Kiến thức

Đổi biến – Tích phân dẫn đến phương trình vi phân

Đổi biến – Tích phân dẫn đến phương trình vi phân

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Để chứng minh tính bất biến của phương trình Laplace qua các phép biến đổi trực giao ta tính toán trực tiếp nhờ công thức đạo hàm hàm hợp và một chút đại số tuyến tính, đặc biệt viết toán tử Laplace dưới dạng

Delta u= Tr(nabla^2 u),

như trình bày trong phản hồi

Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp K58A1T

Như vậy, có thể nói hàm điều hòa bất biến qua phép đổi biến trực giao. Ta còn có thể chỉ ra kết quả mạnh hơn, khi ta xét trong mặt phẳng:

hàm điều hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác.

Để làm điều này ta cũng có thể dùng cách tính toán như trong phản hồi. Lần từng bước ta thấy do ánh xạ bảo giác nói chung là phép đổi biến không tuyến tính nên khi tính toán nabla^2 u ta sẽ thấy xuất hiện các đạo hàm cấp 1 của v. Lúc này cần đến tính bảo giác để chỉ ra hệ số của các đạo hàm cấp 1 này bằng 0. Dưới đây ta sẽ dùng tích phân để chỉ ra điều này!

Trước hết ta viết lại toán tử Laplace dưới dạng

Delta u = div(nabla u).

Ta xét toán tử dạng tổng quát hơn, phương trình elliptic dạng div:

div(Anabla u)=0 trong Omega,quadquad(1)

với A(x)={a_{ij}(x)}_{1le i, jle n}, xinOmegasubsetmathbb R^n, là ma trận hàm cấp n.

Ta sẽ chứng minh rằng, qua phép đổi biến

Phi: Omegato Omega', y=Phi(x), OmegaOmega' là cac tập mở trong mathbb R^n,

toán tử dạng div vẫn có dạng div trong biến mới. Cụ thể với u(x)=v(Phi(x)), phương trình (1) khi viết với biến y có dạng

div(tilde{A}nabla v)=0 trong Omega'

với

tilde{A}(y)=dfrac{1}{|det J(y)|} J(y) A(Phi^{-1}(y))J^T(y),

J(y)=DPhi(Phi^{-1}(y)) là ma trận Jacobien của phép đổi biến.

Trước khi dùng tích phân để chứng minh kết quả trên ta sử dụng kết quả này để đưa ra giải thích cho kết quả đã đưa ra ở trên về hàm điều hòa. Nhắc lại ánh xạ bảo giác Phi: OmegatoOmega' là phép vi phôi thỏa mãn

DPhi (DPhi)^T= a^2(x) E, E là ma trận vuông đơn vị.

Trong trường hợp mặt phẳng n=2

a^2=|det DPhi|.

Lấy ví dụ về ánh xạ bảo giác trong mathbb R^2. Ta có thể coi mathbb C=mathbb R^2. Với U, V là các tập mở trong mathbb C. Ánh xạ f: Uto V là ánh xạ bảo giác nếu nó là hàm chỉnh hình mà f'(z)not=0, zin U.

Do đó, trong mặt phẳng, nếu đổi biến bằng ánh xạ bảo giác phương trình Laplace div(E nabla u)=0 vẫn giữa nguyên khi viết sang biến mới. Nói cách khác ta đã chứng minh được:

trong mặt phẳng, hàm điều hòa bất biến qua ánh xạ bảo giác.

Điều này được sử dụng để giải bài toán biên trong nửa dải:

Bài toán biên Dirichlet trên nửa dải vô hạn

Tiếp theo ta dùng kết quả trên để viết toán tử Laplace trong hệ tọa độ cực, trong mặt phẳng, và trong hệ tọa độ cầu, trong không gian.

Hệ tọa độ cực được viết dưới dạng phép đổi biến

(x, y)=Psi(r, theta)= (rcostheta, rsintheta)

(r, theta)=Psi^{-1}(x, y)=Phi(x, y).

Dùng định lý hàm ngược ta có

dfrac{1}{det(DPhi)}=det(DPsi)=r,

DPhi(DPhi^T)=left((DPsi)^TDPsiright)^{-1}=begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & r^{-2}end{pmatrix},

dfrac{1}{|det(DPhi)|}DPhi E (DPhi)^T=begin{pmatrix} r & 0 \ 0 & r^{-1}end{pmatrix}.

