Kiến thức

Dạng 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

24/7/18

#1

Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng ta làm như sau

khoang-cach-tu-mot-duong-thang-toi-mat-phang-png.1179

Trường hợp 1: Khi $left[ begin{array}{l} a cap left( P right)\ a subset ,left( P right) end{array} right.,,, Rightarrow dleft( {a,,,left( P right)} right) = 0$
Trường hợp 2: Khi $a,//left( P right) Rightarrow dleft( {a,,,left( P right)} right) = dleft( {A,,,left( P right)} right)$ với $A in left( P right)$.

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA bot left( {ABCD} right)$, đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $left( {SAD} right)$.
A. $frac{{asqrt 2 }}{2}$.
B. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.
C. $frac{a}{2}$.
D. $frac{a}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-1-png.1136

Chọn C
Ta có: Vì IJ// AD nên IJ// $left( {SAD} right)$$ Rightarrow dleft( {IJ;left( {SAD} right)} right) = dleft( {I;left( {SAD} right)} right) = IA = frac{a}{2}$.

Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở AvàD, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với $left( {ABCD} right)$ lấy điểm Svới $SD = asqrt 2 $. Tính khỏang cách giữa đường thẳng $DC$ và $left( {SAB} right)$.
A. $frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$.
B. $frac{a}{{sqrt 2 }}$.
C. $asqrt 2 $.
D. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-2-png.1137

Chọn A
Vì $DC$// ABnên $DC$// $left( {SAB} right)$
$ Rightarrow dleft( {DC;left( {SAB} right)} right) = dleft( {D;left( {SAB} right)} right)$.
Kẻ $DH bot SA$, do $AB bot AD$, $AB bot SA$nên $AB bot left( {SAD} right) Rightarrow DH bot AB$ suy ra $dleft( {D;SC} right) = DH$.
Trong tam giác vuông $SAD$ta có:
$frac{1}{{D{H^2}}} = frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{A{D^2}}}$$ Rightarrow DH = frac{{SA.AD}}{{sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$.

Câu 3: Cho hình chóp $O.ABC$ có đường cao $OH = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$. Gọi Mvà $N$lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $left( {ABC} right)$ bằng:
A. $frac{a}{2}$.
B. $frac{{asqrt 2 }}{2}$.
C. $frac{a}{3}$.
D. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-3-png.1138

Chọn D
Vì Mvà $N$lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$nên MN// AB MN// $left( {ABC} right)$.
Ta có: $dleft( {MN;left( {ABC} right)} right) = dleft( {M;left( {ABC} right)} right) = frac{1}{2}OH = frac{{asqrt 3 }}{3}$ (vì M là trung điểm của OA).

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD{rm{ c’o }}AB = SA = 2a.$ Khoảng cách từ đường thẳng AB đến $left( {SCD} right)$ bằng bao nhiêu?
A. $frac{{asqrt 6 }}{2}.$
B. $frac{{asqrt 6 }}{3}.$
C. $frac{a}{2}.$
D. a.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-4-png.1139

Gọi $I,M$ lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì $CD bot (SIM)$
Vẽ $IH bot SM$ tại $H in SM$thì $IH bot (SCD)$
$ Rightarrow dleft( {AB,(SCD)} right) = dleft( {I,(SCD)} right) = IH = frac{{SO.IM}}{{SM}}$
$Delta SAB$ đều cạnh $2a Rightarrow SI = asqrt 3 Rightarrow SM = asqrt 3 $
Và $OM = frac{1}{2}IM = a Rightarrow SO = sqrt {S{M^2} – O{M^2}} = asqrt 2 $
Cuối cùng $dleft( {AB,(SCD)} right) = frac{{SO.IM}}{{SM}} = frac{{asqrt 2 .2a}}{{asqrt 3 }} = frac{{2asqrt 6 }}{3}$
Chọn B

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có $SA bot left( {{rm{ }}ABCD} right)$, đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và$CB$. Tính khỏang cách giữa đường thẳng IJ và $left( {{rm{ }}SAD} right).$
A. $frac{{asqrt 2 }}{2}$
B. $frac{a}{2}$
C. $frac{{asqrt 3 }}{3}$
D. $frac{a}{3}$

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-5-png.1140

$begin{array}{l}{rm{IJ}}//AD Rightarrow {rm{IJ}}//(SAD)\ Rightarrow dleft( {{rm{IJ,}}(SAD)} right) = dleft( {I,(SAD)} right) = IA = frac{a}{2}.end{array}$
Chọn B

Câu 6: Cho hình chóp $O.ABC$ có đường cao $OH = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$. Gọi M và $N$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và $left( {ABC} right)$.
A. $frac{{asqrt 3 }}{3}.$
B. $frac{{asqrt 2 }}{2}.$
C. $frac{a}{2}.$
D. $frac{a}{3}.$

Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $left( {ABC} right)$:
$dleft( {MN,left( {ABC} right)} right) = dleft( {left( {MNP} right),left( {ABC} right)} right) = frac{{OH}}{2} = frac{{asqrt 3 }}{3}.$

