Kiến thức

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

3/8/18

3/8/18

#1

Đẳng thức lượng giác là phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số. Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác.

Bạn đang xem: Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

I. Phương pháp áp dụng

Sử dụng hệ thức cơ bản và các hệ quả để thực hiện phép biến đổi tương đương.
Ta lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:

  • Hướng 1: Dùng công thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT). Khi đó:
* Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức.​
* Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích.​
  • Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.
  • Hướng 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Để ý rằng một biểu thức lượng giác có thể được biến đổi thành nhiều dạng khác nhau. Chẳng hạn ta có:

sin$^2$2x = 1 – cos$^2$2x = (1 – cos2x)(1 + cos$^2$x).​
sin$^2$2x = $frac{1}{2}$(1 – cos4x);​
sin$^2$2x = 4sin$^2$x.cos$^2$x.​

Tuỳ theo mỗi bài toán, ta lựa chọn công thức thích hợp để biến đổi.
Note: Một lưu ý nhỏ, nếu bạn quên các

công thức lượng giác

có thể xem lại

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin(a + b).sin(a – b) = sin$^2$a – sin$^2$b = cos$^2$b – cos$^2$a.
b. $frac{{cos (a – b)}}{{cos (a + b)}} = frac{{cot a.cot b + 1}}{{cot a.cot b – 1}}$.

Giải​

a. Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Ta có:
VT = (sina.cosb + sinb.cosa)(sina.cosb – sinb.cosa)
= sin$^2$a.cos$^2$b – sin$^2$b.cos$^2$a = sin$^2$a(1 – sin$^2$b) – sin$^2$b(1 – sin$^2$a)
= sin$^2$a – sin$^2$b = 1 – cos$^2$a – 1 + cos$^2$b = cos$^2$b – cos$^2$a – đpcm.

Cách 2: Ta có:
VT = $frac{1}{2}$(cos2b – cos2a) = $frac{1}{2}$[(2cos$^2$b – 1) – (2cos$^2$a – 1)] = cos$^2$b – cos$^2$a.
= $frac{1}{2}$[(1 – sin$^2$b) – (1 – 2sin$^2$a)] = sin$^2$a – sin$^2$b.

Cách 3: (Hướng dẫn): Sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi VP, sau đó sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

b. Ta có:
VT = $frac{{cos a.cos b + sin a.sin b}}{{cos a.cos b – sin a.sin b}}$ = $frac{{frac{{cos a.cos b}}{{sin a.sin b}} + frac{{sin a.sin b}}{{sin a.sin b}}}}{{frac{{cos a.cos b}}{{sin a.sin b}} – frac{{sin a.sin b}}{{sin a.sin b}}}}$ = $frac{{cot a.cot b + 1}}{{cot a.cot b – 1}}$.
F Chú ý: Ví dụ tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng phép biến đổi hạ bậc, theo hai hướng:

  • Hướng 1: Hạ bậc đơn, tức là hạ bậc từng nhân tử trong biểu thức.
  • Hướng 2: Hạ bậc toàn cục, tức là dựa trên hằng đẳng thức đại số: a$^4$ + b$^4$ = (a$^2$ + b$^2$)$^2$ – $^2$a$^2$.b$^2$.

a$^6$ + b$^6$ = (a$^2$ + b$^2$)3 – 3a$^2$.b$^2$(a$^2$ + b$^2$).

Thí dụ 2. Chứng minh rằng:
a. sin$^4$x + cos$^4$x = $frac{1}{4}$cos4x + $frac{3}{4}$.
b. cos3x.sin$^3$x + sin3x.cos$^3$x = $frac{3}{4}$sin4x.

Giải​

a. Ta lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: (Sử dụng phép hạ bậc đơn): Ta có:
VT = sin$^4$x + cos$^4$x = (sin$^2$x)$^2$ + (cos$^2$x)$^2$ = ${left( {frac{{1 – cos 2x}}{2}} right)^2}$ + ${left( {frac{{1 + cos 2x}}{2}} right)^2}$
= $frac{1}{2}$ + $frac{1}{2}$cos$^2$2x = $frac{1}{2}$ + $frac{1}{2}$.$frac{{1 + cos 4x}}{2}$ = $frac{3}{4}$ + $frac{1}{4}$cos4x.

Cách 2: (Sử dụng phép hạ bậc toàn cục): Ta có:
VT = sin$^4$x + cos$^4$x = (sin$^2$x + cos$^2$x)$^2$ – 2sin$^2$x.cos$^2$x = 1 – $frac{1}{2}$.sin22x = 1 – $frac{1}{2}$.$frac{{1 – cos 4x}}{2}$ = $frac{3}{4}$ + $frac{1}{4}$cos4x.

b. Ta lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: (Sử dụng phép hạ bậc đơn): Ta có:
VT = $frac{1}{4}$(3sinx – sin3x)cos3x + $frac{1}{4}$(3cosx + cos3x)sin3x
= $frac{3}{4}$(sinx.cos3x + cosx.sin3x) = $frac{3}{4}$sin4x.

Cách 2: (Sử dụng phép hạ bậc đối xứng): Ta có:
VT = sin$^2$x.sinx.cos3x + cos$^2$x.cosx.sin3x
= (1 – cos$^2$x).sinx.cos3x + (1 – sin$^2$x).cosx.sin3x
= sinx.cos3x + cosx.sin3x – (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx
= sin4x – $frac{1}{2}$cos2x.sin2x = sin4x – $frac{1}{4}$sin4x = $frac{3}{4}$sin4x.

