Kiến thức

Dạng 2: Giải bất phương trình bậc hai-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Bạn đang xem: Dạng 2: Giải bất phương trình bậc hai-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

1/8/18

1/8/18

#1

Thí dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a. 3x$^2$ – x – 2 ≤ 0.
b. x$^2$ – 9x + 14 > 0.

Giải

a Ta có ngay: 3x$^2$ – x – 2 ≤ 0 $mathop Leftrightarrow limits_{{x_1} = 1,,va,,{x_2} = – frac{2}{3}}^{3{x^2} – x – 2 = 0,,co,2,nghiem} $ -$frac{2}{3}$ ≤ x ≤ 1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$frac{2}{3}$; 1].
b Ta có ngay: x$^2$ – 9x + 14 > 0 ⇔ $left[ begin{array}{l}x > 7\x < 2end{array} right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; 2) ∪ (7; +∞).

Thí dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a. -2x$^2$ + x + 1 ≤ 0.
b. -x$^2$ + 6x – 14 > 0.
c. 4x$^2$ – 12x + 10 < 0.
d. x$^2$ + 2x + 1 ≤ 0.

Giải

a. Ta biến đổi bất phương trình về dạng: 2x$^2$ – x – 1 ≥ 0 ⇔ $left[ begin{array}{l}x > 1\x < – 1/2end{array} right..$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; -$frac{1}{2}$) ∪ (1; +∞).
Lưu ý: Như vậy, để tránh nhầm lẫn ta luôn chuyển bất phương trình về dạng có hệ số a dương.

b. Ta biến đổi bất phương trình về dạng:
x$^2$ – 6x + 14 > 0 $mathop Leftrightarrow limits^{Delta ‘ = – 5 < 0} $ ∀x ∈ $mathbb{R}$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = $mathbb{R}$.

c . Ta có: Δ’ = 36 – 40 = -4 < 0 ⇒ Bất phương trình vô nghiệm.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = ø.

d. Ta có biến đổi: (x + 1)$^2$ ≤ 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = {-1}.

Chú ý: Với bài toán “Giải và biện luận bất phương trình bậc hai” ta thực hiện như sau:
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 (nếu có).
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0, thực hiện theo các bước:

  • Bước 1: Tính Δ (hoặc Δ’) rồi lập bảng xét dấu chung cho a và Δ (hoặc Δ’).
  • Bước 2: Dựa vào bảng ta xét các trường hợp xảy ra.
  • Bước 3: Kết luận.

Thí dụ 3. Giải và biện luận các bất phương trình:
a. x$^2$ + 2x + 6m > 0.
b. 12x$^2$ + 2(m + 3)x + m ≤ 0.

Giải

a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có Δ’ = 1 – 6m. Xét ba trường hợp:

  • Trường hợp 1: Nếu Δ’ < 0 ⇔ m > $frac{1}{6}$ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$ ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}$.
  • Trường hợp 2: Nếu Δ’ = 0 ⇔ m = $frac{1}{6}$ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $mathbb{R}${$ – frac{1}{2}$} ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}$ {-1}.
  • Trường hợp 3: Nếu Δ’ > 0 ⇔ m < $frac{1}{6}$.

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$ = -1 – $sqrt {1 – 6m} $ và x$_2$ = -1 + $sqrt {1 – 6m} $.
Dễ thấy, x$_1$ < x$_2$ do đó ta có bảng xét dấu:

giai-bat-phuong-trinh-bac-hai_3_3-png.1234

⇒ nghiệm của bất phương trình là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
Kết luận:

  • Với m > $frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}$.
  • Với m = $frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}${-1}.
  • Với m < $frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng: (x + 1)$^2$ > 1 – 6m.
Khi đó:

  • Với 1 – 6m < 0 ⇔ m > $frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $mathbb{R}$.
  • Với 1 – 6m = 0 ⇔ m = $frac{1}{6}$, bất phương trình có dạng: (x + 1)$^2$ > 0 ⇔ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1.

Vậy, nghiệm của bất phương trình là tập $mathbb{R}${-1}.