Trong hệ tọa độ cực phương trình Laplace trở thành

partial_r(r v_r)+partial_theta(r^{-1}v_theta)=0

hay

rv_{rr}+v_r+r^{-1}v_{thetatheta}=0.

Tiếp theo ta chuyển sang hệ tọa độ cầu

(x, y, z)=Psi(r, theta, varphi)= (rsintheta cosvarphi, rsinthetasinvarphi, rcostheta)

(r, theta, varphi)=Psi^{-1}(x, y, z)=Phi(x, y, z).

Dùng định lý hàm ngược ta có

dfrac{1}{det(DPhi)}=det(DPsi)=r^2sintheta,

DPhi(DPhi^T)=left((DPsi)^TDPsiright)^{-1}=begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & r^{-2} & 0 \ 0 & 0 & r^{-2}sin^{-2}thetaend{pmatrix},

dfrac{1}{|det(DPhi)|}DPhi E (DPhi)^T=begin{pmatrix} r^2sintheta & 0 & 0\ 0 & sintheta & 0 \ 0 & 0 & sin^{-1}thetaend{pmatrix}.

Trong hệ tọa độ cầu phương trình Laplace trở thành

partial_r(r^2sintheta v_r)+partial_theta(sintheta; v_theta)+partial_varphi(sin^{-1}theta ; v_varphi)=0

hay

(r^2v_r)_r +dfrac{1}{sintheta}(sintheta; v_theta)_theta + dfrac{1}{sin^2theta}; v_{varphivarphi}=0.

So sánh một chút, toán tử Laplace

+ trong hệ tọa độ cực

Delta u=dfrac{1}{r}(rv_r)_r +dfrac{1}{r^2}v_{thetatheta},

+ trong hệ tọa độ cầu

Delta u=dfrac{1}{r^2} (r^2v_r)_r +dfrac{1}{r^2sin^2theta}(sintheta; v_theta)_theta+dfrac{1}{r^2sintheta}v_{varphivarphi}.

So với các phương trình mới chuyển từ việc dùng kết quả sai khác nhau thừa số |det J|=|det(DPhi)|. Nói cách khác, sau phép đổi biến y=Phi(x), toán tử dạng div

Lu=div(Anabla u)

chuyển thành

Lv=|det J| div(dfrac{1}{|det J|}J A J^Tnabla v).

Có thể thấy ngay rằng kết quả này dẫn đến ngay kết quả trên. Để chứng minh kết quả này ta xét phương trình

Lu=f trong Omega.

Hàm uin C^2(Omega) thỏa mãn phương trình trên khi và chỉ khi

int_Omega Lu(x)varphi(x)dx=int_Omega f(x)varphi(x)dx, varphiin C^infty_0(Omega).

Dùng công thức dạng DIV ta có thể chuyển đẳng thức trên thành

int_Omega (A(x) nabla u(x))cdot (nabla varphi(x))dx=int_Omega f(x)varphi(x)dx, varphiin C^infty_0(Omega).

Đổi biến y=Phi(x)

– miền lấy tích phân mới Omega'=Phi(Omega),

– tỷ lệ vi phân thể tích cũ so với mới

dx=|det DPhi|^{-1}dy=dfrac{1}{|det J|}dy.

Ngoài ra dùng công thức đạo hàm hàm hợp

nabla_xu=(u_{x_1}, cdots, u_{x_n})=J nabla_y v

Đẳng thức trên sau khi đổi biến

int_{Omega'} (A(Phi^{-1}(y)) J^T(y) nabla v(y))cdot (J^T nabla varphi(Phi^{-1}(y)))dfrac{dy}{|det J(y)|}=int_{Omega'}f(Phi^{-1}(y))varphi(Phi^{-1}(y))dfrac{dy}{|det J(y)|}.

Từ đây, dùng công thức dạng DIV và động tác phụ ta có

|det J(y)| div(dfrac{1}{|det J(y)|}J(y)A(Phi^{-1}(y)) J^T(y) nabla v(y))=f(Phi^{-1}(y)) trong Omega'.

Đây chính là điều ta mong muốn.

About datuan5pdes

Giảng viên của Khoa Toán – Bộ môn Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội. Hướng nghiên cứu: Phương trình Đạo hàm riêng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button