Kiến thức

Bài 3: Kỹ thuật casio tìm cực trị hàm số-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Bạn đang xem: Bài 3: Kỹ thuật casio tìm cực trị hàm số-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

17/10/18

17/10/18

#1

I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Điểm cực đại, cực tiểu:
Hàm số f liên tục trên $left( {a;b} right)$ chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $left( {a;{x_0}} right)$ và $left( {{x_0};b} right)$ . Khi đó:

  • Nếu $f’left( {{x_0}} right)$ đổi dấu từ âm sang d
  • ương khi x qua điểm ${x_0}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}$
  • Nếu $f’left( {{x_0}} right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm ${x_0}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_0}$

2.Lệnh Casio tính đạo hàm

casio-png.2912

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017]

Cho hàm số $y = left( {x – 5} right)sqrt[3]{{{x^2}}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
D. Hàm số không có cực tiểu

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO
Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của y tại x=1 (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)

cuc-tri-ham-so-1-png.2888

Ta thấy đạo hàm $y’left( 1 right) ne 0$ vậy đáp số A sai
Tương tự với đáp án B (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)

cuc-tri-ham-so-2-png.2889

Ta thấy $y’left( 2 right) = 0$ . Đây là điều kiện cần để x=2 là điểm cực tiểu của hàm số y
Kiểm tra $y’left( {2 – 0.1} right) = – 0.1345… < 0$

cuc-tri-ham-so-3-png.2890

Kiểm tra $y’left( {2 + 0.1} right) = 0.1301… > 0$

cuc-tri-ham-so-4-png.2891

Tóm lại $f’left( 2 right) = 0$ và dấu của y’ đổi từ – sang + vậy hàm số y đạt cực tiểu tại x=2
=> Đáp án B là chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm : $y’ = sqrt[3]{{{x^2}}} + left( {x – 5} right).frac{2}{3}.frac{1}{{sqrt[3]{x}}} = frac{{3x + 2left( {x – 5} right)}}{{3sqrt[3]{x}}} = frac{{5left( {x – 2} right)}}{{3sqrt[3]{x}}}$
Ta có $y’ = 0 Leftrightarrow 5left( {x – 2} right) = 0 Leftrightarrow x = 0$
$y’ > 0 Leftrightarrow frac{{5left( {x – 2} right)}}{{3sqrt[3]{x}}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x – 2 > 0\
x > 0
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x – 2 < 0\
x < 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 2\
x < 0
end{array} right.$
$y’ < 0 Leftrightarrow 0 < x < 2$
Vậy y’(2) = 0 và y’ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x=2
Bình luận :
Trong các bài toán tính đạo hàm phức tạp thì cách Casio càng tỏ ra có hiệu quả vì tránh được nhầm lẫn khi tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm.

Câu 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]
Với giá trị nguyên nào của k thì hàm số $y = k{x^4} + left( {4k – 5} right){x^2} + 2017$ có 3 cực trị
A. k=1
B. k=2
C. k=3
D. k=4

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO
Tính đạo hàm $y’ = 4k{x^3} + 2left( {4k – 5} right)x$
Ta hiểu : Để hàm số y có 3 cực trị thì y’=0 có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào)
Ta chỉ cần giải phương trình bậc 3: $4k{x^3} + 2left( {4k – 5} right)x = 0$ với $a = 4k,b = 0,c = 8k – 10,d = 0$ . Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình bậc 3: MODE 5
Thử đáp án A với k=1

cuc-tri-ham-so-5-png.2892

Ta thu được 3 nghiệm ${x_1} = frac{{sqrt 2 }}{2};{x_2} = – frac{{sqrt 2 }}{2};{x_3} = 0$
=> Đáp án A là chính xác

Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm $y’ = 4k{x^3} + 2left( {4k – 5} right)x$
Ta hiểu : Để hàm y có 3 cực trị thì y’=0 có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào)
$y’ = 0 Leftrightarrow 4k{x^3} + 2left( {4k – 5} right)x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
4k{x^2} – left( {10 – 8k} right) = 0,,,left( 2 right)
end{array} right.$
Để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
$ Leftrightarrow {x^2} = frac{{18 – 8k}}{{4k}} > 0 Leftrightarrow 0 < k < 2$
Vậy k=1 thỏa mãn
Bình luận:

