Kiến thức

Công thức Moivre – Blog Math 123

Công thức Moivre

Bạn đang xem: Công thức Moivre – Blog Math 123

 bài trước chúng ta đã học sơ qua về 

số phức

. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức vàcông thức Moivre.

Xin nhắc lại rằng điểm trọng tâm của số phức là sự ra đời của một con số rất đặc biệt, đó là con số i với tính chất

screenshot-by-nimbus (1)

Số phức có dạng

screenshot-by-nimbus (2)

trong đó a và b là hai số thực

Kỳ trước

 chúng ta đã học về những phép tính đại số cơ bản của số phức.

  • Phép cọng và trừ

    screenshot-by-nimbus (3)

  • Phép nhân

    screenshot-by-nimbus (4)

  • Phép chia Sử dụng đẳng thức

    screenshot-by-nimbus (5)

    screenshot-by-nimbus (57)screenshot-by-nimbus (58)

    screenshot-by-nimbus (59)

  • Số phức liên hợp

    screenshot-by-nimbus (7)

  • Trị tuyệt đối

    screenshot-by-nimbus (8)

Dạng lượng giác của số phức

Hôm nay chúng ta sẽ học về một tính chất rất quan trọng của số phức, đó là mọi số phức z đều có thể viết về dạng lượng giác như sau

screenshot-by-nimbus (9)

trong đó 

screenshot-by-nimbus (10)

Thật vậy, với z=a+ib, chúng ta có

screenshot-by-nimbus (11)

do đó

screenshot-by-nimbus (12)

Chúng ta có

screenshot-by-nimbus (13)

do đó tồn tại ϕ để

screenshot-by-nimbus (14)

Suy ra

screenshot-by-nimbus (15)

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác của số phức

screenshot-by-nimbus (16)

Trường hợp đặc biệt z=0 thì chúng ta có thể chọn 

screenshot-by-nimbus (17)

Phép nhân của số phức theo dạng lượng giác

Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong việc lấy tích của hai số phức nhờ vào hằng đẳng thức sau đây

screenshot-by-nimbus (18)

Do đó nếu chúng ta có hai số phức u và v, nếu chúng ta biểu diễn chúng về dạng lượng giác

screenshot-by-nimbus (19)

thì tích của chúng sẽ là

screenshot-by-nimbus (20)

Luỹ thừa và Công thức Moivre

Tương tự như phép nhân, phép lấy luỹ thừa cũng rất dễ dàng khi chúng ta viết số phức về dạng lượng giác.

Nếu

screenshot-by-nimbus (21)

thì

screenshot-by-nimbus (22)

Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức

screenshot-by-nimbus (23)

Bây giờ chúng ta làm một số bài tập.

Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai

screenshot-by-nimbus (24)

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có

screenshot-by-nimbus (25)

do đó phương trình này có nghiệm phức

screenshot-by-nimbus (26)

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng

screenshot-by-nimbus (27)

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

screenshot-by-nimbus (28)

Bài toán 2: Giải phương trình bậc hai

screenshot-by-nimbus (29)

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có

screenshot-by-nimbus (30)

do đó phương trình này có nghiệm phức

screenshot-by-nimbus (31)

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng

screenshot-by-nimbus (32)

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

screenshot-by-nimbus (33)

Bài toán 3: Giải phương trình bậc hai

screenshot-by-nimbus (34)

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có

screenshot-by-nimbus (35)

do đó phương trình này có nghiệm phức

screenshot-by-nimbus (36)

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng

screenshot-by-nimbus (37)

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

screenshot-by-nimbus (38)

Bài toán 4: Tính 

screenshot-by-nimbus (39)

 bằng hai cách, công thức Moivre và 

nhị thức Newton

, rồi suy ra hằng đẳng thức sau

screenshot-by-nimbus (60)screenshot-by-nimbus (61)

Lời giải: Cách thứ nhất chúng ta đưa 

screenshot-by-nimbus (41)

 về dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre.

Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của 

screenshot-by-nimbus (41)

screenshot-by-nimbus (42)

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

screenshot-by-nimbus (43)

Dùng công thức Moivre, chúng ta tính luỹ thừa

screenshot-by-nimbus (62)

screenshot-by-nimbus (63)

Dùng 

nhị thức Newton

, chúng ta có

screenshot-by-nimbus (64)

screenshot-by-nimbus (65)

screenshot-by-nimbus (66)

screenshot-by-nimbus (67)

screenshot-by-nimbus (68)

So sánh phần số thực của hai kết quả, chúng ta rút ra được hằng đẳng thức

screenshot-by-nimbus (46)

Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.

Bài tập về nhà.

1. Viết các số sau về dạng lượng giác: 

screenshot-by-nimbus (47)

2. Tìm giá trị tuyệt đối của số phức 

screenshot-by-nimbus (48)

3. Cho 

screenshot-by-nimbus (50)

 và 

screenshot-by-nimbus (51)

, tính 

screenshot-by-nimbus (52)

4. Tính 

screenshot-by-nimbus (53)

 bằng hai cách, công thức Moivre và 

nhị thức Newton

, rồi suy ra hằng đẳng thức tổ hợp.

5. Biểu diễn x dưới dạng lượng giác rồi tìm tất cả các giá trị của số phức 

screenshot-by-nimbus (54)

sao cho 

screenshot-by-nimbus (69)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button