Kiến thức

Dạng 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Bạn đang xem: Dạng 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

26/7/18

26/7/18

#1

Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

  • Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x∈D => -x∈D), ta thực hiện tiếp bước 2.
  • Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là ∃x∈D mà -x∉D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định f(-x) , khi đó:

  • Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
  • Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
  • Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Thí dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = f(x) = $frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}}$.
b. y = f(x) = $frac{{{x^4} + 3{x^2} – 1}}{{{x^2} – 4}}$.
c. y = f(x) = $frac{{{x^2} – 1}}{x}$.
d. y = f(x) = |x|$^3$(x$^2$ – 1).

Học Lớp hướng dẫn giải

a. Vì tập xác định D = $mathbb{R}${1} không phải là tập đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ.
b. Tập xác định D = $mathbb{R}${±2} – là tập đối xứng.
Xét: f(–x) = $frac{{{{( – x)}^4} + 3{{( – x)}^2} – 1}}{{{{( – x)}^2} – 4}}$ = $frac{{{x^4} + 3{x^2} – 1}}{{{x^2} – 4}}$ = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
c. Tập xác định D = $mathbb{R}${0} – là tập đối xứng. Xét: f(–x) = $frac{{{{( – x)}^2} – 1}}{{ – x}}$ = –$frac{{{x^2} – 1}}{x}$ = –f(x)
Vậy, hàm số lẻ.
d. Tập xác định D = $mathbb{R}$ – là tập đối xứng. Xét: f(–x) = |–x|$^3$[(–x)$^2$ – 1] = |x|$^3$(x$^2$ – 1) = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.

Thí dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. $y = f(x) = sqrt {1 – x} + sqrt {1 + x} .$.
b. y = f(x) = $sqrt[3]{{2x – 3}}$ – $sqrt[3]{{2x + 3}}$

Học Lớp hướng dẫn giải

a. Tập xác định D = [-1; 1] – là tập đối xứng. Xét: f(–x) = $sqrt {1 – ( – x)} $ + $sqrt {1 + ( – x)} $ = $sqrt {1 + x} $ + $sqrt {1 – x} $ = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
b. Hàm số xác định trên D = $mathbb{R}$ là tập đối xứng. Ta có:
f(-x) = $sqrt[3]{{2( – x) – 3}}$ – $sqrt[3]{{2( – x) + 3}}$ = – $sqrt[3]{{2x + 3}}$Z + $sqrt[3]{{2x – 3}}$ = f(x).
Vậy, hàm số là chẵn.

Thí dụ 3. Xác định m để hàm số y = f(x) = x$^3$ + (m$^2$ – 1)x$^2$ + m – 1 là hàm lẻ.

Học Lớp hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên D = $mathbb{R}$ là tập đối xứng.
Khi đó, để hàm số là lẻ điều kiện là: f(–x) = –f(x), ∀m
<=> $left{ begin{array}{l}{m^2} – 1 = 0\m – 1 = 0end{array} right.$
<=> m = 1.
Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đề bài.
Chú ý: Với hàm đa thức bậc n dạng: y = f(x) = $sumlimits_{i = 0}^n {{a_i}{x^i}} $ thì:

  • Nếu các hệ số bậc lẻ bằng 0 thì hàm số là hàm chẵn.
  • Nếu các hệ số bậc chẵn bằng 0 thì hàm số là hàm lẻ.
  • Nếu tồn tại ít nhất một hệ số bậc chẵn và một hệ số bậc lẻ khác 0 thì hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Thí dụ 4. Cho hàm số y = f(x) = $frac{1}{{(m + 1){x^2} + mx – 1}}$. Tuỳ theo m hãy xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

Học Lớp hướng dẫn giải

Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được: y = -$frac{1}{{{x^2} – 1}}$.
Hàm số này xác định trên D = $mathbb{R}${-1, 1} là tập đối xứng và có: f(-x) = $frac{1}{{{{( – x)}^2} – 1}}$ = $frac{1}{{{x^2} – 1}}$ = f(x), do đó, nó là hàm chẵn.
Trường hợp 2: Với m = -1, ta được: y = $frac{1}{{x – 1}}$.
Hàm số này xác định trên D = $mathbb{R}${1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn, không lẻ.
Trường hợp 3: Với m ≠ 0 ∧ m ≠ -1.
Khi đó, hàm số g(x) = (m + 1)x$^2$ + mx – 1 không chẵn cũng không lẻ do đó hàm số y = f(x) cũng không chẵn, không lẻ.
Kết luận:

  • Với m = 0, hàm số là chẵn.
  • Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ.

Thí dụ 5. Cho a, b ∈ $mathbb{R}$, xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f(a – x) + f(x) = b, với ∀x ∈ $mathbb{R}$. (1)

Học Lớp hướng dẫn giải

Đặt t = $frac{a}{2}$ – x suy ra x = $frac{a}{2}$ – t và a – x = $frac{a}{2}$ + t. Khi đó:
(1) <=> f($frac{a}{2}$ + t) + f($frac{a}{2}$ – t) = b, ∀t ∈ $mathbb{R}$
<=> f($frac{a}{2}$ + t) – $frac{b}{2}$Z + f($frac{a}{2}$ – t) – $frac{b}{2}$Z = 0, ∀t ∈ $mathbb{R}$. (2)
Đặt g(t) = f($frac{a}{2}$ + t) – $frac{b}{2}$Z, suy ra g( – t) = f($frac{a}{2}$ – t) – $frac{b}{2}$Z. Khi đó:
(2) <=> g(t) + g( – t) = 0, ∀t∈R <=> g(-t) = – g(t), ∀t ∈ $mathbb{R}$
=> g(t) là hàm lẻ trên $mathbb{R}$.
Vậy hàm số f(x) = g(x – $frac{a}{2}$Z) + $frac{b}{2}$ với g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên $mathbb{R}$.

Xem thêm:

  • Dạng 4: Sơ lược về phép tịnh tiến

    newicon_vi-gif.2787

  • Dạng 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số

  • Dạng 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

  • Dạng 7: Tìm phương trình đường cong đối xứng

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button