  • Đạo hàm là phương trình bậc 3 có dạng $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0,,left( {a ne 0} right)$ nếu có 3 nghiệm thì sẽ tách được thành $aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right)left( {x – {x_3}} right) = 0$ nên vế trái luôn đổi dấu qua các nghiệm. $ Rightarrow $ Có 3 cực trị
  • Tuy nhiên nếu đạo hàm là phương trình bậc 3 chỉ có 2 nghiệm thì sẽ tách thành $aleft( {x – {x_1}} right){left( {x – {x_2}} right)^2} = 0$ và sẽ có 1 nghiệm kép. $ Rightarrow $ có 1 cực trị
  • Mở rộng thêm : nếu đạo hàm là 1 phương trình bậc 3 có 1 nghiệm thì chỉ đổi dấu 1 lần $ Rightarrow $ có 1 cực trị

Câu 3-[Thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội lần 1 năm 2017]
Số điểm cực trị của hàm số $y = {left| x right|^3} – 4{x^2} + 3$ bằng :
A. 2
B. 0
C. 3
D. 4

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 :
Tính đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối $left( {{{left| x right|}^3}} right)’ = left[ {{{left( {sqrt {{x^2}} } right)}^3}} right]’ = left[ {{{left( {{x^2}} right)}^{frac{3}{2}}}} right]’ = frac{3}{2}{left( {{x^2}} right)^{frac{1}{2}}}.2x = 3xleft| x right|$
Vậy $y’ = left( {{{left| x right|}^3} – 4{x^2} + 3} right)’ = 3xleft| x right| – 8x$
Số điểm cực trị tương ứng với số nghiệm của phương trình y’=0 . Ta sử dụng chức năng MODE 7 để dò nghiệm và sự đổi dấu của y’ qua nghiệm.

cuc-tri-ham-so-6-png.2893

Ta thấy y’ đổi dấu 3 lần $ Rightarrow $ Có 3 cực trị
$ Rightarrow $ Đáp án C là chính xác

Câu 4-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa]
Tìm tất các các giá trị thực của m để hàm số $y = {x^3} – 3m{x^2} + 3left( {{m^2} – 1} right)x – 3{m^2} + 5$ đạt cực đại tại x=1
A. $left[ begin{array}{l}
m = 0\
m = 2
end{array} right.$
B. m= 2
C. m= 1
D. m=0

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO
Kiểm tra khi m=0 thì hàm số có đạt cực đại tại x=1 không.

cuc-tri-ham-so-7-png.2894

Vậy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x= 1 => m= 0 loại $ Rightarrow $ Đáp án A hoặc D sai
Tương tự kiểm tra khi m= 2

cuc-tri-ham-so-8-png.2895

Ta thấy y’ đổi dấu từ dương sang âm $ Rightarrow $ hàm y đạt cực đại tại x=1 $ Rightarrow $ Đáp án B chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
Tính đạo hàm : $y’ = 3{x^2} – 6mx + 3left( {{m^2} – 1} right)$
Ta có $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = m – 1\
x = m + 1
end{array} right.$
Điều kiện cần: x=1 là nghiệm của phương trình $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m – 1 = 1\
m + 1 = 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 2\
m = 0
end{array} right.$
Thử lại với m=2 khi đó $y’ = 3{x^2} – 12x + 9$ .
$y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 3
end{array} right.$
$y’ > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 3\
x < 1
end{array} right.$ và $y’ < 0 Leftrightarrow 1 < x < 3$
Vậy y’ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x=1 $ Rightarrow $ Hàm y đạt cực đại tại x=1
Bình luận :
Việc chọn giá trị m một cách khéo léo sẽ giúp chúng ta rút ngắn quá trình chọn để tìm đâp án đúng.

Câu 5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình]
Cho hàm số $y = asin x + bcos x + x$ $left( {0 < x < 2pi } right)$ đạt cực đại tại các điểm $x = frac{pi }{3}$ và $x = pi $ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + bsqrt 3 $
A. $T = 2sqrt 3 $
B. $T = 3sqrt 3 + 1$
C. T=2
D. T=4

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : T. CASIO
Tính đạo hàm $y’ = left( {asin x + bcos x + x} right)’ = acos x – bsin x + 1$
Hàm số đạt cực trị tại $x = frac{pi }{3} Rightarrow acos frac{pi }{3} – bsin frac{pi }{3} + 1 = 0 Leftrightarrow frac{1}{2}a – frac{{sqrt 3 }}{2}b + 1 = 0$ (1)
Hàm số đạt cực trị tại $x = frac{pi }{3} Rightarrow acos pi – bsin pi + 1 = 0 Leftrightarrow – a – 0b + 1 = 0$ (2)
Từ (2) ta có a=1 . Thế vào (1) $ Rightarrow $ $b = sqrt 3 $
Vậy $T = a + bsqrt 3 = 4$ $ Rightarrow $ Đáp án D là chính xác