  • Với 1 – 6m > 0 ⇔ m < $frac{1}{6}$, bất phương trình có dạng: $left| {x + 1} right| > sqrt {1 – 6m} $ ⇔ $left[ begin{array}{l}x + 1 > sqrt {1 – 6m} \x + 1 < – sqrt {1 – 6m} end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left[ begin{array}{l}x > – 1 + sqrt {1 – 6m} \x < – 1 – sqrt {1 – 6m} end{array} right..$

Vậy, nghiệm của bất phương trình là tập $left( { – infty ;,, – 1 – sqrt {1 – 6m} } right) cup left( { – 1 + sqrt {1 – 6m} ;,, + infty } right).$

b. Với f(x) = 12x$^2$ + 2(m + 3)x + m, ta có a = 12 và Δ’ = (m – 3)$^2$ ≥ 0.
Khi đó, ta xét hai trường hợp:

  • Trường hợp 1: Nếu Δ’ = 0 ⇔ m = 3, suy ra f(x) ≥ 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là x = -$frac{b}{a}$ = -$frac{1}{2}$.
  • Trường hợp 2: Nếu Δ’ > 0 ⇔ m ≠ 3, suy ra: f(x) = 0 ⇔ x$_1$ = -$frac{1}{2}$ và x$_2$ = -$frac{m}{6}$.

Xét hai khả năng sau:

  • Khả năng 1: Nếu x$_1$ < x$_2$ ⇔ m < 3.

Khi đó, ta có bảng xét dấu:

giai-bat-phuong-trinh-bac-hai_3_3_b1-png.1235

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$frac{1}{2}$; -$frac{m}{6}$).

  • Khả năng 2: Nếu x$_1$ > x$_2$ ⇔ m > 3.

Khi đó, ta có bảng xét dấu:

giai-bat-phuong-trinh-bac-hai_3_3_b2-png.1236

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$frac{m}{6}$; -$frac{1}{2}$).
Kết luận:

  • Với m = 3, bất phương trình có tập nghiệm T = {-$frac{1}{2}$}.
  • Với m < 3, bất phương trình có tập nghiệm T = (-$frac{1}{2}$; -$frac{m}{6}$).
  • Với m > 3, bất phương trình có tập nghiệm T = (-$frac{m}{6}$; -$frac{1}{2}$).

Thí dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình: (m – 1)x$^2$ – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0. (1)

Giải

Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1, khi đó: (1) ⇔ – 4x – 3 > 0 ⇔ x < –$frac{3}{4}$.
Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.
Ta có: a = m – 1, Δ’ = (m + 1)$^2$ – 3(m – 2)(m – 1) = -2m$^2$ + 11m – 5.
Bảng xét dấu:

giai-bat-phuong-trinh-bac-hai_4_2-png.1237

  • Với m < 1/2, ta có: $left{ begin{array}{l}a < 0\Delta ‘ < 0end{array} right.$⇒ f(x) < 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$ ⇒ (1) vô nghiệm.
  • Với m = 1/2, ta có: $left{ begin{array}{l}a < 0\Delta ‘ = 0end{array} right.$⇒ f(x) ≤ 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$ ⇒ (1) vô nghiệm.
  • Với 1/2 < m < 1, ta có a < 0 và Δ’ > 0.

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = frac{{m + 1 – sqrt {Delta ‘} }}{{m – 1}},,& ,,{x_2} = frac{{m + 1 + sqrt {Delta ‘} }}{{m – 1}}$.
Trường hợp này a < 0 nên x$_2$ < x$_1$ do đó:

giai-bat-phuong-trinh-bac-hai_4_3-png.1238

⇒ nghiệm của (1) là x$_2$ ≤ x ≤ x$_1$.

  • Với 1 < m < 5, ta có a > 0 và Δ’ > 0: $left{ begin{array}{l}a > 0\Delta ‘ > 0end{array} right.$⇒ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$

Trường hợp này a > 0 nên x$_2$ > x$_1$ do đó:

giai-bat-phuong-trinh-bac-hai_4_4-png.1239

⇒ nghiệm của (1) là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.

