Kiến thức

Dạng 4: Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

30/7/18

#1

Dạng 1: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình tổng quát: (d1):A$_1$x + B$_1$y + C$_1$ = 0; (d2): A$_2$x + B$_2$y + C$_2$ = 0.
Tuỳ theo giá trị của tham số hãy xác định vị trí tương đối của (d1), (d2), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) là: $left{ begin{array}{l}{A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0\{A_2}x + {B_2}y + {C_2} = 0end{array} right.$
<=>$left{ begin{array}{l}{A_1}x + {B_1}y = – {C_1}\{A_2}x + {B_2}y = – {C_2}end{array} right.$. (I)
Bước 2: Bằng việc biện luận (I) ta có được vị trí tương đối của (d1) và (d2), cụ thể:

  • Nếu (I) vô nghiệm <=> (d1) // (d2).
  • Nếu (I) có nghiệm duy nhất <=> (d1)∩ (d2) = {M($frac{{{D_x}}}{D}$, $frac{{{D_y}}}{D}$)}.
  • Nếu (I) có vô số nghiệm <=> (d1) ≡ (d2).

Thí dụ 1. Cho a$^2$ + b$^2$ > 0 và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:
(d1): ax + by = a + b; (d2): bx + ay = a-b.
a. Xác định giao điểm của (d1) và (d2).
b. Tìm quỹ tích toạ độ giao điểm khi a, b thay đổi.

Giải

a. Xét hệ phương trình tạo bới (d1) và (d2):
$left{ begin{array}{l}ax + by = a + b\bx + ay = a – bend{array} right.$. (I)
Ta có D = a$^2$ – b$^2$; D$_x$ = a$^2$ – 2ab – b$^2$ ; D$_y$ = a$^2$ + b$^2$.
Để (d1) và (d2) cắt nhau điều kiện là: Hệ (I) có nghiệm duy nhất <=> D ≠ 0 <=> a$^2$ – b$^2$≠ 0 <=> a ≠ ±b.
Khi đó, giao điểm là I$left( {frac{{{a^2} – 2ab – {b^2}}}{{{a^2} – {b^2}}}} right.$, $left. {frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} – {b^2}}}} right)$.

b. Viết lại hệ (I) dưới dạng:
$left{ begin{array}{l}a(x – 1) = b(1 – y)\a(1 – y) = b(x + 1)end{array} right.$ => $frac{{x – 1}}{{1 – y}} = frac{{1 – y}}{{x + 1}}$ <=> x$^2$ + y$^2$ = 2.
Vậy, quỹ tích giao điểm I khi a, b thay đổi thuộc đường tròn x$^2$ + y$^2$ = 2.

Dạng 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để xét hai phương trình bậc hai có nghiệm chung
Thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bởi 2 phương trình bậc hai: $left{ begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0\{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0end{array} right.$. (I)
  • Bước 2: Đặt x$^2$ = y, ta được hệ: (I) <=> $left{ begin{array}{l}{b_1}x + {a_1}y = {c_1}\{b_2}x + {a_2}y = {c_2}end{array} right.$. (II)
  • Bước 3: Để 2 phương trình có nghiệm chung trước hết (II) phải có nghiệm thoả mãn x$^2$ = y, ta có điều kiện là: $left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}D ne 0\{left( {{D_x}/D} right)^2} = {D_y}/Dend{array} right.\D = {D_x} = {D_y} = 0end{array} right.$.
  • Bước 4: Thử lại.

Thí dụ 1. Với giá trị nào của m thì 2 phương trình sau có nghiệm chung: 2x$^2$ + mx-1 = 0 và mx$^2$-x + 2 = 0.

Giải

Các phương trình đã cho có nghiệm chung <=> khi hệ sau có nghiệm: $left{ begin{array}{l}2{x^2} + mx – 1 = 0\m{x^2} – x + 2 = 0end{array} right.$ .
Đặt x$^2$ = y, ta được hệ: $left{ begin{array}{l}mx + 2y = 1\x – my = 2end{array} right.$.
Ta có D = -m$^2$-2; D$_x$ = -m-4 ; D$_y$ = 2m-1.
Vì D ≠ 0, ∀m, hệ có nghiệm duy nhất x = $frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}$ và y = $frac{{1 – 2m}}{{{m^2} + 2}}$.
Do x$^2$ = y, nên ta phải có: ${left( {frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}} right)^2}$ = $frac{{1 – 2m}}{{{m^2} + 2}}$ <=> m3 + 6m + 7 = 0 <=> m = -1.
Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung là x = 1.