Câu 6-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017]
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x$
A. $2x + 3y + 9 = 0$ B. $2x + 3y – 6 = 0$
C. $2x – 3y + 9 = 0$ D. $ – 2x + 3y + 6 = 0$

Học Lớp hướng dẫn giải

Cách 1 : CASIO
Gọi 2 điểm cực trị của đồ thị là $Aleft( {{x_1};{y_1}} right),Bleft( {{x_2};{y_2}} right)$ . Ta không quan tâm đâu là điểm cực đại, đâu là điểm cực tiẻu. Chúng ta chỉ cần biết đường thẳng cần tìm sẽ đi qua 2 điểm cực trị trên.
${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình y’=0. Để tìm 2 nghiệm này ta sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2 MODE

cuc-tri-ham-so-9-png.2896

Ta tìm được ${x_1} = 3;{x_2} = 1$
Để tìm ${y_1};{y_2}$ ta sử dụng chức năng gán giá trị CALC

cuc-tri-ham-so-10-png.2897

Khi x=3 thì y=0 vậy A(3;0)

cuc-tri-ham-so-11-png.2898

Khi x=1 thì $y = frac{4}{3}$ vậy $Bleft( {1;frac{4}{3}} right)$
Ta thấy đường thẳng $2x + 3y – 6 = 0$đi qua A và B $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là B

Cách tham khảo : Tự luận
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là phần dư của phép chia y cho y’
Tính $y’ = {x^2} – 4x + 3$
Thực hiện phép chia được : $frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x = left( {frac{1}{3}x – frac{2}{3}} right)left( {{x^2} – 4x + 3} right) – frac{2}{3}x – 2$
Vậy phương trình cần tìm có dạng $y = – frac{2}{3}x + 2 Leftrightarrow 2x + 3y – 6 = 0$
Bình luận :
Cách Casio có vẻ hơi dài hơn nhưng lại có ưu điểm tránh phải thực hiện phép chia y cho y’.

Câu 7 -[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]
Hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1$ đạt cực tiểu tại :
A. x= -1
B. x= 1
C. x= 0.
D. x= -2

Học Lớp hướng dẫn giải

Ngoài cách thử lần lượt từng đáp án để lấy kết quả. Nếu ta áp dụng một chút tư duy thì phép thử sẽ diễn ra nhanh hơn. Đồ thị hàm bậc 4 đối xứng nhau qua trục tung. Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x= -1 thì sẽ đạt cực tiểu tại x= 1. $ Rightarrow $ Đáp án A và B loại vì ta chỉ được chọn 1 đáp án.
Thử với x= 0

cuc-tri-ham-so-12-png.2899

Ta thấy f’(0) = 0, f’(x) đổi dấu từ âm sang dương $ Rightarrow $ x= -1 là cực tiểu $ Rightarrow $ Đáp án C chính xác

Câu 8-[Thi thử THPT Yên Thế – Bắc Giang lần 1]
Giá trị của m để hàm số $y = – {x^3} – 2{x^2} + mx + 2m$ đạt cực tiểu tại x= -1 là :
A. m< -1
B. $m ne – 1$
C. m= -1
D. m> -1

Học Lớp hướng dẫn giải

Thử đáp án, ưu tiên thử giá trị xác định trước. Với đáp án C khi m=-1 $ Rightarrow y = – {x^3} – 2{x^2} – x – 2$

cuc-tri-ham-so-13-png.2900

Ta thấy f’(-1) = 0, f’(x) đổi dấu từ âm sang dương $ Rightarrow $ x= -1 là cực tiểu $ Rightarrow $ Đáp án C chính xác

Câu 9-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gia]
Tìm giá trị cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$
A. 4
B.1
C. 0
D. -1

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = 3{x^2} – 3$. Tìm điểm cực đại của hàm số là nghiệm phương trình y’=0 $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = 1
end{array} right.$
Khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị x=-1 bằng cách tính f’(-1- 0.1) và f’(-1+ 0.1)

cuc-tri-ham-so-14-png.2901

Ta thấy f’(x) đổi dấu từ dương sang âm $ Rightarrow $ x= -1 là điểm cực đại của hàm số
Giá trị cực đại $fleft( { – 1} right) = {left( { – 1} right)^3} – 3left( { – 1} right) + 2 = 4$ $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là A chính xác

Câu 10-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội]
Đồ thị hàm số $y = {e^x}left( {{x^2} – 3x – 5} right)$ có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1
B.0
C. 2
D. 3

