Kiến thức

Dạng 4: ứng dụng của định lí Vi-ét nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

27/7/18

#1

Phương pháp áp dụng
Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng ” Chỉ thực hiện nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai trong trường hợp nó có nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên còn một nghiệm hữu tỉ “.
Để làm rõ được ý tưởng chủ đạo của phương pháp này, chúng ta bắt đầu lại bằng thí dụ với phương trình: x$^2$ – x – 12 = 0.

  • Ta có: $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\{x_1}.{x_2} = – 12 = – 3.4end{array} right.$
  • ở đó: -12 = -1.12 = 1.(-12) = -2.6 = 2.(-6) = -3.4 = 3.(-4)
  • trong các cặp số trên, ta chọn được cặp (-3, 4) vì -3 + 4 = 1 = x$_1$ + x$_2$.
  • Từ đánh giá đó, suy ra phương trình có hai nghiệm x1 = -3 và x2 = 4.

Như vậy, để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình: x$^2$ + bx + c = 0 ta thực hiện theo các bước:

  • Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét cho các nghiệm x1 và x2: $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – b\{x_1}.{x_2} = cend{array} right.$.
  • Bước 2: Thực hiện phép phân tích c thành tích của hai thừa số c = m.n.

Với mỗi cặp thừa số phân tích được, ta tính ngay m + n, khi đó:
a. Nếu m + n = -b, chuyển sang bước 3.
b. Nếu m + n ≠ -b, thực hiện lại bước 2.

  • Bước 3: Vậy, phương trình có hai nghiệm là x1 = m và x2 = n.

* Nhận xét:
1. Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

  • Nếu tìm được một cặp (m, n) thoả mãn điều kiện m + n = -b thì dừng lại phép thử và đưa ra lời kết luận.
  • Nếu các cặp (m, n) đều không thoả mãn thì dừng và trong trường hợp này được hiểu là không nhẩm được nghiệm.

2. Chúng ta đã biết hai trường hợp đặc biệt của phương trình ax$^2$ + bx + c = 0 là:

  • Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = $frac{c}{a}$.
  • Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = -$frac{c}{a}$.

Thí dụ. Trình bày cách nhẩm nghiệm cho các phương trình sau:
a. -x$^2$ – 13x + 48 = 0.
b. 3x$^2$ + 3x – 18 = 0.
c. $frac{1}{4}$x$^2$ – 2x + 3 = 0.

Giải

a. Viết lại phương trình dưới dạng: x$^2$ + 13x – 48 = 0.
Khi đó: $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 13\{x_1}.{x_2} = – 48 = 3.( – 16)end{array} right.$ mà 3 + (-16) = -13.
Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = -16.

b. Viết lại phương trình dưới dạng: x$^2$ + x – 6 = 0.
Khi đó: $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 1\{x_1}.{x_2} = – 6 = 2.( – 3)end{array} right.$ mà 2 + (-3) = -1.
Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = -3.

c. Viết lại phương trình dưới dạng: x$^2$ – 8x + 12 = 0.
Khi đó: $left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 8\{x_1}.{x_2} = 12 = 2.6)end{array} right.$ mà 2 + 6 = 8.
Vậy, phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = 6.

* Nhận xét: Thí dụ trên, được nêu ra với mục đích khuyên cách em học sinh hãy thực hiện việc chuyển đổi phương trình ban đầu về dạng đơn giản nhất trước khi thực hiện công việc nhẩm nghiệm để tránh được những sai sót không đáng có.

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button