Câu 7: Cho hình chóp $O.ABC$ có đường cao $OH = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$. Gọi lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB.$ Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $left( {ABC} right)$ bằng
A. $frac{a}{2}$.
B. $frac{{asqrt 2 }}{2}$.
C. $frac{a}{3}$.
D. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-7-png.1141

Do $MN{rm{//}}left( {ABC} right) Rightarrow dleft( {MN,left( {ABC} right)} right) = dleft( {M,left( {ABC} right)} right)$
Lại có $begin{array}{l}frac{{OA}}{{MA}} = frac{{dleft( {O,left( {ABC} right)} right)}}{{dleft( {M,left( {ABC} right)} right)}} = 2 Rightarrow dleft( {M,left( {ABC} right)} right)\ = frac{1}{2}dleft( {O,left( {ABC} right)} right) = frac{{OH}}{2} = frac{{asqrt 3 }}{3}end{array}$
Chọn ${bf{D}}$.
Chọn A

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có $SA bot left( {{rm{ }}ABCD} right),$ mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và $CD.$ Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $left( {SAD} right).$
A. $frac{{asqrt 2 }}{2}$.
B. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.
C. $frac{a}{2}$.
D. $frac{a}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-8-png.1142

$SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot AI$.
Lại có $AI bot AD$( hình thang vuông) suy ra $IA bot left( {SAD} right)$
$IJparallel AD$ theo tính chất hình thang, nên
$dleft( {IJ,left( {SAD} right)} right) = dleft( {I,left( {SAD} right)} right) = IA = frac{a}{2}$

Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở $A{rm{ v`a }}D,{rm{ }}AD = 2a.$ Trên đường thẳng vuông góc với $left( {ABCD} right)$ tại D lấy điểm S với $SD = asqrt 2 .$ Tính khoảng cách giữa $DC$ và $left( {SAB} right).$
A. $frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$.
B. $frac{a}{{sqrt 2 }}$.
C. $asqrt 2 $.
D. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-9-png.1143

*Trong tam giác $DHA$, dựng $DH bot SA$;
*Vì $DC//AB Rightarrow dleft( {DC;left( {SAB} right)} right) = dleft( {D;left( {SAB} right)} right) = DH$
Xét tam giác vuông $SDA$có :
$frac{1}{{D{H^2}}} = frac{1}{{S{D^2}}} + frac{1}{{A{D^2}}} Rightarrow DH = frac{{asqrt {12} }}{3} = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$
Chọn A

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(SCD)$ bằng
A. $frac{{asqrt 6 }}{2}$.
B. $frac{{asqrt 6 }}{4}$.
C. $frac{{2asqrt 6 }}{9}$.
D. $frac{{asqrt 6 }}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-10-png.1144

Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Khi đó $SO bot left( {ABCD} right)$.
Kẻ $OI bot CD,,OH bot SI Rightarrow OH bot left( {SCD} right)$
Ta tính được $AO = frac{{asqrt 2 }}{2},,,SO = sqrt {S{A^2} – A{O^2}} = frac{{asqrt 2 }}{2}$
$OI = frac{{AD}}{2} = frac{a}{2}$
$frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{S{O^2}}} + frac{1}{{O{I^2}}} Rightarrow OH = frac{{asqrt 6 }}{6}$ $ Rightarrow dleft( {A,left( {SCD} right)} right) = frac{{asqrt 6 }}{3}$.
Chọn D.

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB’D’) bằng
A. $frac{{asqrt 2 }}{2}$.
B. $frac{{2asqrt 3 }}{3}$.
C. $frac{{asqrt 3 }}{3}$.
D. $frac{{asqrt 6 }}{3}$.

khoang-cach-giua-duong-thang-va-mat-phang-song-song-_-11-png.1145

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
$Aleft( {0;0;0} right);,Bleft( {1;0;0} right);,Dleft( {0;1;0} right);,A’left( {0;0;1} right)$
$Cleft( {1;1;0} right);,B’left( {1;0;1} right);,D’left( {0;1;1} right);,C’left( {1;1;1} right)$
$overrightarrow {CB’} = left( {0; – 1;1} right);,overrightarrow {CD’} = left( { – 1;0;1} right)$
Viết phương trình mặt phẳng $left( {CB’D’} right)$
Có VTPT $overrightarrow n = left[ {overrightarrow {CB’} ;overrightarrow {CD’} } right] = left( { – 1; – 1; – 1} right)$
$left( {CB’D’} right):1left( {x – 1} right) + 1left( {y – 1} right) + 1left( {z – 0} right) = 0 Leftrightarrow x + y + z – 2 = 0$$dleft( {BD;left( {CB’D’} right)} right) = dleft( {B;left( {CB’D’} right)} right) = frac{{left| {1 + 0 + 0 – 2} right|}}{{sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = frac{1}{{sqrt 3 }} = frac{{sqrt 3 }}{3}$
Vậy $dleft( {BD;left( {CB’D’} right)} right) = frac{{asqrt 3 }}{3}$.

✅ Bản đầy đủ các dạng

vecto trong không gian

 

Sửa lần cuối: 28/4/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button