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = {e^x}left( {{x^2} – 3x – 5} right) + {e^x}left( {2x – 3} right)$
Dùng MODE 7 để tìm điểm cực trị và khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị

cuc-tri-ham-so-15-png.2902

Ta thấy f’(x) đổi dấu 2 lần $ Rightarrow $ Hàm số có hai điểm cực trị
Đáp án chính xác là A chính xác

Câu 11-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội]
Hàm số $y = {left| x right|^3} – {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
A. 2
B.1
C. 3
D. 0

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = 3xleft| x right| – 2x$ . $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = pm frac{2}{3}
end{array} right.$ . Dùng MODE 7 với thiết lập sao cho x chạy qua 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của y’

cuc-tri-ham-so-16-png.2903

Ta thấy f’(x) đổi dấu 3 lần $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là C chính xác

Câu 12-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa]
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm $f’left( x right) = x{left( {x – 1} right)^2}left( {2x + 3} right)$ . Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) là :
A.2
B.3
C.1
D. 0

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 1\
x = – frac{3}{2}
end{array} right.$ .
Dùng MODE 7 với thiết lập sao cho x chạy qua 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của y’

cuc-tri-ham-so-17-png.2904

Ta thấy f’(x) đổi dấu 2 lần $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là A chính xác
Chú ý : Nếu quan sát tinh tế thì ta thấy ngay ${left( {x – 1} right)^2}$ là lũy thừa bậc chẵn nên y’ không đổi dấu qua x=1 mà chỉ đổi dấu qua hai lũy thừa bậc lẻ x (hiểu là ${x^1}$) và 2x+3 (hiểu là ${left( {2x + 3} right)^1}$)

Câu 13-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Cho hàm số $y = left( {x – 1} right){left( {x + 2} right)^2}$ . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây.
A.$2x – y – 4 = 0$ B. $2x – y + 4 = 0$ C. $2x + y + 4 = 0$ D. $2x + y – 4 = 0$

Học Lớp hướng dẫn giải

Hàm số có dạng $y = left( {x – 1} right){(x + 2)^2} Leftrightarrow y = {x^3} + 3{x^2} – 4$ Có đạo hàm $y’ = 3{x^2} + 6x$ . $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 2\
x = 0
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
y = 0\
y = 4
end{array} right.$
Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $Mleft( { – 2;0} right),,Nleft( {0;4} right)$ . Trung điểm của hai điểm cực trị này là $Ileft( { – 1;2} right)$ . Điểm này thuộc đường thẳng $2x + y + 4 = 0$ $ Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 14-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + mx$ có 2 điểm cực trị trái dấu .
A. m<0
B. 0<m<3
C. m<3
D. Không có m thỏa

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = 3{x^2} – 6x + m$ . Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu $ Rightarrow $ Tích hai nghiệm là số âm $ Leftrightarrow frac{m}{3} < 0 Leftrightarrow m < 0$ $ Rightarrow $ Đáp án chính xác là A chính xác
Chú ý : Nếu quên định lý Vi-et ta có thể dùng phép thử. Với đáp án A chọn m=-5 chẳng hạn sẽ thấy luôn y’=0 có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm này đổi dấu.

Câu 15-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m{x^4} + left( {m – 1} right){x^2} + 2$ có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu
A. m< 1
B. $left[ begin{array}{l}
m le 0\
m > 1
end{array} right.$
C. m<0
D. $m ge 1$

Học Lớp hướng dẫn giải

Tính $y’ = 4m{x^3} + 2left( {m – 1} right)x$ . Để hàm số có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu thì $y’ = 0$ có đúng 1 nghiệm và $y’left( x right)$ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.
Chọn $m = – 5$ . Dùng MODE 7 tính nghiệm y’=0 và khảo sát sự đổi dấu của y’(x)

cuc-tri-ham-so-18-png.2905

Ta thấy f’(x) đổi dấu 1 lần từ dương sang âm$ Rightarrow $ m=-5 thỏa $ Rightarrow $ Đáp án đúng có thể là A, B, C
Chọn m= 5 . Dùng MODE 7 tính nghiệm y’=0 và khảo sát sự đổi dấu của y’(x)

cuc-tri-ham-so-19-png.2906

Ta thấy f’(x) đổi dấu 1 lần từ âm sang dương $ Rightarrow $ m=5 loại $ Rightarrow $ Đáp án B sai
Chọn m=0.5 . Dùng MODE 7 tính nghiệm y’=0 và khảo sát sự đổi dấu của y’(x)

cuc-tri-ham-so-20-png.2907

Ta thấy f’(x) đổi dấu 1 lần từ dương sang âm $ Rightarrow $ m=0.5 thỏa $ Rightarrow $ Đáp án A chính xác

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button