Kiến thức

Bài 28: Kỹ thuật casio tính nhanh góc giữa vecto đường thẳng và mặt phẳng-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

20/10/18

#1

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Góc giữa hai vecto

  • Cho hai vecto $overrightarrow u left( {x;y;z} right)$ và $overrightarrow v left( {x’;y’;z’} right)$ , góc giữa hai vecto $overrightarrow u ,,overrightarrow v $ được tính theo công thức : $cos left( {overrightarrow u ;overrightarrow v } right) = frac{{overrightarrow u .overrightarrow v }}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow v } right|}} = frac{{x.x’ + y.y’ + z.z’}}{{sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} sqrt {x{‘^2} + y{‘^2} + z{‘^2}} }}$
  • Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng $left[ {{0^0};{{180}^0}} right]$

2. Góc giữa hai đường thẳng

  • Cho hai đường thẳng d và d’ có hai vecto chỉ phương$overrightarrow {{u_d}} $ và $overrightarrow {{u_{d’}}} $ . Góc $alpha $ giữa hai đường thẳng d,d’ được tính theo công thức : $cos alpha = left| {cos left( {overrightarrow {{u_d}} ;overrightarrow {{u_{d’}}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{u_d}} .overrightarrow {{u_{d’}}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_d}} } right|.left| {overrightarrow {{u_{d’}}} } right|}}$ ( tích vô hướng chia tích độ dài )
  • Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng $left[ {{0^0};{{90}^0}} right]$

3. Góc giữa hai mặt phẳng

  • Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)có hai vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_P}} $ và $overrightarrow {{n_Q}} $ . Góc $alpha $ giữa hai mặt phẳng (P), (Q)được tính theo công thức : $cos alpha = left| {cos left( {overrightarrow {{n_P}} ;overrightarrow {{n_Q}} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_P}} .overrightarrow {{n_Q}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_P}} } right|.left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|}}$
  • Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng $left[ {{0^0};{{90}^0}} right]$

4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

  • Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương $overrightarrow u $ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $overrightarrow n $ . Góc $alpha $ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (Q) được tính theo công thức $sin alpha = left| {cos left( {overrightarrow u ;overrightarrow n } right)} right|$
  • Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng $left[ {{0^0};{{90}^0}} right]$

5. Lệnh Caso

  • Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
  • Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
  • Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
  • Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
  • Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
  • Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
  • Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
  • Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-2;1;0), B(-3;0;4), C(0;7;3) . Khi đó $cos left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {BC} } right)$ bằng :
A. $frac{{14sqrt {118} }}{{354}}$
B. $ – frac{{14}}{{3sqrt {118} }}$
C. $frac{{sqrt {798} }}{{57}}$
D. $ – frac{{sqrt {798} }}{{57}}$

giải

Nhập hai vecto $overrightarrow {AB} ,,overrightarrow {BC} $ vào máy tính Casio

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-1-png.3339

Tính $cos left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {BC} } right) = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {BC} }}{{left| {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {BC} } right|}} = 0.4296… = – frac{{14}}{{3sqrt {118} }}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-2-png.3340

=> Đáp số chính xác là B

Câu 2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HN]
Góc giữa hai đường thẳng $d:frac{x}{1} = frac{{y + 1}}{{ – 1}} = frac{{z – 1}}{2}$ và d’: $frac{{x + 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z – 3}}{1}$ là :
A. ${45^0}$
B. ${90^0}$
C. ${60^0}$
D. ${30^0}$

giải

Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-3-png.3341

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $overrightarrow u left( {1; – 1;2} right)$ , đường thẳng d’ có vecto chỉ phương $overrightarrow {u’} left( {2;1;1} right)$
Gọi $alpha $ là góc giữa hai đường thẳng d; d’ thì $cos alpha = left| {cos left( {overrightarrow u ;overrightarrow {u’} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow u .overrightarrow {u’} } right|}}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow {u’} } right|}}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-4-png.3342

Ta có $cos alpha = 0.5 Rightarrow alpha = {60^0}$
Áp dụng công thức tính thể tích ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}left| {overrightarrow {AB} left[ {overrightarrow {AC} ;overrightarrow {AD} } right]} right| = 4$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-5-png.3343

