Kiến thức

Bài 2: Kỹ thuật casio tìm khoảng đồng biến và nghịch biến-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

17/10/18

#1

I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG

  1. Tính đồng biến nghịch biến: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. Nếu $f’left( x right) ge 0$ với mọi $x in I$ (hoặc $f’left( x right) le 0$ với mọi $x in I$) và $f’left( x right) = 0$ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I
  2. Cách 1 Casio: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngịch biến.
  3. Cách 2 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng $m ge fleft(x right)$ hoặc $m le fleft( x right)$ . Tìm Min,Max của hàm $fleft( x right)$ rồi kết luận.
  4. Cách 3 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đôi với bất phương trình bậc hai, bậc ba)

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ]

Hỏi hàm số $y = 2{x^4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào ?
A. $left( { – propto ; – frac{1}{2}} right)$
B. $left( {0; + propto } right)$
C. $left( { – frac{1}{2}; + propto } right)$
D. $left( { – propto ;0} right)$

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO MODE 7
Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End $ – frac{1}{2}$ Step 0.5

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-1-png.2865

Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng $fleft( x right)$ càng tăng $ Rightarrow $
Đáp án B đúng

Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM
Kiểm tra khoảng $left( { – propto ; – frac{1}{2}} right)$ ta tính $f’left( { – frac{1}{2} – 0.1} right)$

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-2-png.2866

Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) $ Rightarrow $ Giá trị $ – frac{1}{2} – 0.1$ vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án A sai
Kiểm tra khoảng $left( { – propto ;0} right)$ ta tính $f’left( {0 – 0.1} right)$

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-3-png.2867

Điểm $0 – 0.1$ vi phạm $ Rightarrow $ Đáp án D sai và C cũng sai $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là B
Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính $f’left( {1 + 0.1} right) = frac{{1331}}{{125}}$ $ Rightarrow $ Chính xác

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-4-png.2868

Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-5-png.2869

Rõ ràng $x ge 0$
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y’ = 8{x^3}$
Để hàm số đồng biến thì $y’ ge 0 Leftrightarrow {x^3} ge 0 Leftrightarrow x ge 0$ .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( {0; + propto } right)$
Bình luận: Khi sử dụng Casio ta phải để ý: Hàm số đồng biến trên khoảng $left( {a;b} right)$ thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng.

Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là :
A. $m le 1$
B. $m ge 3$
C. $ – 1 le m le 3$
D. $m < 3$

Học Lớp hướng dẫn giải

Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m
Hàm số đồng biến $ Leftrightarrow y’ ge 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m ge 0 Leftrightarrow m ge – 3{x^3} – 6x = fleft( x right)$
Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì $m ge fleft( x right)$ hay $m ge fleft( {max } right)$ với mọi x thuộc R
Để tìm Giá trị lớn nhất của $fleft( x right)$ ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-6-png.2870

Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của f(x) là 3 khi x = – 1

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-7-png.2871

Vậy m ≥ 3
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y’ = 3{x^2} + 6x + m$
Để hàm số đồng biến thì $y’ ge 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + m ge 0$ với mọi $x in R$ (*)
$ Leftrightarrow Delta ‘ le 0 Leftrightarrow 9 – 3m le 0 Leftrightarrow m ge 3$
Bình luận: Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: “Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ có $Delta le 0$ thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a” .

Câu 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = frac{{tan x – 2}}{{tan x – m}}$ đồng biến trên khoảng $left( {0;frac{pi }{4}} right)$
A. $left[ begin{array}{l} m le 0\ 1 le m < 2 end{array} right.$
B. $m < 2$
C. $1 le m < 2$
D. $m ge 2$

Học Lớp hướng dẫn giải

Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ : Đặt $tan x = t$ . Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm $fleft( x right) = tan x$ .