Dạng 3: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai ẩn
Với yêu cầu biện luận giá trị nhỏ nhất của F = (a$_1$x + b$_1$y + c$_1$)2 + ( a2x + b2y + c$_2$)$^2$
Ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Xét hai đường thẳng: (d1): a$_1$x + b$_1$y + c$_1$ = 0 và (d2): a$_2$x + b$_2$y + c$_2$ = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của (d1) và (d2).
  • Bước 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) có dạng: $left{ begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = – {c_1}\{a_2}x + {b_2}y = – {c_2}end{array} right.$. Xác định các giá trị D, D$_x$, D$_y$.
  • Bước 3: Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu D ≠ 0 thì: Hệ có nghiệm duy nhất x = $frac{{{D_x}}}{D}$ và y = $frac{{{D_y}}}{D}$. Khi đó (d1) cắt (d2) do đó minF = 0.
Trường hợp 2: Nếu D = 0, đặt t = a$_1$x + b$_1$y + c$_1$, ta được: F = 2t$^2$ + At + B ≥-$frac{Delta }{4}$.
Vậy min(F) = -$frac{Delta }{4}$, đạt được khi t = -$frac{A}{4}$ => a$_1$x + b$_1$y + c$_1$ = -$frac{A}{4}$.

  • Bước 4: Kết luận:

* Với D ≠ 0, minF = 0, đạt được khi x = $frac{{{D_x}}}{D}$ và y = $frac{{{D_y}}}{D}$.
* Với D = 0, minF =-$frac{Delta }{4}$, đạt được khi x, y thuộc đường thẳng có phương trình a$_1$x + b$_1$y + c$_1$ = -$frac{A}{4}$.

Thí dụ 1. Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau theo tham số a: F = (x + y-2)$^2$ + (x + ay-3)$^2$.

Giải

Xét hai đường thẳng (d1): x + y – 2 = 0 và (d2): x + ay – 3 = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của (d1) và (d2).
Xét hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) có dạng: $left{ begin{array}{l}x + y = 2\x + ay = 3end{array} right.$.
Ta có: D = $left| {begin{array}{*{20}{c}}1&1\1&aend{array}} right|$ = a-1, D$_x$ = $left| {begin{array}{*{20}{c}}2&1\3&aend{array}} right|$ = 2a-3, D$_y$ = $left| {begin{array}{*{20}{c}}1&2\1&3end{array}} right|$ = 1.

a. Nếu D ≠ 0 <=> a-1 ≠ 0 <=> a ≠ 1.
Hệ có nghiệm duy nhất: x = $frac{{2a – 3}}{{a – 1}}$ và y = $frac{1}{{a – 1}}$ => (d1) cắt (d2) do đó minF = 0.
b. Nếu D = 0 <=> a-1 = 0 <=> a = 1.
Với a = 1, suy ra D$_x$ = -1 ≠ 0, hệ vô nghiệm. Khi đó (d1) // (d2) do đó: F = (x + y-2)$^2$ + (x + y-3)$^2$.
Đặt t = x + y-2, ta được
F = t$^2$ + (t-1)$^2$ = 2t$^2$-2t + 1 ≥ $frac{3}{4}$.
Vậy, ta được minF = $frac{3}{4}$, đạt được khi: t = $frac{1}{2}$ <=> x + y-2 = $frac{1}{2}$ <=> 2x + 2y-5 = 0.
Kết luận:

  • Với a ≠ 1, minF = 0, đạt được khi x = $frac{{2a – 3}}{{a – 1}}$ và y = $frac{1}{{a – 1}}$.
  • Với a = -4, minF = $frac{3}{4}$, đạt được khi x, y thoả mãn 2x + 2y-5 = 0.
Dạng 4: Ứng dụng khác của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Thí dụ 1. Hãy xác định tất cả các giá trị của a, b sao cho nghiệm của bất phương trình |x-2a + 1|≤ b + 1 là đoạn [-2; 5].

Giải

1. Nếu b + 1 < 0 <=> b <-1 thì bất phương trình vô nghiệm.
2. Nếu b + 1 ≥ 0 <=> b ≥-1 thì bất phương trình được viết lại dưới dạng: -b-1 ≤ x-2a + 1 ≤ b + 1 <=> 2a-b-2 ≤ x ≤ 2a + b + 2.
Vậy để nghiệm của bất phương trình là đoạn [-2; 5] điều kiện cần và đủ là: $left{ begin{array}{l}2a – b – 2 = – 2\2a + b + 2 = 5end{array} right.$
<=> $left{ begin{array}{l}2a – b = 0\2a + b = 3end{array} right.$ <=> $left{ begin{array}{l}a = 3/4\b = 3/2end{array} right.$.
Vậy, với a = $frac{3}{4}$ và b = $frac{3}{2}$ thoả mãn điều kiện dầu bài.

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive