Kiến thức

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

February 6, 2016

Bạn đang xem: MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN 

I. Đổi biến lượng giác :

1. Tích phân có chứa sqrt{a^2-x^2} ta đặt x=|a|.sint,;tin left [ dfrac{-pi}{2},dfrac{pi}{2} right ] hoặc x=|a|.cost,;tin left [ 0,pi right ].

2. Tích phân có chứa sqrt{x^2-a^2} ta đặt x=dfrac{|a|}{sint},;tin left [ dfrac{-pi}{2},dfrac{pi}{2} right ] hoặc x=dfrac{|a|}{cost},;tin left [ 0,pi right ].

3. Tích phân có chứa sqrt{a^2+x^2} ta đặt x=|a|.tant,;tin left ( dfrac{-pi}{2},dfrac{pi}{2} right ) hoặc x=|a|.cott,;tin left ( dfrac{-pi}{2},dfrac{pi}{2} right )

4. Tích phân có chứa sqrt{dfrac{a+x}{a-x}} hoặc sqrt{dfrac{a-x}{a+x}} ta đặt x=a.cos2t

5. Tích phân có chứa sqrt{(x-a)(x-b)} ta đặt x=a+(b-a)sin^2t

6. Tích phân có dạng hàm số phân thức ta thường thay biến mới bằng mẫu số.

7. Tích phân có dạng hàm số fleft ( x,sqrt{g(x)} right ), ta đặt t=sqrt{g(x)}.

8. Tích phân có dạng hàm số f(x)=dfrac{a.sinx+b.cosx}{c.sinx+d.cosx+e} ta dùng phép thế Euler : t=tandfrac{x}{2}.

II. Tính tích phân có dạng hàm số hữu tỉ.

Với hàm số có dạng dfrac{P(x)}{Q(x)} trong đó degP<degQ. Đa thức mẫu Q(x) luôn có thể viết được dưới dạng :

Q(x)=(x-a_1)^{k_1}.(x-a_2)^{k_2}...(x-a_n)^{k_n}.(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}...(x^2+p_mx+q_m)^{l_m}

Khi đó ta có biểu diễn :

dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{A_{1.1}}{x-a_1}+dfrac{A_{1.2}}{(x-a_1)^2}+...+dfrac{A_{1.k_1}}{(x-a_1)^{k_1}}+dfrac{A_{2.1}}{x-a_2}+...+dfrac{A_{2.k_2}}{(x-a_2)^{k_2}}+....+dfrac{A_{n.1}}{x-a_n}+...+dfrac{A_{n.k_n}}{(x-a_n)^{k_n}}

+dfrac{B_{1.1}}{x^2+p_1x+q_1}+dfrac{B_{1.2}}{(x^2+p_1x+q_1)^2}+...+dfrac{B_{1.l_1}}{(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}}+...+dfrac{B_{m.l_m}}{(x^2+p_mx+q_m)^{l_m}}

Trong đó các hằng số A_{i.j},B_{i.j} được xác định bằng cách đồng nhất hệ số.

Một số dạng đặc biệt :

1. Nếu P(x)=Q'(x) thì đưa được tích phân về dạng : I=int dfrac{P(x)}{Q(x)}dx=int dfrac{d(Q(x))}{Q(x)}.

2. Nếu tích phân có dạng : I=int dfrac{d}{ax^2+bx+c} và tam thức ax^2+bx+c vô nghiệm.

Ta để ý : ax^2+bx+c hoàn toàn có thể viết được dưới dạng a(x+e)^2+f. Lúc này ta áp dụng đổi biến lượng giác.

3. Nếu tích phân có dạng : I=int dfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}. Ta có thể viết tử số dưới dạng dx+e=p.(ax^2+bx+c)'+q. Sau đó áp dụng cách tính tích phân dạng trên.

4. Tích phân có dạng I=int dfrac{1}{sqrt{(x+a)(x+b)}} ta đặt t=sqrt{x+a}+sqrt{x+b} hoặc t=sqrt{-(x+a)}+sqrt{-(x+b)}

III. Một số hàm lượng giác :

1. Nếu tích phân có dạng I=int dfrac{1}{dsinx+ecosx+f}dx. Ta dùng phép thế Euler.

2. Nếu tích phân có dạng : I=int dfrac{asinx+bcosx+c}{dsinx+ecosx+f}dx ta chọn các hằng số A,B,C để TS=A(MS)'+B(MS)+C.

TS : Tử số

MS : Mẫu số

Sau đó đưa về dạng sử dụng phép thế Euler.

3. Nếu tích phân có dạng I=int dfrac{asinx+bcosx}{(csinx+dcosx)^n}dx (n không quá lớn) thì ta chọn các hằng số A,B :

asinx+bcosx=A(csinx+dcosx)'+B(csinx+dcosx)

4. Nếu tích phân có dạng I=int dfrac{dx}{(asinx+bcosx)^2} ta chú ý :

asinx+bcosx=sqrt{a^2+b^2}cos(x-alpha)

Trong đó alpha là góc thoả sinalpha=dfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}},cosalpha=dfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}

IV. Một số dạng đặc biệt

1. Nếu f(x) liên tục trên left [ -a,a right ] thì int_{-a}^{a}f(x)dx=int_{-a}^{a}(f(x)+f(-x))dx

2. Nếu f(x) liên tục trên left [ -a,a right ]. Xét I=int_{-a}^{a}f(x)dx thì ta có I=2int_{0}^{a}f(x)dx khi f chẵn trên left [ -a,a right ]I=0 khi trên f lẻ trên left [ -a,a right ].

3. Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên left [ -a,a right ] thì :

int_{-a}^{a}dfrac{f(x)}{b^x+1}=int_{-a}^{a}f(x)dx

4. Nếu tích phân có dạng I=int (g(x)+g'(x))e^x, ta sử dụng tích phân từng phần.

 

This entry was posted in

CHUYÊN MỤC ÔN THI ĐẠI HỌC

. Bookmark the

permalink

.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button