Kiến thức

Nguyên hàm từng phần nâng cao-Nztech

Toán học

Nguyên hàm từng phần nâng cao

Nguyên hàm từng phần là một phương pháp giải các bài toán

nguyên hàm

nâng cao hiệu quả nhất hiện nay. Bài viết này được biên soạn với mong muốn giúp bạn hiểu hơn về phương pháp này.

Mục lục

ẩn

A. Công thức nguyên hàm từng phần

B. Bài toán

C. Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

A. Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức tổng quát là:

B. Bài toán

Hãy tính nguyên hàm của hàm f(x) có dạng như sau:

Lời hướng dẫn

Bước 1: Ta tiến hành đặt

(v(x) là một nguyên hàm của h(x))

Bước 2: Khi này, nguyên hàm ban đầu sẽ trở thành

Để bạn hiểu hơn về những bước trên, ta cùng nhau vào ví dụ sau:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta làm như sau

Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt

Khi đó:

C. Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Bạn đang xem: Nguyên hàm từng phần nâng cao-Nztech

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

với f(x) là một hàm của đa thức.

Phương pháp giải

Bước 1: Ta tiến hành đặt


Bước 2: Dựa vào việc đặt ở trên, ta suy ra

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy

Bước 1:  Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ $A = int {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} $ với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp:

Bước 1: Ta tiến hành đặt

Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta có: $int {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} = uv – int {vdu} $

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau $I = int {x{e^x}{rm{d}}x} $

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta tiến hành đặt

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác [A = int {fleft( x right)sin left( {ax + b} right)dx} ] hoặc [B = int {fleft( x right)cos left( {ax + b} right)dx} ]

Hướng dẫn giải

Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành

Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây.

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau $A = int {xsin xdx} $

Lời giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa

nguyên hàm lượng giác

, bạn hãy làm như sau:

Dựa theo phương pháp trên, ta đặt như sau

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tình nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Các bước giải như sau:

Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát $uv – int {vdu} $

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt

Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây $I = int {sin x.{e^x}{rm{d}}x} $

Phương pháp giải

Đây là một nguyên hàm kết hợp giữa

nguyên hàm lượng giác

,

nguyên hàm của e mũ u

. Bạn hãy làm như sau:

Ta tiến hành đặt như sau

Khi đó, nguyên hàm trở thành:

Lúc này ta tính: $J = int {cos x{e^x}dx} $

Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Cụ thể là

Đặt như sau

Khi đó:

Trên đây là bài viết chia sẻ cách dùng nguyên hàm từng phần giải những bài nguyên hàm phức tạp. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn trong quá trình học tập.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button