Kiến thức

Dấu của tam thức bậc hai-TOANMATH.com

Bạn đang xem: Dấu của tam thức bậc hai-TOANMATH.com

Dấu của tam thức bậc hai

Bài viết hướng dẫn phương pháp xét dấu của tam thức bậc hai và cách giải các dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu

bất đẳng thức và bất phương trình

xuất bản trên TOANMATH.com.

A. LÝ THUYẾT VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai:
• Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{{x}^{2}}+bx+c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là những số cho trước với $ane 0.$
• Nghiệm của phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
• $Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và $Delta’=b’^{2}-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong các bảng sau:
Trường hợp 1: $Δ<0$ (tam thức bậc hai vô nghiệm).

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-1

Trường hợp 2: $Δ=0$ (tam thức bậc hai có nghiệm kép ${x_0} = – frac{b}{{2a}}$).

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-2

Trường hợp 3: $Δ>0$ (tam thức bậc hai có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ $left( {{x_1} < {x_2}} right)$).

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-3

Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$, ta có:
• $a{x^2} + bx + c > 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a > 0\
Delta < 0
end{array} right.$
• $a{x^2} + bx + c ge 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a > 0\
Delta le 0
end{array} right.$
• $a{x^2} + bx + c < 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a < 0\
Delta < 0
end{array} right.$
• $a{x^2} + bx + c le 0$, $forall x in R$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a < 0\
Delta le 0
end{array} right.$

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
Phương pháp giải toán: Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
• Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $Pleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả

nhị thức bậc nhất

).
+ Lập bảng xét dấu của $Pleft( x right).$
• Đối với phân thức $frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ là các đa thức) ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $frac{P(x)}{Q(x)}.$

Ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) $3{{x}^{2}}-2x+1.$
b) $-{{x}^{2}}+4x+5.$
c) $-4{{x}^{2}}+12x-9.$
d) $3{{x}^{2}}-2x-8.$
e) $25{{x}^{2}}+10x+1.$
f) $-2{{x}^{2}}+6x-5.$

a) Ta có $Delta’=-2<0$, $a=3>0$ suy ra $3{{x}^{2}}-2x+1>0$, $forall xin mathbb{R}.$
b) Ta có $ – {x^2} + 4x + 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\
{x = 5}
end{array}} right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-4

Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0$ $Leftrightarrow xin left( -1;5 right)$ và $-{{x}^{2}}+4x+5<0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;-1 right)cup left( 5;+infty right).$
c) Ta có $Delta’=0$, $a<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+12x-9<0$, $forall xin mathbb{R}backslash left{ frac{3}{2} right}.$
d) Ta có $3{{x}^{2}}-2x-8=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=2 \
x=-frac{4}{3} \
end{matrix} right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-5

Suy ra $3{{x}^{2}}-2x-8>0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;-frac{4}{3} right)cup left( 2;+infty right)$ và $3{{x}^{2}}-2x-8<0$ $Leftrightarrow xin left( -frac{4}{3};2 right).$
e) Ta có $Delta’=0$, $a>0$ suy ra $25{{x}^{2}}+10x+1>0$, $forall xin mathbb{R}backslash left{ -frac{1}{5} right}.$
f) Ta có $Delta’=-1<0$, $a<0$ suy ra $-2{{x}^{2}}+6x-5<0$, $forall xin mathbb{R}.$

Ví dụ 2. Tùy theo giá trị của tham số $m$, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2.$

Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $Delta’={{m}^{2}}-3m+2.$
• Nếu $1<m<2$ $Rightarrow Delta'<0$ $Rightarrow f(x)>0$, $forall xin R.$
• Nếu $left[ begin{align}
& m=1 \
& m=2 \
end{align} right.$ $Rightarrow Delta’=0$ $Rightarrow f(x)ge 0$, $forall xin R$ và $f(x)=0$ $Leftrightarrow x=-m.$
• Nếu $left[ begin{align}
& m>2 \
& m<1 \ end{align} right.$ $Rightarrow Delta’>0$ $Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm: ${{x}_{1}}=-m-sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$. Khi đó:
+ $f(x)>0$ $Leftrightarrow xin (-infty ;{{x}_{1}})cup ({{x}_{2}};+infty ).$
+ $f(x)<0$ $Leftrightarrow xin ({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$

Ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) $left( -{{x}^{2}}+x-1 right)left( 6{{x}^{2}}-5x+1 right).$
b) $frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
c) ${{x}^{3}}-5x+2.$
d) $x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$

a) Ta có:
$-{{x}^{2}}+x-1=0$ vô nghiệm.
$6{{x}^{2}}-5x+1=0$ $Leftrightarrow x=frac{1}{2}$ hoặc $x=frac{1}{3}.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-6

Suy ra $left( -{{x}^{2}}+x-1 right)left( 6{{x}^{2}}-5x+1 right)$ dương khi và chỉ khi $xin left( frac{1}{3};frac{1}{2} right)$, $left( -{{x}^{2}}+x-1 right)left( 6{{x}^{2}}-5x+1 right)$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;frac{1}{3} right)cup left( frac{1}{2};+infty right).$
b) Ta có:
${{x}^{2}}-x-2=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-1 \
x=2 \
end{matrix} right.$
$-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-1 \
x=4 \
end{matrix} right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-7

Suy ra $frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $xin left( 2;4 right)$, $frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-1 right)cup left( -1;2 right)cup left( 4;+infty right).$
[ads]
c) Ta có:
${{x}^{3}}-5x+2=left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x-1 right).$
${{x}^{2}}+2x-1=0Leftrightarrow x=-1pm sqrt{2}.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-8

Suy ra ${{x}^{3}}-5x+2$ dương khi và chỉ khi $xin left( -1-sqrt{2};-1+sqrt{2} right)cup left( 2;+infty right)$, ${{x}^{3}}-5x+2$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-1-sqrt{2} right)cup left( -1+sqrt{2};2 right).$
d) Ta có:
$x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=frac{-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=frac{left( x-1 right)left( -{{x}^{2}}+x+6 right)}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
$-{{x}^{2}}+x+6=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-2 \
x=3 \
end{matrix} right.$
$-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-1 \
x=4 \
end{matrix} right.$
Bảng xét dấu:

dau-cua-tam-thuc-bac-hai-9

Suy ra $x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $xin left( -2;-1 right)cup left( 1;3 right)cup left( 4;+infty  right)$, $x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-2 right)cup left( -1;1 right)cup left( 3;4 right).$

Dạng toán 2. Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì:
a) Phương trình $m{{x}^{2}}-left( 3m+2 right)x+1=0$ luôn có nghiệm.
b) Phương trình $left( {{m}^{2}}+5 right){{x}^{2}}-left( sqrt{3}m-2 right)x+1=0$ luôn vô nghiệm.

a)
Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0$ $Leftrightarrow x=frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm.
Với $mne 0$, ta có $Delta ={{left( 3m+2 right)}^{2}}-4m$ $=9{{m}^{2}}+8m+4.$
Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0$, $Delta’_{m}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Ta có $Delta ={{left( sqrt{3}m-2 right)}^{2}}-4left( {{m}^{2}}+5 right)$ $=-{{m}^{2}}-4sqrt{3}m-16.$
Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0$, $Delta’_{m}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m.$

