Kiến thức

Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

31/7/18

#1

Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
a. y = (2x + 1)(2 – 3x), với x ∈ [-$frac{1}{2}$; $frac{2}{3}$].
b. y = x(1 – x) $^3$, với 0 ≤ x ≤ 1.

Giải

a. Với -$frac{1}{2}$ ≤ x ≤ $frac{2}{3}$ thì 2x + 1 ≥ 0 và 2 – 3x ≥ 0, do đó sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
y = (2x + 1)(2 – 3x) =$frac{1}{2}$(x + $frac{1}{2}$).$frac{1}{3}$($frac{2}{3}$ – x) = $frac{1}{6}$(x + $frac{1}{2}$)($frac{2}{3}$ – x)
≤ $frac{1}{6}$${left[ {frac{{(x + frac{1}{2}) + (frac{2}{3} – x)}}{2}} right]^2}$ = $frac{1}{6}$.${left( {frac{5}{{12}}} right)^2}$ = $frac{{25}}{{864}}$.
Từ đó suy ra y$_{Max}$ = $frac{{25}}{{864}}$, đạt được khi: x + $frac{1}{2}$ = $frac{2}{3}$ – x ⇔ x = $frac{1}{{12}}$.

b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $frac{1}{3}$.3x(1 – x)$^3$ = $frac{1}{3}$.3x(1 – x)(1 – x)(1 – x),
rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm gồm 3x và 3 số 1 – x, ta được:
y ≤ $frac{1}{3}$.${left[ {frac{{3x + (1 – x) + (1 – x) + (1 – x)}}{4}} right]^4}$ = $frac{1}{3}$.${left( {frac{3}{4}} right)^4}$ = $frac{{27}}{{256}}$,
từ đó suy ra y$_{Max}$ = $frac{{27}}{{256}}$, đạt được khi: 3x = 1 – x = 1 – x = 1 – x ⇔ x = $frac{1}{4}$.

Thí dụ 2. Tìm giác trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = x + $frac{2}{{x – 1}}$ với x > 1.
b. y = x$^2$ + $frac{2}{{{x^3}}}$, với x > 0.

Giải

a. Vì x > 1 nên x – 1 và $frac{2}{{x – 1}}$ là hai số dương. Do đó: y = x + $frac{2}{{x – 1}}$ = 1 + x – 1 + $frac{2}{{x – 1}}$ ≥ 1 + 2$sqrt {(x – 1)frac{2}{{x – 1}}} $ = 1 + 2$sqrt 2 $.
từ đó, suy ra y$_{min}$ = 1 + 2$sqrt 2 $, đạt được khi: x – 1 = $frac{2}{{x – 1}}$ ⇔ x = 1 + 2$sqrt 2 $.

b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $frac{1}{3}$x$^2$ + $frac{1}{3}$x$^2$ + $frac{1}{3}$x$^2$ + $frac{1}{{{x^3}}}$ + $frac{1}{{{x^3}}}$ ≥ 5$sqrt[5]{{frac{1}{3}{x^2}.frac{1}{3}{x^2}frac{1}{3}{x^2}.frac{1}{{{x^3}}}.frac{1}{{{x^3}}}}}$ = $frac{5}{{sqrt[5]{{27}}}}$
từ đó, suy ra y$_{Min}$ = $frac{5}{{sqrt[5]{{27}}}}$, đạt được khi: $frac{1}{3}$x$^2$ = $frac{1}{{{x^3}}}$ ⇔ x$^5$ = 3 ⇔ x = $sqrt[5]{3}$.

Thí dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhát của biểu thức:
a. A = $sqrt {x – 1} + sqrt {4 – x} $
b. S = 3x + 4y, biết x$^2$ + y$^2$ = 1.

Giải

a. Với 1 ≤ x ≤ 4, ta có:
A$^2$ = ($sqrt {x – 1} + sqrt {4 – x} $)$^2$ = 3 + 2$sqrt {(x – 1)(4 – x)} $
Ta có: 3 ≤ 3 + 2$sqrt {(x – 1)(4 – 1)} $ ≤ 3 + x – 1 + 4 – x = 6 ⇔ $sqrt 3 $ ≤ A ≤ $sqrt 6 $.
Từ đó, suy ra:

  • A$_{Max}$ = $sqrt 6 $, đạt được khi: x – 1 = 4 – x ⇔ 2x = 5 ⇔ x = $frac{5}{2}$.
  • A$_{Min}$ = $sqrt 3 $, đạt được khi: (x – 1)(4 – x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 4.

b. Ta có: S$^2$ = (3x + 4y) $^2$ ≤ (3$^2$ + 4$^2$)(x$^2$ + y$^2$) = S$^2$ = (3x + 4y) $^2$ ≤ (3$^2$ + 4$^2$)(x$^2$ + y$^2$) = 25
⇔ |3x + 4y| ≤ 5 ⇔ – 5 ≤ 3x + 4y ≤ 5.
Dấu “=” xảy ra khi: $left{ begin{array}{l}frac{x}{y} = frac{3}{4}\{x^2} + {y^2} = 1end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}4x = 3y\9{x^2} + 9{y^2} = 9end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}4x = 3y\9{x^2} + 16{x^2} = 9end{array} right.$
$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}4x = 3y\x = pm frac{3}{5}end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left[ begin{array}{l}x = frac{3}{5},,,y = frac{4}{5}\x = – frac{3}{5},,,y = – frac{4}{5}end{array} right.$.
Từ đó, suy ra:

  • S$_{Max}$ = 5, đạt được khi $x = frac{3}{5},,,y = frac{4}{5}$.
  • S$_{Min}$ = 5, đạt được khi $x = – frac{3}{5},,,y = – frac{4}{5}$.

Thí dụ 4. Hai số dương x, y thoả mãn 3x + 2y = 6xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.

Giải

Nhận xét rằng: 3x + 2y = 6xy ⇔ $frac{2}{x}$ + $frac{3}{y}$ = 6, $sqrt 2 $ + $sqrt 3 $ = $sqrt {frac{2}{x}} $.$sqrt x $ + $sqrt {frac{3}{y}} $.$sqrt y $.
Do vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, suy ra: ($sqrt 2 $ + $sqrt 3 $)$^2$ ≤ ($frac{2}{x}$ + $frac{3}{y}$)(x + y) = 6(x + y)
⇒ x + y ≥ $frac{1}{6}$($sqrt 2 $ + $sqrt 3 $)2 = $frac{{5 + 2sqrt 6 }}{6}$.
Vậy (x + y)$_{Min}$ = $frac{{5 + 2sqrt 6 }}{6}$ đạt được khi: $left{ begin{array}{l}frac{x}{2} + frac{y}{3} = 6\frac{x}{{frac{2}{x}}} = frac{y}{{frac{3}{y}}}end{array} right.$
⇔ x = $frac{{2 + sqrt 6 }}{6}$, y = $frac{{3 + sqrt 6 }}{6}$.

 

Sửa lần cuối: 13/12/18

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button