=> Đáp số chính xác là C

Câu 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]
Tìm m để góc giữa hai vecto $overrightarrow u left( {1;{{log }_3}5;{{log }_m}2} right)$ , $overrightarrow v left( {3;{{log }_5}3;4} right)$ là góc nhọn
A. $1 > m > frac{1}{2}$
B. $left[ begin{array}{l}
m > 1\
0 < m < frac{1}{2}
end{array} right.$
C. $0 < m < frac{1}{2}$
D.m>1

giải

Gọi góc giữa 2 vecto $overrightarrow u ,,overrightarrow v $ là $alpha $ thì $cos alpha = frac{{overrightarrow u .overrightarrow v }}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow v } right|}}$
Để góc $alpha $ nhọn thì $cos alpha < 0 Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v < 0$ $ Leftrightarrow 1.3 + {log _3}5.{log _5}3 + 4.{log _m}2 < 0 Leftrightarrow {log _m}2 + 1 < 0$ (1)
Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start -2 End 2 Step 0.5

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-6-png.3344

Ta thấy f(0.25)=0.5>0 => Đáp án C sai

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-7-png.3345

Ta thấy f(1.25)=4.1062>0 => Đáp số B và D sai

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-8-png.3346

=> Đáp số chính xác là A

Câu 4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12]
Tìm $alpha $ để hai mặt phẳng $left( P right):x – frac{1}{4}y – z + 5 = 0$ và $left( Q right):xsin alpha + ycos alpha + z{sin ^3}alpha + 2 = 0$vuông góc với nhau
A. ${15^0}$
B. ${75^0}$
C. ${90^0}$
D. Cả A, B, C đều đúng

giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_P}} left( {1; – frac{1}{4}; – 1} right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_Q}} left( {sin alpha ;cos alpha ;{{sin }^3}alpha } right)$
Để hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau $ Leftrightarrow $ góc giữa $overrightarrow {{n_P}} $ và $overrightarrow {{n_Q}} $ bằng ${90^0}$ $ Leftrightarrow overrightarrow {{n_P}} .overrightarrow {{n_Q}} = 0$
$ Leftrightarrow sin alpha – frac{1}{4}cos alpha – {sin ^3}alpha = 0$. Đặt $P = sin alpha – frac{1}{4}cos alpha – {sin ^3}alpha $
Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng CALC của máy tính Casio
Với $alpha = {15^0}$ => $P = 0 Rightarrow $ Đáp án A đúng

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-9-png.3347

Với $alpha = {75^0}$ => $P = 0 Rightarrow $ Đáp án B đúng

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-10-png.3348

=> Đáp số chính xác là D

Câu 5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Điểm H(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng (P) .Tìm số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q): x-y-6=0
A. ${30^0}$
B. ${45^0}$
C. ${60^0}$
D. ${90^0}$

giải

Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên nhận $overrightarrow {OH} left( {2; – 1; – 2} right)$ là vecto pháp tuyến
$ Rightarrow left( P right):2left( {x – 2} right) – 1left( {y + 1} right) – 2left( {z + 2} right) = 0 Leftrightarrow 2x – y – 2z – 9 = 0$
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là $overrightarrow {{n_Q}} left( {1; – 1;0} right)$
Gọi $alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) => $cos alpha = frac{{left| {overrightarrow {OH} .overrightarrow {{n_Q}} } right|}}{{left| {overrightarrow {OH} } right|.left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|}}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-11-png.3349

Vậy $cos alpha = 0.7071… = frac{{sqrt 2 }}{2} Rightarrow alpha = {45^0}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-12-png.3350

