Kiến thức

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn-Bài tập Toán lớp 10 có đáp án

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

25 65.383

Tải về

Bài viết đã được lưu

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác

VnDoc xin giới thiệu

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

là tài liệu học tập hay dành cho các bạn tham khảo, luyện tập nhằm củng cố kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác. Mời các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau:

Nhóm Tài liệu học tập lớp 10

. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

  • Học trực tuyến lớp 10 trên đài truyền hình Hà Nội

  • Học trực tuyến lớp 10 trên đài truyền hình Hà Nội

  • Bài tập trắc nghiệm hệ thức lượng trong tam giác

  • Toán 10: Hệ thức lượng trong tam giác

Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác

Bạn đang xem: 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn-Bài tập Toán lớp 10 có đáp án

a. Định lí cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có hệ thức sau:

a^2=b^2+c^2-2.b.c.coshat{A}

b^2=a^2+c^2-2.a.c.coshat{B}

c^2=a^2+b^2-2a.b.coshat{C}

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: m_a,m_b,m_c ta có: 

m_a^2=frac{b^2+c^2}{2}-frac{a^2}{4}

m^2_b=dfrac{a^2+c^2}{2}-dfrac{b^2}{4}

m^2_c=dfrac{b^2+a^2}{2}-dfrac{c^2}{4}

3. Định lí sin

Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Công thức diện tích tam giác 

Giả sử h_a,h_b,h_c là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

begin{align} & S=frac{1}{2}.{{h}_{a}}.BC=frac{1}{2}{{h}_{b}}.AC=frac{1}{2}{{h}_{c}}.AB \ & S=frac{1}{2}a.b.sin widehat{C}=frac{1}{2}a.c.sin widehat{B}=frac{1}{2}c.b.sin widehat{A} \ & S=frac{a.b.c}{4.R} \ & S=p.r \ & S=sqrt{p.left( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)} \ end{align}

Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác 

Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

a. Tính số đo các góc của ΔABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

begin{align} & A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.cos widehat{ACB} \ & Leftrightarrow {{12}^{2}}={{13}^{2}}+{{15}^{2}}-2.13.15.cos widehat{ACB} \ & Leftrightarrow cos widehat{ACB}=frac{25}{39}Rightarrow widehat{ACB}approx {{50}^{0}}7' \ end{align}

begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.cos widehat{ABC} \ & Leftrightarrow {{13}^{2}}={{12}^{2}}+{{15}^{2}}-2.12.15.cos widehat{ABC} \ & Leftrightarrow cos widehat{ABC}=frac{5}{9}Rightarrow widehat{ABC}approx {{56}^{0}}15' \ end{align}

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là {{360}^{0}}

Rightarrow widehat{BAC}=180-{{50}^{0}}7'-{{56}^{0}}15'={{73}^{0}}38'

b. Ta có: A{{M}^{2}}={{m}_{a}}^{2}=frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-frac{B{{C}^{2}}}{4}=frac{{{12}^{2}}+{{13}^{3}}}{2}-frac{{{15}^{2}}}{4}=frac{401}{4}

Rightarrow AM=frac{sqrt{401}}{2}

Tương tự ta tính được:

left{ begin{matrix} {{m}_{b}}=sqrt{dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=dfrac{sqrt{569}}{2} \ {{m}_{c}}=sqrt{dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{161} \ end{matrix} right.

c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

– Nửa chu vi tam giác ABC: p=frac{AB+AC+BC}{2}=frac{12+13+15}{2}=20

– Diện tích tam giác ABC: S=sqrt{pleft( p-AB right)left( p-AC right)left( p-BC right)}=20sqrt{14}

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

{{S}_{ABC}}=frac{AB.AC.BC}{4.R}Rightarrow R=dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=frac{12.13.15}{4.20sqrt{14}}=frac{117sqrt{14}}{28}

– Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

{{S}_{ABC}}=p.rRightarrow r=frac{{{S}_{ABC}}}{p}=frac{20sqrt{14}}{20}=sqrt{14}

d. Ta có: {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{h}_{a}}.BC=frac{1}{2}.{{h}_{b}}.AC=frac{1}{2}.{{h}_{c}}.AB

Rightarrow left{ begin{matrix}{{h}_{a}}=dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{BC}=dfrac{2.20sqrt{14}}{15}=dfrac{8sqrt{14}}{3} \{{h}_{b}}=dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AC}=dfrac{2.20sqrt{14}}{13}=dfrac{40sqrt{14}}{13} \{{h}_{c}}=dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AB}=dfrac{2.20sqrt{14}}{12}=dfrac{10sqrt{14}}{3} \end{matrix} right.

Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 1200

a. Tính diện tích ΔABC

b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a. Diện tích tam giác ABC: {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}.AB.AC.sin widehat{A}=frac{1}{2}.6.8.sin {{120}^{0}}=12sqrt{3}

b. Ta có:

begin{align} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos widehat{A} \ & Rightarrow B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}-2.6.8.cos {{120}^{0}}=148 \ & Rightarrow BC=2sqrt{37} \ end{align}

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

{{S}_{ABC}}=frac{AB.AC.BC}{4.R}Rightarrow R=frac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=frac{6.8.2sqrt{37}}{4.12sqrt{3}}=frac{2sqrt{111}}{3}

Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13

a. ΔABC có góc tù hay không?

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

c. Tính diện tích ΔABC

HS: Tự giải

Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 600, góc B = 450, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.

HS: Tự giải

Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, ha, R.

HS: Tự giải

Bài 6. Cho ΔABC có mb = 4, mc = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.

HS: Tự giải

Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.

