\end{cases}}

Phương trình đa thức bất kì :
Cho phương trình:
a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,,a_{n}neq 0
Cho x1, x2,…, xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:
a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),
Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:
{begin{cases}{a=a_{n}}\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{{n-1}}}\{ldots }\{ldots }\{(-1)^{{n-1}}a(x_{1}x_{2}...x_{{n-1}}+x_{1}x_{2}...x_{{n-2}}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\{(-1)^{{n}}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\end{cases}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là a_{{n-k}}, còn vế trái được tính như sau:
  • (-1)^{{n-k}}a,
nhân với
  • Tổng của: các tích từng cụm (n-k) các nghiệm của phương trình trên.
Ví dụ : Phương Trình bậc 3
– Nếu x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình
ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,
thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:
{begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=c/a}\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\end{cases}}
Định lí vi-et  đảo :
Nếu ta có hai số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình :
X2 – SX + P = 0
Bài tập :
Bài 1 :  Cho phương trình: x2 + mx + 2m – 4 = 0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b)  Tìm  m để  phương trình có hai nghiệm thỏa:   x_1^2+x_2^2=4

Bạn đang xem: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng-Vui Học Toán

GIẢI.

a)
Δ = b2 – 4ac = m2 – 4.1.( 2m – 4)  = m2 – 8m + 16
= m2 – 2.4.m + 42 = (m – 4)2 ≥ 0 với mọi m.
=> Δ≥ 0 với mọi m.
=> phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) theo định lí viet :
x_1+x_2=frac{-b}{a}=-m
x_1.x_2=frac{c}{a}=2m-4
Theo đề bài :
x_1^2+x_2^2=4
<=>(x_1+x_2)^2-2 x_1.x_2=4
=>m^2-2(2m-4)=4
<=>m^2-4m+4=0
<=>(m-2)^2=0
<=> m – 2 = 0
<=> m = 2
Vậy : m = 2.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Bài 1 :
Cho phương trình :
a)    Chứng  tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
b)    Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x_1^2+x_2^2
Bài 2 :
Cho phương trình : x2 – 2(m – 1) -2m + 5 = 0 (với m là tham số)
a)      Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b)      Định m để : x_1+x_2+2 x_1.x_2 leq 26
Bài 3: cho phương trình : (m -1)x+ 2(m -1)x – m = 0
  1. Định m để  phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép này.
  2. Định m để  phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
Bài 4 : cho phương trình : x– 2(m +1)x + m2– m + 5= 0
  1. Định m để  phương trình có nghiệm
  2. Định m để  phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
Bài 5 : cho phương trình : x– 2mx + m2– m – 3 = 0
Định m để  phương trình có hai nghiệm thỏa : x12 + x22 = 6
CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button