=> Đáp số chính xác là B

Câu 6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Mặt phẳng (Q)nào sau đây đi qua hai điểm A(3;0;0) và B(0;0;1) đồng thời tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc là ${60^0}$
A. $left[ begin{array}{l}
x – sqrt {26} y + 3z – 3 = 0\
x – 5y + 3z – 3 = 0
end{array} right.$
B. $left[ begin{array}{l}
x + 5y + 3z – 3 = 0\
x + sqrt {26} y + 3z – 3 = 0
end{array} right.$
C. $left[ begin{array}{l}
x – 5y + 3z – 3 = 0\
x + 5y + 3z – 3 = 0
end{array} right.$
D. $left[ begin{array}{l}
x + sqrt {26} y + 3z – 3 = 0\
x – sqrt {26} y + 3z – 3 = 0
end{array} right.$

giải

Cách Casio
Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong đáp án đều đi qua 2 điểm A, B . Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất hiện trong đáp án và mặt phẳng (Oxy) là xong.
Với mặt phẳng $left( Q right):x – sqrt {26} y + 3z – 3 = 0$ có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_Q}} = left( {1; – sqrt {26} ;3} right)$ , mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến $overrightarrow n = left( {0;0;1} right)$
Gọi $alpha $ là góc giữa 2 mặt phẳng trên $ Rightarrow cos alpha = frac{{left| {overrightarrow {{n_Q}} ;overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|.left| {overrightarrow n } right|}} = 0.5 Rightarrow alpha = {60^0}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-13-png.3351

=> Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng $left( Q right):x – sqrt {26} y + 3z – 3 = 0$.
Tiếp tục thử với mặt phẳng $x – 5y + 3{rm{z}} – 3 = 0$ nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án D đúng
Cách tự luận
Gọi mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
(Q) qua A => 3A+D=0, (Q) qua $B Rightarrow C + D = 0$ . Chọn $D = 1 Rightarrow C = – 1;A = – frac{1}{3}$
Khi đó $left( Q right): – frac{1}{3}x + By – z + 1 = 0$ và có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_Q}} left( { – frac{1}{3};B; – 1} right)$
Góc giữa hai mặt phẳng trên là ${60^0}$ => $cos {60^0} = frac{{left| {overrightarrow {{n_Q}} ;overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|.left| {overrightarrow n } right|}} = frac{1}{2}$ $ Leftrightarrow frac{{left| {overrightarrow {{n_Q}} ;overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|.left| {overrightarrow n } right|}} – frac{1}{2} = 0$
$begin{array}{l} Leftrightarrow frac{{left| { – frac{1}{3}.0 + B.0 – 1.1} right|}}{{sqrt {{{left( { – frac{1}{3}} right)}^2} + {B^2} + 1} .sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} – frac{1}{2} = 0\ Leftrightarrow frac{1}{{sqrt {{B^2} + frac{{10}}{9}} }} – frac{1}{2} = 0\ Leftrightarrow sqrt {{B^2} + frac{{10}}{9}} = 2\ Leftrightarrow {B^2} + frac{{10}}{9} = 4\ Leftrightarrow {B^2} = frac{{26}}{9} Leftrightarrow B = pm frac{{sqrt {26} }}{3} end{array}$
=> Đáp án chính xác là C

Câu 7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Tính góc giữa đường thẳng $Delta :frac{{x + 3}}{2} = frac{{y + 1}}{1} = frac{{z – 3}}{1}$ và mặt phẳng ( P):x + 2y – z + 5 = 0
A. ${30^0}$
B. ${45^0}$
C. ${60^0}$
D. ${90^0}$

giải

Đường thẳng $Delta $ có vecto chỉ phương $overrightarrow u left( {2;1;1} right)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $overrightarrow n left( {1;2; – 1} right)$
Gọi $beta $ là góc giữa giữa 2 vectơ $overrightarrow u ,,overrightarrow n $ . Ta có $left| {cos left( beta right)} right| = frac{{left| {overrightarrow u .overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow n } right|}}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-14-png.3352

Gọi $alpha $ là góc giữa đường thẳng $Delta $ và mặt phẳng (P) $ Rightarrow sin alpha = left| {cos beta } right| = 0.5$
$ Rightarrow alpha = {30^0}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-15-png.3353