Nhận xét: Như vậy, thí dụ trên đã minh hoạ sự khác biệt trong việc lựa chọn các phép hạ bậc khác nhau để chứng minh một đẳng thức lượng giác. Và ở đó, các em dễ so sánh tính hiệu quả của phép hạ bậc đơn đối với những biểu thức khác nhau.
Để tăng độ khó bài toán trên thường được mở rộng như sau:

  1. Với câu a), có thể là “Tính giá trị của biểu thức sin$^4$x + cos$^4$x tại $x = frac{pi }{8}$ hoặc $x = frac{pi }{{12}}$ hoặc $x = frac{pi }{{16}}$ hoặc $x = frac{pi }{{24}}$”.
  2. Với câu b), có thể là “Tính giá trị của A = cos3x.sin3x + sin3x.cos3x tại $x = frac{pi }{8}$ hoặc $x = frac{pi }{{12}}$ hoặc $x = frac{pi }{{16}}$ hoặc $x = frac{pi }{{24}}$”.

Thí dụ 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin$^3$x.(1 + cotanx) + cos$^3$x.(1 + tanx) = sinx + cosx.
b. sin3x – 2sin$^3$3x + cos2x.sinx = cos5x.sin4x.

Giải​

a. Ta có:
VT = sin$^2$x.(sinx + cosx) + cos$^2$x.(cosx + sinx)
= (sin$^2$x + cos$^2$x)(cosx + sinx) = sinx + cosx, đpcm.

b. Ta có:
VT = sin3x – 2sin$^3$3x + $frac{1}{2}$(sin3x – sinx)
= $frac{3}{2}$sin3x – 2sin33x – $frac{1}{2}$sinx = $frac{1}{2}$(3sin3x – 4sin$^3$3x) – $frac{1}{2}$sinx
= $frac{1}{2}$sin9x – $frac{1}{2}$sinx = $frac{1}{2}$(sin9x – sinx) = cos5x.sin4x, đpcm.
Chú ý: Ví dụ tiếp theo chúng ta sử dụng một đẳng thức luôn đúng để suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Thí dụ 4. Cho x + y + z = π, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz.

Giải​

Từ giả thiết x + y + z = π ⇔ x + y = π – z ⇒ tan(x + y) = tan(π – z)
⇔ $frac{{tan x + tan y}}{{1 – tan x.tan y}}$ = – tanz ⇔ tanx + tany = – tanz + tanx.tany.tanz
⇔ tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz.

Nhận xét: Thí dụ trên được trình với mục đích để các em học sinh tiếp cận với bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác có điều kiện và nó được thực hiện bằng việc xuất phát từ biểu thức điều kiện để suy ra đẳng thức cần chứng minh, tuy nhiên đây không phải là đường lối chung cho mọi dạng toán như vậy.

Thí dụ 5. Cho sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y ≠ kπ, k ∈ $mathbb{Z}$. Chứng minh rằng: tan$frac{x}{2}$.tan$frac{y}{2}$ = $frac{1}{3}$.

Giải​

Từ giả thiết:
sinx + siny = 2sin(x + y) ⇔ 2sin$frac{{x + y}}{2}$.cos$frac{{x – y}}{2}$ = 4sin$frac{{x + y}}{2}$.cos$frac{{x + y}}{2}$
$mathop Leftrightarrow limits^{x + y ne kpi ,,k in mathbb{Z}} $cos$frac{{x – y}}{2}$ = 2cos$frac{{x + y}}{2}$
⇔ cos$frac{x}{2}$.cos$frac{y}{2}$ + sin$frac{x}{2}$.sin$frac{y}{2}$ = 2(cos$frac{x}{2}$.cos$frac{y}{2}$ – sin$frac{x}{2}$.sin$frac{y}{2}$)
⇔ 3sin$frac{x}{2}$.sin$frac{y}{2}$ = cos$frac{x}{2}$.cos$frac{y}{2}$ ⇔ tan$frac{x}{2}$.tan$frac{y}{2}$ = $frac{1}{3}$, đpcm.

Thí dụ 6. Cho tanx, tany là nghiệm của phương trình at$^2$ + bt + c = 0. (1)
Chứng minh rằng: a.sin$^2$(x + y) + b.sin(x + y).cos(x + y) + c.cos2(x + y) = c. (2)

Giải​

Vì tanx, tany là nghiệm của phương trình (1), ta được:
$left{ begin{array}{l}tan x + tan y = – frac{b}{a}\tan x.tan y = frac{c}{a}end{array} right.$. (I)
Biến đổi (2) về dạng: [a.sin(x + y) + b.cos(x + y)]sin(x + y) = c[1 – cos$^2$(x + y)] = c.sin$^2$(x + y)
⇔ a.sin(x + y) + b.cos(x + y) = c.sin(x + y) ⇔ b.cos(x + y) = (c – a).sin(x + y)
⇔ $frac{b}{{c – a}}$ = tan(x + y) = $frac{{tan x + tan y}}{{1 – tan x.tan y}}$ = $frac{{ – frac{b}{a}}}{{1 – frac{c}{a}}}$ = $frac{b}{{c – a}}$, luôn đúng.

 

Sửa lần cuối: 9/11/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button