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-8-png.2872

Ta thấy $0 le tan x le 1$ vậy $t in left( {0;1} right)$
Bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = frac{{t – 2}}{{t – m}}$ đồng biến trên khoảng $left( {0;1} right)$
Tính đạo hàm : $y’ = frac{{left( {t – m} right) – left( {t – 2} right)}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}} = frac{{2 – m}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}}$
$y’ > 0 Leftrightarrow frac{{2 – m}}{{{{left( {t – m} right)}^2}}} > 0 Leftrightarrow m < 2$ (1)
Kết hợp điều kiện xác định $t – m ne 0 Leftrightarrow m ne t Rightarrow m notin left( {0;1} right)$ (2)
Từ (1) và (2) ta được $left[ begin{array}{l}
m le 0\
1 le m < 2
end{array} right.$ $ Rightarrow $ Đáp án A là chính xác
Bình luận: Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B
Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. $m ne t$ mà $t in left( {0;1} right)$ vậy $m notin left( {0;1} right)$ .

Câu 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ]
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số $y = sin x – cos x + 2017sqrt 2 mx$ đồng biến trên R
A. $m ge 2017$
B. $m < 0$
C. $m ge frac{1}{{2017}}$
D. $m ge – frac{1}{{2017}}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO
Tính đạo hàm $y’ = cos x + sin x + 2017sqrt 2 m$
$y’ ge 0 Leftrightarrow m ge frac{{ – sin x – cos x}}{{2017sqrt 2 }} = fleft( x right)$
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì $m ge fleft( x right)$ đúng với mọi $x in R$ hay $m ge fleft( {max } right)$
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm $fleft( x right)$ là hàm lượng giác mà hàm lượng giác $sin x,cos x$ thì tuần hoàn với chu kì $2pi $ vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End $2pi $ Step $frac{{2pi }}{{19}}$

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-9-png.2873

Quan sát bảng giá trị của F(x) ta thấy $fleft( {max } right) = fleft( {3.9683} right) approx {5.10^{ – 4}}$

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-10-png.2874

Đây là 1 giá trị $ approx frac{1}{{2017}}$ vậy $m ge frac{1}{{2017}}$ $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y’ = cos x + sin x + 2017sqrt 2 m$. $y’ ge 0 Leftrightarrow m ge frac{{ – sin x – cos x}}{{2017sqrt 2 }} = fleft( x right)$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ${left( { – sin x – cos x} right)^2} le left( {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( { – 1} right)}^2}} right)left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right) = 2$
$ Rightarrow – sqrt 2 le left( { – sin x – cos x} right) le sqrt 2 $
$ Rightarrow frac{{ – sqrt 2 }}{{2017sqrt 2 }} le fleft( x right) le frac{{sqrt 2 }}{{2017sqrt 2 }}$
$fleft( x right)$ đạt giá trị lớn nhất là $frac{{sqrt 2 }}{{2017sqrt 2 }} = frac{1}{{2017}} Rightarrow m ge fleft( {max } right) = frac{1}{{2017}}$
Bình luận:
Vì chu kì của hàm $sin x,cos x$ là $2pi $ nên ngoài thiết lập Start 0 End $2pi $ thì ta có thể thiết lập Start $ – pi $ End $ – pi $
Nếu chỉ xuất hiện hàm $tan x,,,cot x$ mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì π thì ta có thể thiết lập Start 0 End $pi $ Step $frac{pi }{{19}}$

Câu 5-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ]
Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2.
A. $m = 0$ B. $m < 3$ C. $m = 2$ D. $m > 3$

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO
Tính $y’ = 3{x^3} + 6{x^2} + m$
Ta nhớ công thức tính nhanh “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $alpha $ thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng $alpha $”
Với $alpha $ là một số xác định thì $m$ cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng $ Rightarrow $ Đáp số phải là A hoặc C .
Với $m = 0$ phương trình đạo hàm $3{x^2} + 6x = 0$ có hai nghiệm phân biệt $left[ begin{array}{l}
x = – 2\
x = 0
end{array} right.$ và khoảng cách giữa chúng bằng 2
=> Đáp án A là chính xác

Cách tham khảo : Tự luận
Tính $y’ = 3{x^3} + 6{x^2} + m$. Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ và $left| {{x_1} – {x_2}} right| = 0$
Theo Vi-et ta có $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 2\{x_1}{x_2} = frac{m}{3}end{array} right.$
Giải $left| {{x_1} – {x_2}} right| = 2 Leftrightarrow {left( {{x_1} – {x_2}} right)^2} = 4 Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 4$
$ Leftrightarrow 4 – frac{{4m}}{3} = 4 Leftrightarrow m = 0$

Câu 6-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 ]
Cho hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} + 1$ . Mệnh đền nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( { – propto ; – 1} right)$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( { – propto ;0} right)$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( {0; + propto } right)$
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( {1; + propto } right)$

Học Lớp hướng dẫn giải

Giải bất phương trình đạo hàm với lệnh

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-11-png.2875

Rõ ràng hàm số đồng biến trên miền $left( { – propto ; – 1} right)$ và $left( {0;1} right)$ $ Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 ]
Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R
A. $y = {left( {frac{pi }{3}} right)^x}$
B. $y = {left( {frac{5}{{3e}}} right)^{ – x}}$
C. $y = {left( pi right)^{3x}}$
D. $y = {left( {frac{1}{{2sqrt 2 }}} right)^x}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Hàm số ngịch biến trên R tức là luôn giảm
Kiểm tra tính nghịch biến $y = {left( {frac{pi }{3}} right)^x}$của hàm với chức năng MODE 7 Start -9 End 10 Step 1

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-12-png.2876

Ta thấy $fleft( x right)$ luôn tăng $ Rightarrow $ A sai
Tương tự như vậy , với hàm $y = {left( {frac{1}{{2sqrt 2 }}} right)^x}$ta thấy $fleft( x right)$ luôn giảm $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-13-png.2877

Câu 8-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = frac{{left( {m – 1} right)x + 1}}{{2x + m}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định
A. $m < 2$
B. $left[ begin{array}{l}
m < – 1\
m > 2
end{array} right.$
C. $m ne 2$
D. $ – 1 < m < 2$

Học Lớp hướng dẫn giải

Chọn m= -3 . Khảo sát hàm $y = frac{{left( { – 3 – 1} right)x + 1}}{{x – 3}}$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-14-png.2878

Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ Rightarrow $ m= -3 sai $ Rightarrow $ A, B, C đều sai
$ Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Chú ý : Việc chọn m khéo léo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án

Câu 9 – [Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 ]
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = frac{{m – sin x}}{{{{cos }^2}x}}$ nghịch biến trên khoảng $left( {0;frac{pi }{6}} right)$
A. $m ge frac{5}{2}$
B. $m le frac{5}{2}$
C. $m le frac{5}{4}$
D. $m ge frac{5}{4}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Chọn m=3. Khảo sát hàm $y = frac{{3 – sin x}}{{{{cos }^2}x}}$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-15-png.2879

Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ Rightarrow $ m= 3 sai $ Rightarrow $ A, D đều sai
Chọn $m = 1.3$ . Khảo sát hàm $y = frac{{1.3 – sin x}}{{{{cos }^2}x}}$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-16-png.2880

Ta thấy hàm số luôn $ Rightarrow $ $m = 1.3$ đúng $ Rightarrow $ B là đáp số chính xác (Đáp án C không chứa 1.3 nên sai)

Câu 10-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = 2{sin ^3}x – 3{sin ^2}x + msin x$ đồng biến trên khoảng $left( {0;frac{pi }{2}} right)$
A. $m > 0$
B. $m < frac{3}{2}$
C. $m ge frac{3}{2}$
D. $m > frac{3}{2}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Chọn $m = 5$ . Khảo sát hàm $y = 2{sin ^3}x – 3{sin ^2}x + 5sin x$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-17-png.2881