=> Đáp án chính xác là A

Câu 8-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD :
A. ${30^0}$
B. ${60^0}$
C. ${90^0}$
D. ${120^0}$

giải

Đường thẳng AB nhận vecto $overrightarrow {AB} left( { – 1;1;1} right)$ là vecto chỉ phương , đường thẳng CD nhận $overrightarrow {CD} left( {0;1; – 1} right)$là vecto chỉ phương
Gọi $alpha $ là góc giữa hai đường thẳng AB, CD và được tính theo công thức : $cos alpha = left| {cos left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {CD} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} } right|}}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {CD} } right|}}$
Nhập các vecto $overrightarrow {AB} ,,overrightarrow {CD} $ vào máy tính Casio

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-16-png.3354

Tính $cos alpha = left| {cos left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {CD} } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} } right|}}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {CD} } right|}} = 0 Rightarrow alpha = {90^0}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-17-png.3355

Vậy đáp số chính xác là C

Câu 9-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho $overrightarrow u left( {1;1; – 2} right)$ và $overrightarrow v left( {1;0;m} right)$ . Tìm m để góc giữa hai vecto $overrightarrow u ,,overrightarrow v $ là ${45^0}$
A. $left[ begin{array}{l}
m = 2 – sqrt 6 \
m = 2 + sqrt 6
end{array} right.$
B. $m = 2 – sqrt 6 $
C. $m = 2 + sqrt 6 $
D. Không có m thỏa mãn

giải

Ta có $cos left( {overrightarrow u ;overrightarrow v } right) = frac{{overrightarrow u .overrightarrow v }}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow v } right|}} = frac{{1 – 2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2} = 1} }}$
Để góc giữa 2 vecto trên là ${45^0}$ thì $frac{{1 – 2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2} = 1} }} = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow frac{{1 – 2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2} = 1} }} – frac{1}{{sqrt 2 }} = 0$
Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC
Với $m = 2 – sqrt 6 $

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-18-png.3356

$ Rightarrow m = 2 – sqrt 6 $ thỏa => Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B
Tiếp tục kiểm tra với $m = 2 + sqrt 6 $

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-19-png.3357

$ Rightarrow 2 + sqrt 6 $ không thỏa => Đáp số chính xác là B

Câu 10-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai mặt phẳng $left( P right):{m^2}x – y + left( {{m^2} – 2} right)z + 2 = 0$ và $2x + {m^2}y – 2z + 1 = 0$ vuông góc với nhau :
A. $left| m right| = 2$
B. $left| m right| = 1$
C. $left| m right| = sqrt 2 $
D. $left| m right| = sqrt 3 $

giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $overrightarrow n left( {{m^2}; – 1;{m^2} – 2} right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $overrightarrow {n’} left( {2;{m^2}; – 2} right)$
Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì $overrightarrow n bot overrightarrow {n’} Leftrightarrow overrightarrow n .overrightarrow {n’} = 0$
$ Leftrightarrow {m^2}.2 – {m^2} + left( {{m^2} – 2} right).left( { – 2} right) = 0 Leftrightarrow 4 – {m^2} = 0 Leftrightarrow m = pm 2$
=> Đáp án chính xác là A

Câu 11-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm B’C’ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC’
A. $frac{1}{{sqrt 3 }}$
B. $frac{2}{{sqrt 5 }}$
C. $frac{{sqrt 3 }}{2}$
D. $frac{{sqrt 2 }}{2}$

giải

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz chứa AA’ . Chọn a=1 khi đó: A(0;0;0), B(0;1;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B’(1;0;1); C’(1;1;1)
$ Rightarrow Pleft( {1;frac{1}{2};1} right)$, $overrightarrow {AP} left( {1;frac{1}{2};1} right)$ , $overrightarrow {BC’} left( {0;1;1} right)$
Góc giữa 2 đường thẳng AP, BC’ là $alpha $ thì $cos alpha = frac{{left| {overrightarrow {AP} ;overrightarrow {BC’} } right|}}{{left| {overrightarrow {AP} } right|.left| {overrightarrow {BC’} } right|}} = 0.7071… = frac{{sqrt 2 }}{2}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-20-png.3358

