Kiến thức

Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

22/7/18

#1

Phương pháp:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng αta thực hiện theo các bước sau:

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-png.1001

  1. Tìm giao điểm $O = a cap left( alpha right)$
  2. Dựng hình chiếu A’ của một điểm $A in a$ xuống α
  3. Góc $widehat {AOA’} = varphi $ chính là góc giữa đường thẳng a và α.

Lưu ý:

  • Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên α ta chọn một đường thẳng $b bot left( alpha right)$ khi đó $AA’parallel b$.
  • Để tính góc $varphi $ ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông $Delta OAA’$. Ngoài ra nếu không xác định góc $varphi $ thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α theo công thức $sin varphi = frac{{left| {overrightarrow u .overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow u } right|left| {overrightarrow n } right|}}$ trong đó $overrightarrow u $ là VTCP của a còn $overrightarrow n $ là vec tơ có giá vuông góc với α.

Ví dụ vận dung
Câu
1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và $left( {BCD} right)$ là góc ACB.
B. Góc giữa AD và $left( {ABC} right)$ là góc ADB.
C. Góc giữa AC và $left( {ABD} right)$ là góc CAB.
D. Góc giữa CD và $left( {ABD} right)$ là góc CBD.

Chọn A

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-01-png.1002

Từ giả thiết ta có $left{ begin{array}{l}AB bot BC\AB bot CDend{array} right. Rightarrow AB bot left( {BCD} right)$.
Do đó $left( {AC,left( {BCD} right)} right) = widehat {ACB}$.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với $left( {ABC} right)$ lấy điểm S sao cho $SA = frac{{asqrt 6 }}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $SA$ và $left( {ABC} right)$.
A. $30^circ $.
B. $45^circ $.
C. $60^circ $.
D. $90^circ $.
Chọn D

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-02-png.1003

$SA bot left( {ABC} right) Rightarrow left( {SA,left( {ABC} right)} right) = 90^circ $.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh $AB,{rm{ }}BC,{rm{ }}BD$ vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Góc giữa CD và $left( {ABD} right)$ là góc $widehat {CBD}$.
B. Góc giữa AC và $left( {BCD} right)$ là góc $widehat {ACB}$.
C. Góc giữa AD và $left( {ABC} right)$ là góc $widehat {ADB}$.
D. Góc giữa AC và $left( {ABD} right)$ là góc $widehat {CBA}$.

Do $AB,{rm{ }}BC,{rm{ }}BD$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $AB bot left( {BCD} right)$, suy ra BC là hình chiếu của AC lên $left( {BCD} right)$.
Chọn B

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên $left( {ABC} right)$ trùng với trung điểmBC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $left( {ABC} right)$.
A. $30^circ $.
B. $45^circ $.
C. $60^circ $.
D. $75^circ $.

Chọn C

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-04-png.1004

Gọi H là trung điểm của BC suy ra
$AH = BH = CH = frac{1}{2}BC = frac{a}{2}$.
Ta có: $SH bot left( {ABC} right) Rightarrow SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2}$.
$widehat {left( {SA,left( {ABC} right)} right)} = widehat {SAH} = alpha $
$ Rightarrow tan alpha = frac{{SH}}{{AH}} = sqrt 3 Rightarrow alpha = 60^circ $.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥(ABCD). Biết $SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$. Tính góc giữa SC và $left( {ABCD} right)$.
A. $30^circ $.
B. $45^circ $.
C. $60^circ $.
D. $75^circ $.

Chọn A

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-05-png.1005

Ta có: $SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot AC$
$ Rightarrow widehat {left( {SC;left( {ABCD} right)} right)} = widehat {SCA} = alpha $
ABCD là hình vuông cạnh a $ Rightarrow AC = asqrt 2 ,SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$ $ Rightarrow tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{sqrt 3 }}{3} Rightarrow alpha = 30^circ $.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên $left( {ABC} right)$ trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và $left( {ABC} right).$
A. ${60^0}$
B. ${75^0}$
C. ${45^0}$
D. ${30^0}$

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-06-png.1006

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng $left( {ABC} right)$ nên $SH bot left( {ABC} right)$
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp $left( {ABC} right)$
$ Rightarrow left( {SA;left( {ABC} right)} right) = left( {SA;AH} right) = widehat {SAH}$
Ta có: $SH bot left( {ABC} right) Rightarrow SH bot AH$
Mà: ∆ABC = ∆SBC => SH = AH. Vậy tam giác $SAH$ vuông cân tại H $ Rightarrow widehat {SAH} = {45^0}$

Câu 7: Cho hình thoi ABCD có tâm O, $AC = 2a;BD = 2{rm{A}}C$. Lấy điểm S không thuộc $left( {ABCD} right)$ sao cho $SO bot left( {ABCD} right)$. Biết $tan widehat {SBO} = frac{1}{2}$. Tính số đo của góc giữa SC và $left( {ABCD} right)$.
A. $30^circ $.
B. $45^circ $.
C. $60^circ $.
D. $75^circ $.

Chọn B

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-07-png.1007

Ta có: $AC = 2a;BD = 2{rm{A}}C = 4a Rightarrow OB = 2a$
$ Rightarrow tan widehat {SBO} = frac{{SO}}{{OB}} = frac{1}{2} Leftrightarrow SO = frac{1}{2}OB = a$.
Mặt khác $widehat {left( {SC,left( {ABCD} right)} right)} = widehat {SCO};frac{{SO}}{{OC}} = frac{a}{a} = 1$
Suy ra số đo của góc giữa SC và $left( {ABCD} right)$ bằng $45^circ $.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên $left( {ABC} right)$ trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa $SA$ và $left( {ABC} right)$.
A. $30^circ $.
B. $45^circ $.
C. $60^circ $.
D. $75^circ $.

