Kiến thức

Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) (tâm I(a, b) bán kính R) thoả mãn điều kiện K.

11/8/18

#1

Phương pháp thực hiện
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

  • Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có phương trình: (d): Ax + By + C = 0.
  • Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, (d)) = R.
  • Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d).

Chú ý: Điều kiện K thường gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước, khi đó:
a. Nếu M(x$_0$, y$_0$)∈(C) (tức là P$_{M/(C)}$ = 0), ta có ngay:
(d): $left{ begin{array}{l}qua,M({x_0},{y_0})\vtpt,overrightarrow {IM} ({x_0} – a,{y_0} – b)end{array} right.$
⇔ (d): (x$_0$ – a)(x – x$_0$) + (y$_0$ – b)(y – y$_0$) = 0
⇔ (d): (x$_0$ – a)(x – a) + (y$_0$ – b)(y – b) = R$^2$ – Phân đôi toạ độ.

b. Nếu M(x$_0$, y$_0$) ∉ (C) (tức là P$_{M/(C)}$ ≠ 0), ta giả sử: (d): A(x – x$_0$) + B(y – y$_0$) = 0 ⇔ (d): Ax + By – Ax$_0$ – By$_0$ = 0

2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Ax + By + D = 0.

3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Bx – Ay + D = 0.

4. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó: (d): y = kx + m ⇔ (d): kx – y + m = 0.

5. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (Δ) một góc α, khi đó ta linh hoạt sử dụng một trong hai công thức:
cosα = $frac{{|vec a.vec b|}}{{|vec a|.|vec b|}}$, với $vec a$, $vec b$ theo thứ tự là vtcp của (d), (Δ).
tgα = $left| {frac{{{k_1} – {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} right|$, với k1, k2 theo thứ tự là hsg của (d), (Δ)

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải.
Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử điểm M(x$_0$, y$_0$) là tiếp điểm, khi đó:
Phương trình tiếp tuyến có dạng: x.x$_0$ + y.y$_0$ – a(x + x$_0$) – b(y + y$_0$) + c = 0. (1)
(hoặc (x – a) (x$_0$ – a) + (y – b)(y$_0$ – b) = R2 ).
Điểm M∈(C) ⇔ $x_0^2 + y_0^2$ – 2ax$_0$ – 2by$_0$ + c = 0 (2)
(hoặc (x$_0$ – a)$^2$ + (y$_0$ – b)$^2$ = R$^2$

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phương trình theo x$_0$, y$_0$ (3)

Bước 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M(x$_0$, y$_0$), từ đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Thí dụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua M, biết:
a. (C): (x – 3)$^2$ + (y – 1)$^2$ = 5 và M(2, 3).
b. (C): x$^2$ + y$^2$ – 2x – 8y – 8 = 0 và M(-4, -6).

Giải

a. Nhận xét rằng: ${P_{M/(C)}}$ = 0 ⇔ M ∈ (C).
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M có dạng: (d): (x – 3)(2 – 3) + (y – 1)(3 – 1) = 9 ⇔ (d): x – 2y + 8 = 0.

b. Nhận xét rằng: ${P_{M/(C)}}$>0 ⇔ M ở ngoài (C).
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(1, 4), bán kính R = 5. Đường thẳng (d) đi qua M có phương trình: (d): A(x + 4) + B(y + 6) = 0 ⇔ (d): Ax + By + 4A + 6B = 0.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)
⇔ d(I, (d)) = R ⇔ $frac{{|A + 4B + 4A + 6B|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$ = 5
⇔ |A + 2B| = $sqrt {{A^2} + {B^2}} $⇔ 3B2 + 4AB = 0 ⇔ $left[ begin{array}{l}B = 0\B = – 4A/3end{array} right.$.

  • Với B = 0, ta được tiếp tuyến (d$_1$): A(x + 4) = 0 ⇔ (d$_1$): x + 4 = 0.
  • Với B = -$frac{{4A}}{3}$, ta được tiếp tuyến (d$_2$): A(x + 4) – $frac{{4A}}{3}$(y + 6) = 0 ⇔ (d$_2$): 3x – 4y – 12 = 0.

Vậy qua M kẻ được hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới đường tròn (C).

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x$_0$, y$_0$), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ – (x + x$_0$) – 4(y + y$_0$) – 8 = 0. (1)
Vì M(x$_0$, y$_0$) ∈ (C) nên: (x_0^2 + y_0^2) – 2x$_0$ – 8y$_0$ – 8 = 0. (2)
Điểm A( – 4, – 6)∈(d) ⇔ – 4x$_0$ – 6y$_0$ – ( – 4 + x$_0$) – 4( – 6 + y$_0$) – 8 = 0⇔ x$_0$ + 2y$_0$ – 4 = 0. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được: $left[ begin{array}{l}{x_0} = – 4,,& ,,{y_0} = 4\{x_0} = 4,,& ,,{y_0} = 0end{array} right.$.

  • Với M1( – 4, 4), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_1$): x + 4 = 0.
  • Với M2(4, 0), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_2$): 3x – 4y – 12 = 0.

Chú ý: Như vậy nếu sử dụng cách 2 ta có thể trả lời được các hỏi:

  • a. Qua M kẻ được hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới đường tròn (C).
  • b. Toạ độ các tiếp điểm là M1( – 4, 4), M2(4, 0).

c. Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm được suy ra từ (3), tức là: (M1M2): x + 2y – 4 = 0.

Thí dụ 2. Cho đường thẳng (Δ) và đường tròn (C) có phương trình: (Δ): 3x – 4y + 12 = 0. (C): x$^2$ + y$^2$ – 2x – 6y + 9 = 0.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với (Δ).

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(1, 3), bán kính R = 1.
Ta có hai cách giải sau:
Cách 1: Tiếp tuyến (d)⊥(Δ) có phương trình: (d) : 4x + 3y + c = 0.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, (d)) = R ⇔ $frac{{|4.1 + 3.3 + c|}}{{sqrt {16 + 9} }}$ = 1 ⇔ $left[ begin{array}{l}{c_1} = – 18\{c_2} = – 8end{array} right.$.

  • Với c1 = -18, ta được tiếp tuyến (d$_1$): 4x + 3y – 18 = 0.
  • Với c2 = – 8, ta được tiếp tuyến (d$_2$): 4x + 3y – 8 = 0.

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x$_0$, y$_0$), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ – (x + x$_0$) – 3(y + y$_0$) + 9 = 0
⇔ (d): (x$_0$ – 1)x + (y$_0$ – 3)y – x$_0$ – 3y$_0$ + 9 = 0 (1)
Vì M(x$_0$, y$_0$) ∈ (C)⇔ $x_0^2 + y_0^2$ – 2x$_0$ – 6y$_0$ + 9 = 0. (2)
Đường thẳng (d)⊥(Δ) khi và chỉ khi: 3.(x$_0$ – 1) – 4(y$_0$ – 3) = 0 ⇔ 3x$_0$ – 4y$_0$ + 9 = 0. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được: $left[ begin{array}{l}{x_0} = frac{9}{5},,& ,,{y_0} = frac{{18}}{5}\{x_0} = frac{1}{5},,& ,,{y_0} = frac{{12}}{5}end{array} right.$.

  • Với M1($frac{9}{5}$, $frac{{18}}{5}$), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_1$): 4x + 3y – 18 = 0.
  • Với M2($frac{1}{5}$, $frac{{12}}{5}$), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_2$): 4x + 3y – 8 = 0.

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài.

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button