=>D là đáp số chính xác

Câu 12-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng $left( Q right):2x + y – sqrt 5 z = 0$ một góc ${60^0}$
A. $left[ begin{array}{l}
x + 3y = 0\
x – 3y = 0
end{array} right.$
B. $left[ begin{array}{l}
x – 3y = 0\
– 3x + y = 0
end{array} right.$
C. $left[ begin{array}{l}
– 3x + y = 0\
x + 3y = 0
end{array} right.$
D. $left[ begin{array}{l}
– 3x + y = 0\
3x + y = 0
end{array} right.$

giải

Cách Casio
Với mặt phẳng ( P):x + 3y = 0 có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_P}} = left( {1;3} right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_Q}} = left( {2;1; – sqrt 5 } right)$
Gọi $alpha $ là góc giữa 2 mặt phẳng trên $ Rightarrow cos alpha = frac{{left| {overrightarrow {{n_P}} ;overrightarrow {{n_Q}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_P}} } right|.left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|}} = 0.5 Rightarrow alpha = {60^0}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-21-png.3359

=> Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng x+3y=0.
Tiếp tục thử với mặt phẳng x-3y=0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án C đúng
Cách tự luận
Gọi mặt phẳng (P) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. (P) chứa trục Oz thì (P) chứa 2 điểm thuộc trục Oz . Gọi hai điểm đó là A(0;0;0) và B(0;0;1)
(P) qua $A Rightarrow $ D=0 , (P) qua $B Rightarrow C + D = 0$$ Rightarrow C = D = 0$Chọn A=1
Khi đó ( P):x + By = 0 và có vecto pháp tuyến $overrightarrow {{n_Q}} left( {1;B;0} right)$
Góc giữa hai mặt phẳng trên là ${60^0}$=>$cos {60^0} = frac{{left| {overrightarrow {{n_P}} ;overrightarrow {{n_Q}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_P}} } right|.left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|}} = frac{1}{2}$$ Leftrightarrow frac{{left| {overrightarrow {{n_Q}} ;overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|.left| {overrightarrow n } right|}} – frac{1}{2} = 0$
$ Leftrightarrow frac{{left| {1.2 + B.1 + 0.left( { – sqrt 5 } right)} right|}}{{sqrt {{1^2} + {B^2} + {0^2}} .sqrt {{2^2} + {1^2} + {{left( { – sqrt 5 } right)}^2}} }} = frac{1}{2} = Leftrightarrow frac{{left| {B + 2} right|}}{{sqrt {10} sqrt {{B^2} + 1} }} = frac{1}{2}$
$begin{array}{l} Leftrightarrow 2left| {B + 2} right| = sqrt {10} sqrt {{B^2} + 1} \ Leftrightarrow 4left( {{B^2} + 4B + 4} right) = 10left( {{B^2} + 1} right)\ Leftrightarrow 6{B^2} – 16B – 6 = 0\ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {B = 3}\ {B = – frac{1}{3}} end{array}} right. end{array}$
=> Đáp án chính xác là C

Câu 13-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho ( P ):3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( alpha right):x – 2y + 1 = 0$ , $left( beta right):x – 2z – 3 = 0$ . Gọi $varphi $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) . Khi đó :
A. $varphi = {30^0}$
B. $varphi = {45^0}$
C. $varphi = {60^0}$
D. $varphi = {90^0}$

giải

d là giao tuyến của hai mặt phẳng $left( alpha right),,left( beta right)$ nên nhận d vuông góc với hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng này
=>Vecto chỉ phương $overrightarrow {{u_d}} = left[ {overrightarrow {{n_alpha }} ;overrightarrow {{n_beta }} } right] = left( {4;4;4} right)$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-22-png.3360

Gọi $gamma $ là góc giữa $overrightarrow {{u_d}} ;overrightarrow {{n_P}} $ta có $left| {cos gamma } right| = frac{{left| {overrightarrow {{u_d}} .overrightarrow {{n_P}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_d}} } right|.,left| {overrightarrow {{n_P}} } right|}} = 0.8660… = frac{{sqrt 3 }}{2}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-23-png.3361

Ta có $sin varphi = left| {cos gamma } right| = frac{{sqrt 3 }}{2} Rightarrow varphi = {60^0}$

ky-thuat-casio-tinh-nhanh-goc-24-png.3362

=> Đáp số chính xác là C
Chính xác là B.

 

Sửa lần cuối: 20/6/20

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button