  • Với m = 5, ta có: $left{ begin{array}{l}a > 0\Delta ‘ = 0end{array} right.$⇒ $left{ begin{array}{l}f(x) > 0,,forall x ne 3/2\f(x) = 0,khi,x = 3/2end{array} right.$⇒ nghiệm của (1) là ∀x ≠ $frac{3}{2}$.
  • Với m > 5, ta có: $left{ begin{array}{l}a > 0\Delta ‘ < 0end{array} right.$⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $mathbb{R}$ ⇒ (1) đúng với ∀x ∈ $mathbb{R}$.

Kết luận:

  • Với m ≤ 1/2, thì (1) vô nghiệm.
  • Với 1/2 < m < 1, nghiệm của (1) là x$_2$ ≤ x ≤ x$_1$.
  • Với 1 < m < 5, nghiệm của (1) là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
  • Với m = 5, nghiệm của (1) là ∀x ≠ $frac{3}{2}$.
  • Với m > 5, thì (1) đúng với ∀x ∈ $mathbb{R}$.

Thí dụ 5. Cho phương trình: (m – 2)x$^2$ + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0. (1)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
a. Vô nghiệm.
b. Có nghiệm.
c. Có đúng một nghiệm.
d. Có hai nghiệm phân biệt.

Giải

Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2.
(1) ⇔ 0.x$^2$ + 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2.
Trường hợp 2: Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. Khi đó:
a. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $Delta ‘ < 0$ ⇔ -m$^2$ + 4m – 3 < 0 ⇔ m$^2$ – 4m + 3 > 0 ⇔ $left[ begin{array}{l}m < 1\m > 3end{array} right.$.
Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi m < 1 hoặc m > 3.

b. Để (1) có nghiệm điều kiện là: Δ’ ≥ 0 ⇔ -m$^2$ + 4m – 3 ≥ 0 ⇔ m$^2$ – 4m + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 3.
Vậy, bất phương trình có nghiệm khi 1 ≤ m ≤ 3.

c. Để (1) có đúng một nghiệm điều kiện là: Δ’ = 0 ⇔ -m$^2$ + 4m – 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 3.
Vậy, bất phương trình có đúng một nghiệm khi m ∈{1, 2, 3}.

d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: Δ’ > 0 ⇔ -m$^2$ + 4m – 3 > 0 ⇔ 1 < m < 3.
Vậy, bất phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m ∈(1; 3){2}.

Thí dụ 6. Cho phương trình: x$^2$ + 2(m – 1)x + m – 1 = 0. (1)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
1. Vô nghiệm.
2. Có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn:
a. x$_1$, x$_2$ trái dấu.
b. x$_1$, x$_2$ cùng dấu.
c. x$_1$, x$_2$ dương.
d. x$_1$, x$_2$ không dương.

Giải

1. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $Delta ‘ < 0$ ⇔ (m – 1)$^2$ – m + 1 < 0 ⇔ m$^2$ – 3m < 0 ⇔ 0 < m < 3.
Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi 0 < m < 3.

2. Ta lần lượt:
a. Để (1) có hai nghiệm trái dấu điều kiện là: a.f(0) < 0 ⇔ m – 1 < 0 ⇔ m < 1.
Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Để (1) có hai nghiệm cùng dấu điều kiện là: $left{ begin{array}{l}Delta ‘ > 0\P > 0end{array} right.$ $ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}{m^2} – 3m > 0\m – 1 > 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m > 3\m < 0end{array} right.\m > 1end{array} right.$ ⇔ m > 3.
Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Để (1) có hai nghiệm phân biệt dương (0 < x$_1$ < x$_2$) điều kiện là:
$left{ begin{array}{l}Delta ‘ > 0\P > 0\S > 0end{array} right.$ $ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}{m^2} – 3m > 0\m – 1 > 0\1 – m > 0end{array} right.$, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.
Lưu ý: Nếu biết nhận xét rằng S và P trái dấu thì khẳng định ngay vô nghiệm.

d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt không dương (x$_1$ < x$_2$ ≤ 0) điều kiện là: $left{ begin{array}{l} Delta ‘ > 0\ P ge 0\ S < 0 end{array} right. Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l} {m^2} – 3m > 0\ m – 1 ge 0\ 1 – m < 0 end{array} right. Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l} m > 3,,hoac,,m < 0\ m ge 1\ m > 1 end{array} right. Leftrightarrow m > 3$.
Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button