Ví dụ 5. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:
a) $fleft( x right)=m{{x}^{2}}-x-1.$
b) $gleft( x right)=left( m-4 right){{x}^{2}}+left( 2m-8 right)x+m-5.$

a)
Với $m=0$ thì $fleft( x right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $fleft( -2 right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $mne 0$ thì $fleft( x right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai, do đó: $fleft( x right)<0$, $forall x$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
a=m<0 \
Delta =1+4m<0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
m<0 \
m>-frac{1}{4} \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -frac{1}{4}<m<0.$
Vậy với $-frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $fleft( x right)$ luôn âm.
b)
Với $m=4$ thì $gleft( x right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $mne 4$ thì $gleft( x right)=left( m-4 right){{x}^{2}}+left( 2m-8 right)x+m-5$ là tam thức bậc hai, do đó: $gleft( x right)<0$, $forall x$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
a=m-4<0 \
Delta’={{left( m-4 right)}^{2}}-left( m-4 right)left( m-5 right)<0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
m<4 \
m-4<0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow m<4.$
Vậy với $mle 4$ thì biểu thức $gleft( x right)$ luôn âm.

Ví dụ 6. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:
a) $hleft( x right)=frac{-{{x}^{2}}+4left( m+1 right)x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}.$
b) $kleft( x right)=sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1.$

a) Tam thức $-4{{x}^{2}}+5x-2$ có $a=-4<0$, $Delta =-7<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+5x-2<0$, $forall x.$
Do đó $hleft( x right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{{x}^{2}}+4left( m+1 right)x+1-4{{m}^{2}}$ luôn âm $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
a=-1<0 \
Delta’=4{{left( m+1 right)}^{2}}+left( 1-4{{m}^{2}} right)<0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow 8m+5<0$ $Leftrightarrow m<-frac{5}{8}.$
Vậy với $m<-frac{5}{8}$ thì biểu thức $hleft( x right)$ luôn dương.
b) Biểu thức $kleft( x right)$ luôn dương $Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1>0$ $Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-x+m}>1$ $Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m>0$, $forall x$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
a=1>0 \
Delta =1-4m<0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow m>frac{1}{4}.$
Vậy với $m>frac{1}{4}$ thì biểu thức $kleft( x right)$ luôn dương.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là $mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m.$
a) $y=frac{mx}{left( 2{{m}^{2}}+1 right){{x}^{2}}-4mx+2}.$
b) $y=sqrt{frac{2{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}}.$

a) Điều kiện xác định: $left( 2{{m}^{2}}+1 right){{x}^{2}}-4mx+2ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $fleft( x right)=left( 2{{m}^{2}}+1 right){{x}^{2}}-4mx+2$, ta có: $a=2{{m}^{2}}+1>0$, $Delta’=4{{m}^{2}}-2left( 2{{m}^{2}}+1 right)=-2<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $fleft( x right)=left( 2{{m}^{2}}+1 right){{x}^{2}}-4mx+2>0$, $forall xin mathbb{R}.$
Do đó với mọi $m$ ta có $left( 2{{m}^{2}}+1 right){{x}^{2}}-4mx+2ne 0$, $forall xin mathbb{R}.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $frac{2{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $fleft( x right)=2{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+1$, ta có: ${{a}_{f}}=2>0$, ${{Delta }_{f}}’={{left( m+1 right)}^{2}}-2left( {{m}^{2}}+1 right)$ $=-{{m}^{2}}+2m-1$ $=-{{left( m-1 right)}^{2}}le 0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $fleft( x right)=2{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+1ge 0$, $forall xin mathbb{R}$ $(1).$
Xét tam thức bậc hai $gleft( x right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2.$
+ Với $m=0$ ta có $gleft( x right)=2>0.$
+ Với $mne 0$ ta có ${{a}_{g}}={{m}^{2}}>0$, ${{Delta }_{g}}’={{m}^{2}}-{{m}^{2}}left( {{m}^{2}}+2 right)$ $=-{{m}^{2}}left( {{m}^{2}}+1 right)<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $gleft( x right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2>0$, $forall xin mathbb{R}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra với mọi $m$ thì $frac{2{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=mathbb{R}.$

Ghi chú: Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho TOANMATH.com, vui lòng gửi về:
Fanpage:

TOÁN MATH


Email: toanmath.com@gmail.com

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button