Kiến thức

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA – Blog Math 123

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA


ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)


Chú ý :
– Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
– Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì :
                    x1 + x2 + x3 = -b/2a
                    x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a
                    x1x2x3 = -d/a

I. Những dạng thông thường

1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng : 

(x – x0)(ax2 + bx + c) = 0

Đặc biệt :
– Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm
– Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm

2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3
pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0

II. Những dạng tổng quát

1. Phương trình 4x3 – 3x = q

* Với │q│ ≤ 1
– Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
– Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
– Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3
– Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3
Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt “ép” ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay

* Với │q│ > 1 : 
– Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất
– Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 – 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách :
   q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 – 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a)
– CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình

2. Phương trình 4x3 + 3x = q
– Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất
– Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 – 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a – 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)

3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan – Tartaglia)
– Đặt x = u – v sao cho uv = p/3
– Từ pt, ta có : (u – v)3 + 3uv(u – v) = u3 – v3 = q
– Hệ phương trình uv = p/3 và u3 – v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v
Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên)
Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này

4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0
Đặt X = x – A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#)

Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan – Tartaglia

Cách 2 : 
– Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0
 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0)
– Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive