Kiến thức

Bài 25: Kỹ thuật casio tính nhanh khoảng cách trong không gian-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

20/10/18

#1

I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm $Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và mặt phẳng (P)= Ax+By+Cz+D=0thì khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức $dleft( {M;left( P right)} right) = frac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

  • Cho điểm $Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} right)$ và đường thẳng $d:frac{{x – {x_N}}}{a} = frac{{y – {y_N}}}{b} = frac{{z – {z_N}}}{c}$ thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính theo công thức $dleft( {M;d} right) = frac{{2left| {left[ {overrightarrow {MN} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}}$
  • Trong đó $overrightarrow u left( {a;b;c} right)$ là vecto chỉ phương của d và $Nleft( {{x_N};{y_N};{z_N}} right)$ là một điểm thuộc d

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

  • Cho hai đường thẳng chéo nhau $d:frac{{x – {x_M}}}{a} = frac{{y – {y_M}}}{b} = frac{{z – {z_M}}}{c}$ và $d’:frac{{x – {x_{M’}}}}{{a’}} = frac{{y – {y_{M’}}}}{{b’}} = frac{{z – {z_{M’}}}}{{c’}}$thì khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau này được tính theo công thức $dleft( {d;d’} right) = frac{{left| {overrightarrow {MN} .left[ {overrightarrow {{u_d}} ;overrightarrow {{u_{d’}}} } right]} right|}}{{left| {left[ {overrightarrow {{u_d}} ;overrightarrow {{u_{d’}}} } right]} right|}}$
  • Trong đó $overrightarrow u left( {a;b;c} right)$ là vecto chỉ phương của d và $Mleft( {{x_M};{y_M};{z_M}} right)$ là một điểm thuộc d $overrightarrow u left( {a’;b’;c’} right)$ là vecto chỉ phương của d và $M’left( {{x_{M’}};{y_{M’}};{z_{M’}}} right)$ là một điểm thuộc d’

4. Lệnh Caso

  • Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
  • Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
  • Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vecto B
  • Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vecto B
  • Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
  • Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
  • Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
  • Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+4y+2z+4=0 và điểm A (1;-2; 3) . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
A. $d = frac{5}{9}$
B. $d = frac{5}{{29}}$
C. $d = frac{5}{{sqrt {29} }}$
D. $d = frac{{sqrt 5 }}{3}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Ta nhớ công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
$dleft( {M;left( P right)} right) = frac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$
Áp dụng cho điểm A (1;-2; 3) và (P): 3x+4y+2Z+4=0 ta sử dụng máy tính để bấm luôn :
$dleft( {M;left( P right)} right) = frac{{5sqrt {29} }}{{sqrt {29} }} = frac{5}{{sqrt {29} }}$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-1-png.3263

=> Đáp số chính xác là C

Câu 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ]
Tìm m để khoảng cách từ A (1;2; 3) đến mặt phẳng (P): x+3y+4z+m=0 bằng $sqrt {26} $
A.m=7
B.m=18
C.m=20
D.m=-45

Học Lớp hướng dẫn giải

Thiết lập phương trình khoảng cách : $dleft( {A;left( P right)} right) = frac{{left| {1.1 + 3.2 + 4.4 + m} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = sqrt {26} $
$ Leftrightarrow $$frac{{left| {1.1 + 3.2 + 4.4 + m} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} – sqrt {26} = 0$
(việc này ta chỉ làm ở trong đầu)
Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập vế trái của phương trình vào rồi sử dụng chức năng SHIFT SOLVE.

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-2-png.3264

Ta thu được kết quả m=7
Đáp số chính xác là A

Câu 3-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:frac{x}{1} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z + 2}}{3}$ và mặt phẳng (P): x+2y-2z+3=0 . M là điểm có hoành độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2. Tọa độ điểm M là :
A. M(-2; 3;1)
B. M(-1; 5;-7)
C. M(-2; -5;-8)
D. M (-1; -3; -5)

Học Lớp hướng dẫn giải

Ta biêt điểm M thuộc (d) nên có tọa độ M(1+t; -1+2t; -2+3t)
(biết được điều này sau khi chuyển d về dạng tham số $d:left{ begin{array}{l}
x = t\
y = – 1 + 2t\
z = – 2 + 3t
end{array} right.$
Thiết lập phương trình khoảng cách : d(M; (P))=2 $ Leftrightarrow frac{{left| {t + 2left( { – 1 + 2t} right) – 2left( { – 2 + 3t} right) + 3} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }} = 2$
Nghĩ được tới đây thì ta có thể sử dụng Casio để tính rồi. Ta bấm ngắn gọn như sau

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-3-png.3265

Khi đó $t = – 1 Rightarrow x = – 1;y = – 3$
=> Đáp số chính xác là D

Câu 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x+y+2z+2. Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cấu (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu (S).
A. ${left( {x + 2} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 8$
B. ${left( {x + 2} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 10$
C. ${left( {x – 2} right)^2} + {left( {y – 1} right)^2} + {left( {z – 1} right)^2} = 8$
D. ${left( {x – 2} right)^2} + {left( {y – 1} right)^2} + {left( {z – 1} right)^2} = 10$

Học Lớp hướng dẫn giải

Mặt cầu ${left( {x – a} right)^2} + {left( {y – b} right)^2} + {left( {z – c} right)^2} = {R^2}$ sẽ có tâm I (a;b;c) . Vì mặt cầu (S) có tâm I (2;1;1) nên nó chỉ có thể là đáp án C hoặc D
Ta hiểu : Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn bán kính r=1 sẽ thỏa mãn tính chất ${R^2} = {h^2} + {r^2}$ với h là khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng.
Tính tâm ${R^2}$ bằng Casio.

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-4-png.3266

$ Rightarrow {R^2} = 10$
=> Đáp số chính xác là D

Câu 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 2}}{2} = frac{{z + 2}}{{ – 2}}$ . Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1;-1) tới d
A. $frac{5}{3}$
B. $frac{{5sqrt 2 }}{2}$
C. $frac{{sqrt 2 }}{3}$
D. $frac{{5sqrt 2 }}{3}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Nhắc lại : Đường thẳng d có vecto chỉ phương $overrightarrow {{u_d}} left( {1;2; – 2} right)$ và đi qua điểm N (1;2;-2) có khoảng cách từ M đến d tính theo công thức : $dleft( {M;d} right) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {MN} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}}$
Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập hai vecto $overrightarrow {MN} ,,overrightarrow {{u_d}} $ vào máy tính.

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-5-png.3267

]
Tính $dleft( {M;d} right) = 2.357022604 = frac{{5sqrt 2 }}{3}$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-6-png.3268

=> Đáp số chính xác là D

Câu 6-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:left{ begin{array}{l}
x = 2 + t\
y = 1 + mt\
z = – 2t
end{array} right.$ và mặt cầu $left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 6y – 4z + 13 = 0$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?
A.5
B.3
C.2
D.1

Học Lớp hướng dẫn giải

Mặt cầu $left( S right):{left( {x – 1} right)^2} + {left( {y + 3} right)^2} + {left( {z – 2} right)^2} = 1$ có tâm I(1; -3;2) bán kính R=1
Đường thẳng d đi qua M(2;1;0) và có vecto chỉ phương $overrightarrow u left( {1;m; – 2} right)$
Ta hiểu : Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu (S)) đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (của mặt cầu (S))
$ Leftrightarrow frac{{left| {left[ {overrightarrow {IM} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}} < 1$$ Leftrightarrow frac{{sqrt {{{left( {8 – 2m} right)}^2} + {0^2} + {{left( {4 – 2m} right)}^2}} }}{{sqrt {{1^2} + {m^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }} < 1$
$ Leftrightarrow frac{{sqrt {{{left( {8 – 2m} right)}^2} + {0^2} + {{left( {4 – 2m} right)}^2}} }}{{sqrt {{1^2} + {m^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }} – 1 < 0$
Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình :

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-7-png.3269

Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là $left{ { – 3; – 4; – 5; – 6; – 7} right}$
=> Đáp án chính xác là A

Câu 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:left{ begin{array}{l}
x = 2 + t\
y = 1 + mt\
z = – 2t
end{array} right.$ và mặt cầu $left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 6y – 4z + 13 = 0$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?
A.5
B.3
C.2
D.1

Học Lớp hướng dẫn giải

Mặt cầu $left( S right):{left( {x – 1} right)^2} + {left( {y + 3} right)^2} + {left( {z – 2} right)^2} = 1$ có tâm I(1; -3; 2) bán kính R=1
Đường thẳng d đi qua M(2;1;0) và có vecto chỉ phương $overrightarrow u left( {1;m; – 2} right)$
Ta hiểu : Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu (S)) đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (của mặt cầu (S))
$ Leftrightarrow frac{{left| {left[ {overrightarrow {IM} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}} < 1$ $ Leftrightarrow frac{{sqrt {{{left( {8 – 2m} right)}^2} + {0^2} + {{left( {4 – 2m} right)}^2}} }}{{sqrt {{1^2} + {m^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }} < 1$
$ Leftrightarrow frac{{sqrt {{{left( {8 – 2m} right)}^2} + {0^2} + {{left( {4 – 2m} right)}^2}} }}{{sqrt {{1^2} + {m^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }} – 1 < 0$
Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình :

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-8-png.3270

Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là $left{ { – 3; – 4; – 5; – 6; – 7} right}$
=> Đáp án chính xác làA

Câu 8-[Câu 68 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;0;1), có vecto chỉ phương $overrightarrow u left( {1;1;3} right)$ và mặt phẳng $left( alpha right)$ có phương trình 2x+y-Z+5=0 . Tính khoảng cách giữa d và $left( alpha right)$
A. $frac{2}{5}$
B. $frac{4}{3}$
C. $frac{3}{2}$
D. $frac{6}{5}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Ta thấy : $overrightarrow u .overrightarrow {{n_P}} = 1.2 + 1.1 + 3.left( { – 1} right) = 0$ $ Rightarrow d$ chỉ có thể song song hoặc trùng với $left( alpha right)$
Khi đó khoảng cách giữa d và $left( alpha right)$ là khoảng cách từ bất kì 1 điểm M thuộc d đến $left( alpha right)$
Ta bấm :

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-9-png.3271

=> Đáp án chính xác làB

Câu 9-[Câu 92 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $Delta :left{ begin{array}{l}
x = 3 + t\
y = – 1 + 2t\
z = 4
end{array} right.$ . Gọi $Delta ‘$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): x-3y+z=0 và (Q): x+y-z+4=0 . Tính khoảng cách giữa $Delta ,,Delta ‘$
A. $frac{{12}}{{sqrt {15} }}$
B. $frac{{25}}{{sqrt {21} }}$
C. $frac{{20}}{{sqrt {21} }}$
D. $frac{{16}}{{sqrt {15} }}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Đường thẳng $Delta ‘$ có vecto chỉ phương $overrightarrow {u’} = left[ {overrightarrow {{n_P}} ;overrightarrow {{n_Q}} } right] = left( {2;2;4} right)$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-10-png.3272

Và $Delta ‘$ đi qua điểm M’(0;2;6)
Đường thẳng $Delta $ có vecto chỉ phương $overrightarrow u left( {1;2;0} right)$ và đi qua điểm M(3; -1; 4)
Ta hiểu : khoảng cách giữa hai đường thẳng chỉ tồn tại khi chúng song song hoặc chéo nhau
Kiểm tra sự đồng phẳng của 2 đường thẳng trên bằng tích hỗn tạp $overrightarrow {MM’} left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right]$
Nhập ba vecto $overrightarrow {MM’} ,,overrightarrow u ,,overrightarrow {u’} $ vào máy tính Casio

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-11-png.3273

Xét tích hỗn tạp $overrightarrow {MM’} left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right] = – 40 ne 0$$ Rightarrow Delta ,,Delta ‘$ chéo nhau
Tính độ dài hai đường thẳng chéo nhau $ Rightarrow Delta ,,Delta ‘$ ta có công thức : $d = frac{{left| {overrightarrow {MM’} left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right]} right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right]} right|}} = 4.3640.. = frac{{20}}{{sqrt {21} }}$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-12-png.3274

=> Đáp án chính xác là C

Câu 9-[Câu 25 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai đường thẳng $d:frac{{x – 2}}{1} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z + 3}}{2}$ và $d’:frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{2}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d, d’ là :
A. $4sqrt 2 $
B. $frac{{4sqrt 2 }}{3}$
C. $frac{4}{3}$
D. $2sqrt 3 $

Học Lớp hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $overrightarrow u = left( {1;2;2} right)$và đi qua điểm M(2; -1; -3)
Đường thẳng d’đi qua điểm M’(1; 1; -1)
Dễ thấy hai đường thẳng d,d’ song song với nhau nên khoảng cách từ d’ đến d chính là khoảng cách từ điểm M’ (thuộc d’ ) đến d .
Gọi khoảng cách cần tìm là h ta có $h = frac{{left| {left[ {overrightarrow {MM’} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}} = 1.8856… = frac{{4sqrt 2 }}{3}$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-13-png.3275

=> Đáp án chính xác là B

Câu 10-[Câu 26 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai đường thẳng $d:left{ begin{array}{l}
x = 2 + t\
y = 1 – t\
z = 2t
end{array} right.$ và $d’:left{ begin{array}{l}
x = 2 – 2t’\
y = 3\
z = t’
end{array} right.$ . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’ có phương trình :
A. x+5y+2z+12=0
B. x+5y-2z+12=0
C. x-5y+2z-12=0
D. x+5y+2z-12=0

Học Lớp hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $overrightarrow u = left( {1; – 1;2} right)$ và đi qua điểm M(2;1;0)
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương $overrightarrow {u’} = left( { – 2;0;1} right)$và đi qua điểm M’(2;3;0)
Dễ thấy hai đường thẳng d, d’cheo nhau nên mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng trên khi mặt phẳng đó đi qua trung điểm MM’ và song song với cả 2 đường thẳng đó. .
Mặt phẳng (P) song song với cả 2 đường thẳng nên nhận vecto chỉ phương của 2 đường thẳng là cặp vecto chỉ phương.
$ Rightarrow overrightarrow {{n_P}} = left[ {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right] = left( { – 1; – 5; – 2} right)$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-14-png.3276

(P) lại đi qua trung điểm I(2;2;0) của MM’ nên (P): x+5y+2z-12=0
=> Đáp án chính xác là D

Câu 11-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1]
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(1;2;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x-2y-2z-8=0 ?
A. ${left( {x + 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z – 1} right)^2} = 3$
B. ${left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 3$
C. ${left( {x + 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z – 1} right)^2} = 9$
D. ${left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 9$

Học Lớp hướng dẫn giải

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P)khi d(I;(P))=R

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-15-png.3277

$dleft( {I;left( P right)} right) = 3 Rightarrow {R^2} = 9 Rightarrow $Đáp số chỉ có thể là C hoặc D
Mà ta lại có tâm mặt cầu là I(1;2; -2) $ Rightarrow left( S right):{left( {x – 1} right)^2} + {left( {y – 2} right)^2} + {left( {z + 1} right)^2} = 9$
Vậy đáp số chính xác là D

Câu 12-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5]
Tìm điểm M trên đường thẳng $d:left{ begin{array}{l}
x = 1 + t\
y = 1 – t\
z = 2t
end{array} right.$ sao cho $AM = sqrt 6 $ với A(0;2;-2):
A. $left[ begin{array}{l}
left( {1;1;0} right)\
left( {2;1; – 1} right)
end{array} right.$
B. $left[ begin{array}{l}
left( {1;1;0} right)\
left( { – 1;3; – 4} right)
end{array} right.$
C. $left[ begin{array}{l}
left( { – 1;3; – 4} right)\
left( {2;1; – 1} right)
end{array} right.$
D.Không có M thỏa

Học Lớp hướng dẫn giải

Gọi điểm M thuộc d có tọa độ theo t là M(1+t, 1-t, 2t)
Ta có $AM = sqrt 6 Leftrightarrow left| {overrightarrow {AM} } right| = sqrt 6 Leftrightarrow {left| {overrightarrow {AM} } right|^2} – 6 = 0$
Sử dụng máy tính Casio tìm t

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-16-png.3278

Ta tìm được hai giá trị của t
Với $t = 0 Rightarrow Mleft( {1;1;0} right)$ , với $t = – 2 Rightarrow Mleft( { – 1;3; – 4} right)$
=> Đáp án chính xác là B

Câu 13-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1]
Cho (P): 2x-y+z-m=0 và A(1;1;3) . Tìm m để $dleft( {A;left( P right)} right) = sqrt 6 $
A. $left[ begin{array}{l}
m = – 2\
m = 4
end{array} right.$
B. $left[ begin{array}{l}
m = 3\
m = – 9
end{array} right.$
C. $left[ begin{array}{l}
m = – 2\
m = 10
end{array} right.$
D. $left[ begin{array}{l}
m = – 3\
m = 12
end{array} right.$

Học Lớp hướng dẫn giải

Thiết lập phương trình khoảng cách $dleft( {A;left( P right)} right) = sqrt 6 $ $ Leftrightarrow frac{{left| {2.1 – 1 + 3 – m} right|}}{{sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = sqrt 6 $
Đó là khi ta nhẩm, nếu vừa nhẩm vừa điền luôn vào máy tính thì làm như sau (để tiết kiệm thời gian)

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-17-png.3279

Tìm nghiệm ta sử dụng chức năng CALC xem giá trị nào của m làm vế trái $ = sqrt 6 $ thì là đúng

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-18-png.3280

=> Chỉ có A hoặc C là đúng

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-19-png.3281

Giá trị m=4 không thỏa mãn vậy đáp án A sai => Đáp án chính xác là C

Câu 14-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-2;3;1) và B(5;-6;-2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxyz tại điểm M. Tính tỉ số $frac{{MA}}{{MB}}$
A. $frac{{MA}}{{MB}} = frac{1}{2}$
B. $frac{{MA}}{{MB}} = 2$
C. $frac{{MA}}{{MB}} = frac{1}{3}$
D. $frac{{MA}}{{MB}} = 3$

Học Lớp hướng dẫn giải

Mặt phẳng Oxz có phương trình y=0
Để tính tỉ số $frac{{MA}}{{MB}}$ ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách (đã gặp ở chuyên đề hình học không gian )
Ta có : $frac{{MA}}{{MB}} = frac{{dleft( {A;left( {Oxz} right)} right)}}{{dleft( {B;left( {Oxz} right)} right)}}$ bất kể hai điểm A<B cùng phía hay khác phía so với Oxz
Ta có thể dùng máy tính Casio tính ngay tỉ số này

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-20-png.3282

Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng cách đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho vào phép tính của Casio
=> Đáp số chính xác là A

Câu 15-[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính khoảng cách từ điểm M(2;3;-1) đến đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( alpha right):x + y – 2z – 1 = 0$ và $left( {alpha ‘} right):x + 3y + 2{rm{z}} + 2 = 0$ .
A. $sqrt {frac{{215}}{{24}}} $
B. $sqrt {frac{{205}}{{15}}} $
C. $frac{{205}}{{sqrt {15} }}$
D. $frac{{215}}{{sqrt {24} }}$x

Học Lớp hướng dẫn giải

d là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( {alpha ‘} right)$ nên cùng thuộc 2 mặt phẳng này => vecto chỉ phương $overrightarrow u $ của đường thẳng d vuông góc với cả 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng trên.
$ Rightarrow overrightarrow u = left[ {overrightarrow {{n_alpha }} ;overrightarrow {{n_{alpha ‘}}} } right] = left( {8; – 4;2} right)$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-21-png.3283

Gọi điểm N(x;y;0) thuộc đường thẳng d $ Rightarrow Nleft( {frac{5}{2}; – frac{3}{2};0} right)$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là : $h = frac{{left| {left[ {overrightarrow {MN} ;overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}} = 3.8265… = sqrt {frac{{205}}{{14}}} $

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-22-png.3284

=> Đáp số chính xác là B

Câu 16-[Câu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho A(1;1;3) , B(-1;3;2) , C(-1;2;3) . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) là :
A. $sqrt 3 $
B.3
C. $frac{{sqrt 3 }}{2}$
D. $frac{3}{2}$

Học Lớp hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của (ABC) là $overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right] = left( {1;2;2} right)$

tinh-nhanh-khoang-cach-trong-khong-gian-23-png.3285

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là $h = frac{{left| {0 + 0 + 0 – 9} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3$
Đáp số chính xác là B

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button