Kiến thức

Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt

Trong giáo trình hàm suy rộng tôi có đưa ra nghiệm cơ bản

E(x, t)=begin{cases} (4pi t)^{-n/2}e^{-frac{||x||^2}{4t}}, ; khi ; t>0,\ 0, ; khi ; tle 0,end{cases}

của phương trình truyền nhiệt nghĩa là

(D_t-Delta_x)E=delta trên mathbb R^n times mathbb R.

Cụ thể hơn nghiệm cơ bản E(x, t) thỏa mãn

int_{-infty}^infty dt int_{mathbb R^n}E(x, t)(-partial_t varphi(x, t)-Delta_x varphi(x, t))dx=varphi(0, 0), forall varphiin C^infty_0(mathbb R^ntimesmathbb R). quad quad(1)

Trong giáo trình tôi không chứng minh đẳng thức (1) trực tiếp mà tôi sử dụng biến đổi Fourier theo biến không gian. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách chứng minh trực tiếp đẳng thức trên với các chú ý sau:

  • BD1: partial_tE(x, t)=Delta_x E(x, t), xinmathbb R^n, t>0.
  • BD2: lim_{tto 0_+}int_{mathbb R^n}E(x, t)varphi(x, t)dx=varphi(0, 0), forall varphiin C^infty_0(mathbb R^ntimes mathbb R).

BD1: ta chỉ cần tính toán trực tiếp.

BD2: ta cần đến các tính chất sau:

  • int_{mathbb R^n}E(x, t)dx=1, t>0.
  • lim_{tto 0_+}int_{||x||>R}E(x, t)dx=0, R>0.

Quay trở lại chứng minh (1). Lấy varphiin C^infty_0(mathbb R^ntimesmathbb R). Khi đó có R>0 để suppvarphisubset B_Rtimes[-R, R]. Vế trái của đẳng thức (1) trở thành

VT=int_0^Rdt int_{B_R}E(x, t)(-partial_t varphi(x, t)-Delta_xvarphi(x, t))dx.quad (2)

Khi t>0, sử dụng công thức Green và BD1 ta có

int_{B_R}E(x, t)Delta_xvarphi(x, t)dx=int_{B_R}varphi(x, t)Delta_xE(x, t)dx=int_{B_R}varphi(x, t)partial_tE(x, t)dx.quadquad (3)

Chú ý sự kỳ dị của E(x, t) khi (x, t)to (0, 0). Lấy epsilon>0 đủ bé. Xét tích phân

int_epsilon^R dt int_{B_R}E(x, t)partial_tvarphi(x, t)dx=int_{B_R}dxint_epsilon^R E(x, t)dvarphi(x, t)=

= -int_{mathbb R^n}E(x, epsilon)varphi(x, epsilon)dx-int_{epsilon}^Rdtint_{B_R}varphi(x, t)partial_t E(x, t)dx.quadquad  (4)

Từ (2)-(3)-(4) và cho epsilonto 0_+, dùng BD2, ta có ngay (1).

Chú ý BD2 có thể hiểu

mathcal D'_{-}lim_{tto 0_+}E(x, t)=delta(x).

Đến đây ta có thể mở rộng kết quả trên cho toán tử

partial_t-P(ipartial_x)quadquad (5)

trong đó P(xi)=sum_{|alpha|le N}a_alpha xi^alpha là đa thức n biến, bậc N, partial_x=(partial_{x_1}, dots, partial_{x_n}). Chẳng hạn P(xi)=-|xi|^2 ta lại có toán tử (5) là toán tử truyền nhiệt.

Giả sử u(x, t)in mathcal D'(mathbb R^ntimes(0, +infty)) là nghiệm của bài toán Cauchy

begin{cases}partial_t u(x, t)=P(ipartial_x)u(x, t), ; khi ; t>0,\ mathcal D'_{-}lim_{tto 0_+}u(x, t)=delta(x).end{cases}

Khi đó nghiệm cơ bản của (5)

E(x, t)=begin{cases}u(x, t) ; khi ; t>0, \ 0 ; khi ; t<0.end{cases}

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button