HS: Tự giải

Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b2 – a2) = c(a2 – c2)

HS: Tự giải

Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:

a. frac{tan A}{tan B}=frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}

b. {{c}^{2}}={{left( a-b right)}^{2}}+4S.frac{1-cos C}{sin C}

c. S=2{{R}^{2}}sin A.sin B.sin C

d. S=frac{1}{2}sqrt{{{overrightarrow{AB}}^{2}}.{{overrightarrow{AC}}^{2}}-{{left( overrightarrow{AB.}overrightarrow{AC} right)}^{2}}}

e. a=b.cos C+c.cos B

f. sin A=frac{2}{bc}sqrt{pleft( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)}

HS: tự giải

Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

a. M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3G{{M}^{2}}

b. 4left( {{m}_{a}}^{2}+{{m}_{b}}^{2}+{{m}_{c}}^{2} right)=3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)

HS: tự giải

Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng

a. sin B+sin C=2sin A

b. frac{2}{{{h}_{a}}}=frac{1}{{{h}_{b}}}+frac{1}{{{h}_{c}}}

HS: tự giải

Bài 13. Cho tam giác ABC biết Aleft( 4sqrt{3},-1 right);Bleft( 0,3 right);Cleft( 8sqrt{3},3 right)

a. Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

HS: tự giải

Bài 14. Cho tam giác ABC biết a=40,6;widehat{B}={{36}^{0}}20',widehat{C}={{73}^{0}}. Tính widehat{A}, cạnh b, c của tam giác đó.

HS: tự giải

Bài 15. Cho tam giác ABC biết a=42,4m;b=36,6m;widehat{C}={{33}^{0}}10'. Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c.

Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là {{75}^{0}}. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

HS: tự giải

Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết widehat{CAB}={{87}^{0}},widehat{CBA}={{62}^{0}}. Hãy tính khoảng cách AC và BC.

HS: tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, widehat{A}=alpha và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì {{left( frac{2}{3}{{m}_{b}} right)}^{2}}+{{left( frac{2}{3}{{m}_{c}} right)}^{2}}={{a}^{2}}

begin{align} & Leftrightarrow frac{4}{3}left( frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-frac{{{c}^{2}}}{4} right)+frac{4}{9}left( frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-frac{{{b}^{2}}}{4} right)={{a}^{2}} \ & Leftrightarrow 5{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} \ end{align}

Mặt khác {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cos A

begin{align} & Leftrightarrow {{a}^{2}}=5{{a}^{2}}-2bccos A \ & Rightarrow bc=frac{2{{a}^{2}}}{cos A}=frac{2{{a}^{2}}}{cos alpha } \ & Rightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}b.c.sin A={{a}^{2}}tan alpha \ end{align}

Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi {{l}_{a}},{{l}_{b}},{{l}_{c}} lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng:

a. {{l}_{a}}=frac{2bc}{b+c}cos frac{A}{2}

b. frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}

c. frac{1}{{{l}_{A}}}+frac{1}{{{l}_{B}}}+frac{1}{{{l}_{C}}}>frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}

Hướng dẫn giải

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Trước hết chứng minh công thức sin a=2sin frac{a}{2}.cos frac{a}{2} bằng cách sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có widehat{A}=2a thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên

{{S}_{ABC}}=frac{1}{2}b.c.sin A,{{S}_{ABD}}=frac{1}{2}c.{{l}_{A}}.sin frac{A}{2},{{S}_{ACD}}=frac{1}{2}b.{{l}_{A}}.sin frac{A}{2}

{{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{ACD}}Rightarrow {{l}_{A}}=frac{2bc}{b+c}.cos frac{A}{2}

b. frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}=frac{1}{2}left( frac{b+c}{bc} right)=frac{1}{2b}+frac{1}{2c}

begin{align} & frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}=frac{1}{2a}+frac{1}{2c} \ & frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{2a}+frac{1}{2b} \ end{align}

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn bao gồm 35 bài tập Toán lớp 10 nhằm giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, rèn luyện chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới. Ngoài ra, trong quá trình nghỉ ở nhà do dịch bệnh các bạn học sinh có thể tham khảo các tài liệu ôn tập lớp 10 sau đây:

  • Bài tập ôn tập ở nhà trong thời gian nghỉ phòng chống dịch bệnh môn Ngữ văn lớp 10

  • Bài tập ôn tập ở nhà trong thời gian nghỉ phòng chống dịch bệnh môn Lịch sử lớp 10

  • Bài tập ôn tập ở nhà trong thời gian nghỉ phòng chống dịch bệnh môn Địa lý lớp 10

  • Bài tập ôn tập ở nhà trong thời gian nghỉ phòng chống dịch bệnh môn Sinh học lớp 10

  • Bài tập ôn tập ở nhà trong thời gian nghỉ phòng chống dịch bệnh môn Hóa học lớp 10

  • Bài tập ôn tập ở nhà trong thời gian nghỉ phòng chống dịch bệnh môn Vật lý lớp 10

  • Bài tập ở nhà tiếng Anh lớp 10 mới trong thời gian nghỉ dịch Corona (từ 24/02 – 29/02)

  • Tinh giản chương trình học kì 2 lớp 10 môn Ngữ văn năm 2019 – 2020

  • Tinh giản chương trình học kì 2 lớp 10 môn Vật lý năm 2019 – 2020

  • Tinh giản chương trình học kì 2 lớp 10 môn Toán năm 2019 – 2020

…………………………………..

Ngoài

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các

đề thi học kì 1 lớp 10

,

đề thi học kì 2 lớp 10

các

môn Toán

,

Văn

,

Anh

, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu lớp 10 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button