Kiến thức

Tích phân Riemann và tích phân Ito – Investment Thinking

Tích phân Riemann và tích phân Ito

Cho hàm số f(t) với t in [0, T] . Giờ chúng ta muốn tìm tích phân của phương trình f(t) trong khoảng [0,T]

displaystyleint_0^T f(t)ds

Với tích phân Riemann, đầu tiên chia khoảng [0, T] ra làm n đoạn thỏa mãn:

0 = t_0 < t_1 < dotsi < t_n = T

Max của |t_i - t_{i-1}| to 0, tích phân Riemann sẽ được định nghĩa như sau:

 displaystylesum_{i = 1}^{n} fbigg(displaystylefrac{t_i + t_{i - 1}}{2}bigg)(t_i - t_{i-1}) to displaystyleint_0^T f(s)ds

Phần bên trái của định nghĩa là phần diện tích với cạnh đáy = |t_i - t_{i-1}| và chiều cao bằng f((t_i - t_{i-1})/2)

1.PNG

Giả sử t_i = t_2 t_{i-1} = t_1, tích phân Riemann sẽ lấy trung bình 2 giá trị f(t_1)f(t_2) tương ứng, sau đó nhân với giá trị |t_2 - t_1|. Lưu ý rằng diện tích A và diện tích của B là xấp xỉ nhau. Nếu giá trị |t_2 - t_1| càng nhỏ và hàm f(t) đủ “smooth” thì chênh lệch giữa 2 phần diện tích càng nhỏ.

Giả sử tôi không sử dụng cách tính chiều cao như ở trên, thay vào đó tôi lấy chính xác giá trị f(t) tại điểm cụ thể, vậy kết quả có sai lệch quá nhiều?

displaystyle f(t_i)(t_i - t_{i-1})

hoặc

f(t_{i-1})(t_i - t_{i-1})

Nhìn vào hình bên dưới thấy rằng,

2.PNG

khi giá trị |t_i - t_{i-1}| đủ nhỏ, phần diện tích sử dụng giá trị f(t_i) hay giá trị f(t_{i-1}) sẽ trở nên không quá khác biệt ở điểm giới hạn (limit).

Lấy ví dụ 1 trường hợp cụ thể, giả sử tôi muốn tính tích phân của hàm số f(x_t) = x_t với x_0 = 0 trong khoảng từ 0 tới T, dễ dàng nhận thấy:

displaystyleint_0^T X_sdX_s = displaystylefrac{1}{2}(X_T)^2 -displaystylefrac{1}{2}(X_0)^2 = displaystylefrac{1}{2}(X_T)^2

Kết quả của tích phân Riemann không thể áp dụng khi biến số trong phương trình f(t) ở dạng ngẫu nhiên. Tôi sẽ thay biến số t bằng biến số W_s khi phân tích trường hợp tích phân ngẫu nhiên. Giả sử có phương trình f(W_t) với W_t là biến ngẫu nhiên. Tích phân của f(W_t) có dạng như sau:

displaystyleint_0^T f(W_s)dW_s

Không như tích phân của 1 biến không ngẫu nhiên, việc sử dụng giá trị W_{t_i} hay W_{t_{i-1}} sẽ dẫn đến kết quả khác biệt khi tính toán:

f(W_{t_i})(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})

f(W_{t_{i-1}})(W_{t_i} - W_{t_{i-1}})

Việc hàm f phụ thuộc vào biến số W_t ngẫu nhiên sẽ dẫn đến việc kết quả của tích phân bản thân nó cũng phải ngẫu nhiên.

Lấy ví dụ sau, tôi có hàm số f(X_t) với biến số X_t  có dạng chuyển động Brownie, trên khoảng [0, T]. Để tính tích phân:

displaystyleint_0^T X_s dX_s

tôi không thể áp dụng tích phân Riemann, trong trường hợp này, tích phân sẽ được tính theo dạng tích phân Ito như sau:

displaystyleint_0^T X_s dX_s = lim_{n to infty  } displaystylesum_{i = 0}^{n-1} (X_{t_i} (X_{t_{i+1}} - X_{t_i} ))

với t_i = displaystylefrac{i times T}{n} với 0 = t_0 < t_1 < t_2 < dotsi < t_{n-1} < t_n = T n in N

Đầu tiên, tôi sẽ bắt đầu bằng hằng đẳng thức đáng nhớ

(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

chuyển vế ab sang 1 vế được:

ab = displaystylefrac{1}{2} bigg[ (a + b)^2 - a^2 - b^2 bigg]

Lúc này đặt a = X_{t_i}b =  (X_{t_{i+1}} - X_{t_i} ) ta thấy

a + b = X_{t_{i+1}}

 tích phân lúc này sẽ có dạng:

displaystylelim_{n to infty } displaystylesum_{i = 0}^{n-1} (X_{t_i} (X_{t_{i+1}} - X_{t_i} ))

= displaystylelim_{n to infty } displaystylesum_{i = 0}^{n-1} displaystylefrac{1}{2} bigg[ Big( ( X_{t_{i+1}} )^2  -  (X_{t_i})^2 Big) -  (X_{t_{i+1}} - X_{t_i} )^2 bigg]

Dễ dàng nhận thấy khi tính tổng của hiệu 2 bình phương của limit, tôi có thể triệt tiêu các giá trị 2 giữa 2 giá trị đầu cuối (X_{t_n})^2(X_{t_0})^2 .

Với bình phương của 2 hiệu, tôi áp dụng kĩ thuật Quadratic Variation áp dụng cho chuyển động Brownie được:

displaystylelim_{n to infty } displaystylesum_{i = 0} ^ {n - 1} (X_{t_{i+1}} - X_{t_i} )^2 = T

Phần chứng minh Quadratic Variation sẽ được thêm vào ở bài viết tiếp theo.

tích phân Ito lúc này sẽ có dạng

displaystylefrac{1}{2} bigg[ displaystylelim_{n to infty} (W_{t_n}^2 - W_{0}^2) - t bigg]

= displaystylefrac{1}{2}(W_t^2 - T)

Có thể thấy cùng ở dạng f(x) = X_t , tích phân trong khoảng [0,T] giữa hai biến xác định và ngẫu nhiên sẽ cho 2 kết quả khác biệt. Đặc biệt hơn, ở đây, tích phân của biến ngẫu nhiên có dạng chuyển động Brownie, cần áp dụng phương pháp tích phân Ito và quadratic variation phải có upper và lower limit.

P/S: Sẽ có những sai sót trong quá trình biên dịch và giải thích của tác giả ở nội dung trên.

Source: An introduction to the mathematics of financial derivatives (Neftci 1996)

Posted in

Life

,

Quantitative Analysis

NTL Research Group

Leave a comment

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button