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-08-png.1008

Chọn B
Ta có:
$SH bot left( {ABC} right) Rightarrow SH bot AH Rightarrow widehat {left( {SA;left( {ABC} right)} right)} = widehat {SAH} = alpha $.
ΔABC và ΔSBC là hai tam giác đều cạnh a $ Rightarrow AH = SH = frac{{asqrt 3 }}{2}$
$ Rightarrow AH = SH = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow Delta SHA$ vuông cân tại H $ Rightarrow alpha = 45^circ $.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA bot (ABCD),SA = asqrt 6 .$ Gọi α là góc giữa SC và mp $(ABCD).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A. $alpha = {30^0}.$
B. $cos alpha = frac{{sqrt 3 }}{3}.$
C. $alpha = {45^0}.$
D. $alpha = {60^0}.$

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-09-png.1009

Vì $SA bot (ABCD)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên $(ABCD).$
$ Rightarrow $ Góc giữa giữa SC và mp $(ABCD)$bằng góc $SC& AC.$$ Rightarrow alpha = widehat {SCA}.$
Xét tam giác SAC vuông tại A có:$tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{asqrt 6 }}{{asqrt 2 }} = sqrt 3 Rightarrow alpha = {60^0}.$

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $SA bot left( {ABCD} right).$ Biết $SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$. Tính góc giữa SC và $left( {ABCD} right).$
A. ${30^0}.$
B. ${60^0}.$
C. ${75^0}.$
D. ${45^0}.$

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-10-png.1010

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = asqrt {2.} $
$SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của SC lên $left( {ABCD} right) Rightarrow widehat {SCA}$ là góc giữa SC và $left( {ABCD} right).$
Tam giác SAC vuông tại A nên $tan widehat {SCA} = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{asqrt 6 }}{3}.frac{1}{{asqrt 2 }} = frac{1}{{sqrt 3 }} Rightarrow widehat {SCA} = {30^0}.$
Chọn A

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi α là góc giữa AC′ và mp (A’BCD’) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $alpha {rm{ }} = {rm{ }}{30^0}.$
B. $tan alpha = frac{2}{{sqrt 3 }}.$
C. $alpha {rm{ }} = {rm{ }}{45^0}.$
D. $tan alpha = sqrt 2 .$

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-11-png.1011

Gọi $left{ begin{array}{l}A’C cap AC’ = I\C’D cap CD’ = Hend{array} right.$
mà $left{ begin{array}{l}C’D bot CD’\C’D bot A’D’end{array} right. Rightarrow C’D bot left( {A’BCD’} right) Rightarrow IH$ là hình chiếu vuông góc của AC′ lên $left( {A’BCD’} right) Rightarrow widehat {C’IH}$là góc giữa AC′ và (A’BCD’) Mà $tan widehat {C’IH} = frac{{C’H}}{{IH}} = frac{1}{{sqrt 2 }}.2 = sqrt 2 .$
Chọn D

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các ΔABC và ΔSBC. Số đo góc tạo bởi HK và mp(SBC) là?
A. $65^circ $.
B. $90^circ $.
C. $45^circ $.
D. $120^circ $.

Gọi $I = AH cap BC$. Ta có $left{ begin{array}{l}BC bot SA\BC bot AIend{array} right. Rightarrow BC bot (SAI) Rightarrow (SBC) bot (SAI)$ và $K in SI$.
Ta lại có $left{ begin{array}{l}SB bot CK\SB bot CHend{array} right. Rightarrow SB bot (CHK) Rightarrow (SBC) bot (CHK)$.
Mà $HK = (SAI) cap (SHK)$, suy ra $HK bot (SBC)$
$ to $ Chọn B

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. H là trực tâm tam giác ABC.
B. H là trọng tâm tam giác ABC.
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-13-png.1012

Do hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và SH ⊥ (ABC) nên SH là trục của hình chóp S.ABC = > HA = HB = HC. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vậy Chọn C

Câu 14: Cho góc tam diện Sxyz với $widehat {xSy} = {120^0},$ $widehat {ySz} = {60^0},$ $ to $ Trên các tia Sx,Sy,Sz lần lượt lấy các điểm A,B,C sao cho SA = SB = SC = a. Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc điểm sau :
A. Vuông cân.
B. Đều.
C. Cân nhưng không vuông.
D. Vuông nhưng không cân.

Xét $Delta SAB$ có $A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} – 2SA.SB.cos widehat {ASB} = 3{a^2} Rightarrow AB = asqrt 3 $.
ΔSBC đều $ Rightarrow BC = a.$
$Delta SAC$ có $AB = sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = asqrt 2 $.
Từ đó ΔABC vuông tại C.
Vậy Chọn D

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. IO⊥(ABCD).
B. $BC bot SB.$
C. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
D. Tam giác CD vuông ở D.

tinh-goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-16-png.1013

Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO//SA nên IO⊥(ABCD). Phương án A đúng.
Có $left{ begin{array}{l}BC bot AB\BC bot SAend{array} right. Rightarrow BC bot SB$. Phương án B đúng
Và $left{ begin{array}{l}CD bot AD\CD bot SAend{array} right. Rightarrow CD bot SD$ nên phương án D đúng.
Phương án C sai. Thật vậy nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD $ Rightarrow BD bot AC$(vô lý).
Vậy Chọn C

✅ Bản đầy đủ các dạng

vecto trong không gian

 

Sửa lần cuối: 28/4/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button