Kiến thức

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN – Blog Math 123

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN


ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0)

I. Những dạng đặc biệt

1/ Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình trở về dạng bậc hai

2/ (x + a)4 + (x + b)4 = c
Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)4 + (t – m)4 = c, khai triển sẽ được pt trùng phương

3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d
pt ↔ [x2 + (a + b)x + ab].[x2 + (c + d)x + cd] = m
Đặt t = x2 + (a + b)x = x2 + (c + d)x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
Phương trình trở về dạng bậc hai

4/ ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k2a = 0 (a ≠ 0)
– Xét x = 0 có phải nghiệm pt không
– Với x ≠ 0 : Chia 2 vế pt cho x2
pt ↔ a (x2 + k2/x2) + b(x ± k/x) + c = 0
Đặt t = x ± k/x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)

5/ a[f2(x) + 1/f2(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)

6/ a.f2(x) + b.f(x).g(x) + c.g2(x) = 0 (a ≠ 0)
– Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0
– Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g2(x)
– Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t

7/ x = f(f(x))
pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)

* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có thể đổi vai trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x rồi suy ra x theo a)

II. Phương trình bậc bốn tổng quát X4 + AX3 + BX2 + CX + D = 0 (công thức Ferrari)

– Đặt X = x – A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba :

x4 = ax2 + bx + c

– Cộng 2 vế pt cho 2mx2 + m2 (m thuộc R), ta được :
  (x2 + m2)2 = (2m + a)x2 + bx + c + m2
– Xét vế phải pt, ta sẽ chọn m sao cho vế phải là bình phương một nhị thức bằng cách :
  ΔVP = b2 – 4(2m + a)(c + m2) : pt bậc ba theo m → luôn có nghiệm thực
– Khi đó pt có dạng : (x2 + m2)2 = f2(x)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button