Ta thấy hàm số luôn giảm $ Rightarrow $ $m = – 5$ sai $ Rightarrow $ B sai
Chọn $m = 1$ . Khảo sát hàm $y = 2{sin ^3}x – 3{sin ^2}x + sin x$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-18-png.2882

Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm $ Rightarrow $ m=1 sai $ Rightarrow $ A sai
Chọn $m = frac{3}{2}$ . Khảo sát hàm $y = 2{sin ^3}x – 3{sin ^2}x + frac{3}{2}sin x$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-19-png.2883

Ta thấy hàm số luôn tăng $ Rightarrow $ $m = frac{3}{2}$ đúng C sai

Câu 11 [Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 ]
Tìm $m$ để hàm số $y = m{x^3} – {x^2} + 3x + m – 2$ đồng biến trên khoảng $left( { – 3;0} right)$ ?
A. $m = 0$
B. $m = pm 1$
C. $3m ne pm 1$
D. $m = 1$

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính đạo hàm $y’ = 3m{x^2} – 2x + 3$ . Hàm số đồng biến $ Leftrightarrow 3m{x^2} – 2x + 3 ge 0 Leftrightarrow m ge frac{{2x – 3}}{{3{x^2}}} = fleft( x right)$
Vậy $m ge fleft( {max } right)$ trên miền $left( { – 3;0} right)$ . Tìm $fleft( {max } right)$ bằng lệnh MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-20-png.2884

Ta thấy $fleft( {max } right) = 0.3333… = frac{1}{3}$ $ Rightarrow $ $m ge frac{1}{3}$ sai $ Rightarrow $ D là đáp số chính xác

Câu 12 [Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 ]
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = frac{{{e^x} – m – 2}}{{{e^x} – {m^2}}}$ đồng biến trong khoảng $left( {ln frac{1}{4};0} right)$
A. $m in left[ { – 1;2} right]$
B. $m in left[ { – frac{1}{2};frac{1}{2}} right]$
C. $m in left( {1;2} right)$
D. $m in left[ { – frac{1}{2};frac{1}{2}} right] cup left[ {1;2} right)$

Học Lớp hướng dẫn giải

Chọn m=1 . Khảo sát hàm $y = frac{{{e^x} – 1 – 2}}{{{e^x} – {1^2}}}$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-21-png.2885

Ta thấy hàm số luôn tăng trên $ Rightarrow $ m=1 nhận $ Rightarrow $ A, D có thể đúng
Chọn m= -1 . Khảo sát hàm $y = frac{{{e^x} – left( { – 1} right) – 2}}{{{e^x} – {{left( { – 1} right)}^2}}}$ với chức năng MODE 7

tim-nhanh-khoang-dong-bien-va-nghich-bien-22-png.2886

Ta thấy hàm số luôn không đổi (hàm hằng) $ Rightarrow $ m= -1 loại $ Rightarrow $ A sai và D là đáp số chính xac

Câu 13 [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ]
Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số $y = 2{x^3} + 3left( {m – 1} right){x^2} + 6left( {m – 2} right)x + 3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. $left[ begin{array}{l}m > 6\m < 0end{array} right.$
B. $m > 6$
C. $m < 0$
D. $m = 9$

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = 6{x^2} + 6left( {m – 1} right)x + 6left( {m – 2} right)$ . Theo Vi-et ta có : $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 – m\
{x_1}{x_2} = m – 2
end{array} right.$
Khoảng nghịch biến lớn hơn 3 $ Rightarrow left| {{x_1} – {x_2}} right| > 3 Leftrightarrow {left( {{x_1} – {x_2}} right)^2} > 9$ $ Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}{x_2} – 9 > 0$
$ Leftrightarrow {left( {1 – m} right)^2} – 4left( {m – 2} right) – 9 > 0$
Sử dụng MODE 7 với Start – 3 End 10 Step 1 để giải bất phương trình trên

Xem đính kèm 2887

Ta nhận được $left[ begin{array}{l}
m > 6\
m < 0
end{array} right.$
=> A là đáp số chính xác.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button