Kiến thức

Dạng 4: Dấu tam thức trên một miền-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Bạn đang xem: Dạng 4: Dấu tam thức trên một miền-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

1/8/18

1/8/18

#1

Phương pháp áp dụng
Cho tam thức: f(x) = ax$^2$ + bx + c, với a ≠ 0
chúng ta có các kết quả sau:

  1. f(x) > 0, với $forall x in mathbb{R}$ ⇔ $left{ begin{array}{l}a > 0\Delta < 0end{array} right.$; f(x) < 0, với $forall x in mathbb{R}$ ⇔ $left{ begin{array}{l}a < 0\Delta < 0end{array} right.$.
  2. Trong trường hợp Δ > 0 (tức phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2) thì:
  • a.f(α) < 0 ⇔ α ∈ (x$_1$; x$_2$).
  • a.f(α) > 0 ⇔ $left[ begin{array}{l}alpha < {x_1}\alpha > {x_2}end{array} right.$, tức là $left[ begin{array}{l}alpha < {x_1} < {x_2}\{x_1} < {x_2} < alpha end{array} right.$.

Thí dụ 1. Cho tam thức: f(x) = x$^2$ – (m + 2)x + 8m + 1.
Xác định m để:
a. f(x) > 0 với $forall x in mathbb{R}$.
b. f(x) ≤ 0 trên một đoạn có độ dài bằng $sqrt 3 $.
c. f(x) < 0 trên khoảng (0; 2).

Giải

a. Để f(x) ≥ 0 với $forall x in mathbb{R}$ điều kiện là: $left{ begin{array}{l}a > 0\Delta < 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}1 > 0\{(m + 2)^2} – 8m – 1 < 0end{array} right.$⇔ m$^2$ – 4m + 3 < 0 ⇔ 1 < m < 3.
Vậy, với 1 < m < 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Để f(x) ≤ 0 trên một đoạn có độ dài bằng $sqrt 3 $ điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn |x1 – x2| = $sqrt 3 $, tức là:
$left{ begin{array}{l}Delta > 0\left| {frac{{sqrt Delta }}{a}} right| = sqrt 3 end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}Delta > 0\sqrt Delta = sqrt 3 end{array} right.$ ⇔ Δ = 3 ⇔ m2 – 4m + 3 = 3 ⇔ m = 0 hoặc m = 4.
Vậy, với m = 0 hoặc m = 4 thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Để f(x) < 0 trên khoảng (0; 2) điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn ${x_1} < 0 < 2 < {x_2}$, tức là:
$left{ begin{array}{l}a.f(0) < 0\a.fleft( 2 right) < 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}8m + 1 < 0\6m + 1 < 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,m > – frac{1}{8}.$
Vậy, với $m > – frac{1}{8}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Nhận xét: Với các yêu cầu trong thí dụ trên, ta có phát biểu khác như sau:
a. Câu a) được chuyển thành:

  • “Tìm m để bất phương trình x$^2$ – (m + 2)x + 8m + 1 > 0 nghiệm đúng với mọi x”.
  • “Tìm m để bất phương trình x$^2$ – (m + 2)x + 8m + 1 ≤ 0 vô nghiệm”.

b. Câu b) được chuyển thành: “Tìm m để bất phương trình x$^2$ – (m + 2)x + 8m + 1 ≤ 0 có tập nghiệm T có độ dài bằng $sqrt 3 $”.
c. Câu c) được chuyển thành “Tìm các giá trị của m để bất phương trình x$^2$ – (m + 2)x + 8m + 1 < 0 nghiệm đúng với mọi x∈(0; 2)”.

Thí dụ 2. Cho tam thức: f(x) = -x$^2$ + 4(m + 1)x + 1 – m$^2$.
Xác định m để:
a. f(x) ≤ 0 với $forall x in mathbb{R}$.
b. f(x) > 0 trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. f(x) > 0 trên khoảng (0; 1).

Giải

a. Để f(x) ≤ 0 với $forall x in mathbb{R}$ điều kiện là: $left{ begin{array}{l}a < 0\Delta ‘ le 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l} – 1 < 0\4{(m + 1)^2} – 1 + {m^2} < 0end{array} right.$⇔ 5m$^2$ + 8m + 3 < 0 $ Leftrightarrow ,, – 1 le m le – frac{3}{5}.$
Vậy, với $ – 1 le m le – frac{3}{5}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Để f(x) > 0 trên một đoạn có độ dài bằng 4 điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn |x1 – x2| = 4, tức là:
$left{ begin{array}{l}Delta ‘ > 0\left| {frac{{sqrt Delta }}{a}} right| = 4end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}Delta > 0\sqrt Delta = 4end{array} right.$ ⇔ Δ = 3 ⇔ 5m2 + 8m + 3 = 16 ⇔ m = 1 hoặc m = -$frac{{13}}{5}$.
Vậy, với m = 1 hoặc m = -$frac{{13}}{5}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Để f(x) > 0 trên khoảng (0; 1) điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn ${x_1} < 0 < 1 < {x_2}$, tức là:
$left{ begin{array}{l}a.f(0) < 0\a.fleft( 1 right) < 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l} – 1left( {1 – {m^2}} right) < 0\ – 1left( { – 1 + 4m + 4 + 1 – {m^2}} right) < 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}{m^2} – 1 < 0\{m^2} – 4m – 4 < 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow ,,2 – 2sqrt 2 < m < 1.$
Vậy, với $2 – 2sqrt 2 < m < 1$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: (m + 2)x$^2$ – 2mx – m + 2 < 0. (1)

Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Xét ba trường hợp:

  • Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇔ m = -2, ta được: (1) ⇔ 4x + 4 < 0 ⇔ x < – 1. Bất phương trình có nghiệm.
  • Trường hợp 2: Với m + 2 < 0 ⇔ m < -2. Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm (vì lúc đó tam thức ở vế trái luôn âm hoặc chỉ dương trên một khoảng hữu hạn).
  • Trường hợp 3: Với m + 2 > 0 ⇔ m > -2. (*)

Khi đó, để bất phương trình đã cho có nghiệm thì tam thức ở vế trái phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ m2 – 2 > 0 ⇔ |m| > $sqrt 2 $$mathop Leftrightarrow limits^{(*)} $ $left[ begin{array}{l}m > sqrt 2 \ – 2 < m < – sqrt 2 end{array} right.$.
Vậy, với |m| > $sqrt 2 $ thì bất phương trình có nghiệm.

Cách 2: Ta đi xét bài toán ngược là “Tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm”, tức là tìm điều kiện để: (m + 2)x$^2$ – 2mx – m + 2 ≥ 0 với mọi x. (2)
Xét hai trường hợp:

  • Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇔ m = -2, ta được: (2) ⇔ 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 ⇒ không thoả mãn.
  • Trường hợp 2: Với m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ -2.

Khi đó, để (2) nghiệm đúng với mọi x điều kiện là: $left{ begin{array}{l}a > 0\Delta ‘ le 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}m + 2 > 0\{m^2} + (m – 2)(m + 2) le 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}m + 2 > 0\{m^2} – 2 le 0end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left| m right| le sqrt 2 .$
Vậy, với $left| m right| le sqrt 2 $ thoả mãn (2), từ đó suy ra với |m| > $sqrt 2 $ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng nội dung (2) đã được trình bày trong nội dung của dạng toán này.

Thí dụ 4. Cho phương trình: x$^2$ – 2mx + 4m – 3 = 0. (1)
Xác định các giá trị của m để phương trình có:
a. Hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn x$_1$ < 0 < 2 < x$_2$
b. Đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; 2).
c. Hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2).

Giải

a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn x$_1$ < 0 < 2 < x$_2$ điều kiện là:
$left{ begin{array}{l}a.f(0) < 0\a.f(2) < 0end{array} right.$ ⇔ $left{ begin{array}{l}4m – 3 < 0\1 < 0end{array} right.$, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Phương trình có đúng môt nghiệm thuộc khoảng (0; 2) điều kiện là (1) có: $left[ begin{array}{l} nghiem,kep,thuoc{rm{ (0;}},,{rm{2)}}\ {{rm{x}}_{rm{1}}} le 0 < {x_2} < 2\ {rm{0}},{rm{ < }},{{rm{x}}_{rm{1}}} < 2 le {x_2} end{array} right.$
Ta lần lượt:

  • Để (1) có nghiệm kép thuộc (0; 2) điều kiện là: $left{ begin{array}{l}Delta ‘ = 0\ – frac{b}{{2a}} in (0;,,2)end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}{m^2} – 4m + 3 > 0\0 < m < 2end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m > 3\m < 1end{array} right.\0 < m < 2end{array} right.$ ⇔ 0 < m < 1. (*)
  • Để (1) có nghiệm thoả mãn x$_1$ ≤ 0 < x$_2$ < 2 hoặc 0 < x$_1$ < 2 ≤ x$_2$, suy ra: f(0).f(2) ≤ 0 (4m – 3).1 ≤ 0 ⇔ m ≤ $frac{3}{4}$. (**)

Thử lại: với m = $frac{3}{4}$, phương trình (1) có dạng: 2x$^2$ – 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $frac{3}{2}$ – thoả mãn điều kiện.
Kết hợp (*) và (**) suy ra với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) điều kiện là: 0 < x1 < x2 < 2 ⇔ $left{ begin{array}{l}Delta ‘ > 0\af(0) > 0\af(2) > 0\0 < frac{S}{2} < 2end{array} right.$ ⇔ $left{ begin{array}{l}{m^2} – 4m + 3 > 0\4m – 3 > 0\1 > 0\0 < m < 2end{array} right.$⇔ $frac{3}{4}$ < m < 1.
Vậy, với $frac{3}{4}$ < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button