Kiến thức

Dạng 4: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

6/7/18

#1

Phương pháp áp dụng
Để tính đạo hàm của hàm số: y = f(x)trên khoảng (a, b), bằng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính Δy = f(x + Δx) – f(x).
Bước 2: Lập tỉ số $frac{{Delta y}}{{Delta x}}$.
Bước 3: Tìm $mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{Delta y}}{{Delta x}}$.
* Chú ý:
1. Cần lưu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi như cố định còn Δx thì tiến tới 0.
2. Nếu khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b], ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trong khoảng (a; b)
Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm a.
Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm b.

Thí dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x$_0$ (a là hằng số):
a. y = ax + 3.
b. y = $frac{1}{2}$ax$^2$.

Giải​

a. Ta có: y'(x$_0$) = $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ = $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{ax + 3 – a{x_0} – 2}}{{x – {x_0}}}$ = $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} a$ = a.
b. Ta có:
y'(x$_0$) = $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}$ = $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{frac{1}{2}a{x^2} – frac{1}{2}ax_0^2}}{{x – {x_0}}}$ = $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{1}{2}a(x + {x_0})$ = ax$_0$.

Thí dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a. y = $frac{1}{{2x – 1}}$ với x ≠ $frac{1}{2}$.
b. y = $sqrt {3 – x} $ với x < 3.

Giải​

a. Ta có:
y’ =$mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$frac{{Delta y}}{{Delta x}}$ = $mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$frac{{frac{1}{{2(x + Delta x) – 1}} – frac{1}{{2x – 1}}}}{{Delta x}}$
= $mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$frac{{ – 2}}{{[2(x + Delta x) – 1](2x – 1)}}$ = -$frac{2}{{{{(2x – 1)}^2}}}$.
b. Ta có:
y’ =$mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$frac{{Delta y}}{{Delta x}}$ = $mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$frac{{sqrt {3 – (x + Delta x)} – sqrt {3 – x} }}{{Delta x}}$
= -$mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$frac{1}{{sqrt {3 – (x + Delta x)} + sqrt {3 – x} }}$ = -$frac{1}{{2sqrt {3 – x} }}$.

Thí dụ 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos2x.

Giải​

Cho x một số gia Δx, ta có: Δy = f(x + Δx) – f(x) = cos2(x + Δx) – cos2x
=> $frac{{Delta y}}{{Delta x}}$ = $frac{{cos 2(x + Delta x) – cos 2x}}{{Delta x}}$ = -$frac{{2sin (2x + Delta x).sin Delta x}}{{Delta x}}$.
Do đó: $mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{Delta y}}{{Delta x}}$ = $mathop {lim }limits_{Delta x to 0} $$left[ { – 2sin (2x + Delta x).frac{{sin Delta x}}{{Delta x}}} right]$ = – 2sin2x.
Vậy, ta được f ‘(x) = – 2sin2x.

Thí dụ 4: Cho hàm số: f(x) = $left{ begin{array}{l}{x^2}sin frac{1}{x},,,,,khi,,x ne 0\0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,khi,,x = 0end{array} right.$.
a. Tính đạo hàm của f tại mỗi x∈(mathbb{R}).
b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f’ không liên tục tại x$_0$ = 0.

Giải​

a. Ta xét hai trường hợp:
* Với x ≠ 0, ta có f ‘(x) = 2xsin$frac{1}{x}$ – cos$frac{1}{x}$.
* Với x = 0, ta có:
f ‘(0) = $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}$ = $mathop {lim }limits_{x to 0} $x.sin$frac{1}{x}$.
Ta có:
– Với mọi x ≠ 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: |xsin$frac{1}{x}$| ≤ |x| <=> – |x| ≤ xsin$frac{1}{x}$ ≤ |x|.
– Mặt khác $mathop {lim }limits_{x to 0} $( – |x|) = $mathop {lim }limits_{x to 0} $|x| = 0.
Suy ra: $mathop {lim }limits_{x to 0} x.sin frac{1}{x}$ = 0 => f'(0) = 0.
Vậy, ta được: f ‘(x) = $left{ begin{array}{l}2xsin frac{1}{x} – cos frac{1}{x},,,,,khi,,x ne 0\0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,khi,,x = 0end{array} right.$.

b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f’ không liên tục tại x$_0$ = 0.
Đặt g(x) = 2x.sin$frac{1}{x}$ – cos$frac{1}{x}$.
Chọn hai dãy số {x$_n$} và {y$_n$} với:
* x$_n$ = $frac{1}{{2npi }}$ => x$_n$→ 0 khi n→ ∞ và ta được: g(x$_n$) = 2x$_n$.sin$frac{1}{{{x_n}}}$ – cos$frac{1}{{{x_n}}}$ khi →- 1.
* y$_n$ = $frac{1}{{pi + 2npi }}$=> y$_n$→ 0 khi n→ ∞ và ta được: f(y$_n$) = 2y$_n$.sin$frac{1}{{{y_n}}}$ – cos$frac{1}{{{y_n}}}$ → 1.
Tức $mathop {lim }limits_{x to 0} $g(x) không tồn tại. Suy ra: f ‘(x) không có giới hạn khi x→0 => f ‘ không liên tục tại x$_0$ = 0.

Nguồn:

7scv.com

 

Sửa lần cuối: 23/4/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button