Kiến thức

Dạng 6: Một số thí dụ về hệ thức lượng trong tam giác-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

3/8/18

3/8/18

#1

Bạn đang xem: Dạng 6: Một số thí dụ về hệ thức lượng trong tam giác-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Vận dụng hệ thức lượng giác vào giải bài tập là một điều không đơn giản, bài viết này sẽ giúp bạn dễ dàng hơn bằng một số thí dụ kèm lời giải chi tiết

Phương pháp áp dụng
Muốn chứng minh một đẳng thức lượng giác trong tam giác ngoài việc vận dụng thành thạo các phép biến đổi lượng giác chúng ta còn cần phải nhớ các hệ thức cơ bản cho ΔABC bao gồm:

  1. Định lý hàm số cosin a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ – 2bccosA. b$^2$ = a$^2$ + c$^2$ – $^2$accosB, c$^2$ = a$^2$ + b$^2$ – 2abcosC.
  2. Định lý hàm số sin $frac{a}{{sin A}}$ = $frac{b}{{sin B}}$ = $frac{c}{{sin C}}$ = 2R. Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
  3. Định lý hình chiếu a = b.cosC + c.cosB, b = c.cosA + a.cosC, c = a.cosB + b.cosA. Trong bài toán này ta thương chia thành ba dạng nhỏ, bao gồm:

Bài toán 1: Chứng minh

hệ thức lượng giác

liên hệ giữa các góc. Với dạng toán này chúng ta cần đặc biệt lưu ý tới:

  • A + B + C = π ⇒ A + B = π – C và $frac{{A + B}}{2}$ = $frac{pi }{2}$ – $frac{C}{2}$ do đó: sin(A + B) = sin(π – C) = sinC, sin$frac{{A + B}}{2}$ = sin($frac{pi }{2}$ – $frac{C}{2}$) = cos$frac{C}{2}$,…
  • Với các đẳng thức lượng giác chứa một hàm số lượng giác của ba góc (sin hoặc cos) ta thường chỉ biến đổi hai nhân tử còn nhân tử thứ ba sẽ được xác định qua một vài phép biến đổi sau đó, và thường không sử dụng phép biến đổi tích thành tổng hoặc tổng thành tích khi có mặt cả ba góc A, B, C. Điều này sẽ được minh hoạ cùng với lời hướng dẫn cụ thể thông qua ví dụ 1.
  • Với các đẳng thức lượng giác chứa một hàm số lượng giác của ba góc (tan hoặc cot) ta thường sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức luôn đúng hoặc ngược lại (xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng).

Bài toán 2 Chứng minh hệ thức lượng giác liên hệ giữa góc và cạnh. Với dạng toán này chúng ta thường sử dụng định lý hàm số sin và định lý hàm số cos.
Bài toán 3: Chứng minh hệ thức lượng giác liên hệ tới nhiều yếu tố trong tam giác. Với dạng toán này chúng ta cần nhớ lại các kết quả của:

  • Định lý đường trung tuyến, ví dụ: b$^2$ + c$^2$ = 2$m_a^2$ + $frac{{{a^2}}}{2}$.
  • Định lý đường phân giác, ví dụ: lA = $frac{{2bc.cos frac{A}{2}}}{{b + c}}$.
  • Định lý về diện tích tam giác, ví dụ: S = $frac{1}{2}$ah$_a$ = $frac{1}{2}$bcsinA = $frac{{abc}}{{4R}}$ = pr = p(p – a)tan$frac{A}{2}$ = $sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} $
  • Các công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác: R = $frac{a}{{2sin A}}$ = $frac{{abc}}{{4S}}$; r = $frac{S}{p}$ = (p – a) tan$frac{A}{2}$.

Chú ý: Có một phương pháp để chứng minh các đẳng thức lượng giác mà trong nhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả là phương pháp hình học.

Thí dụ 1. Cho ΔABC, chứng minh rằng: cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin$frac{A}{2}$.sin$frac{B}{2}$.sin$frac{C}{2}$.

Giải​

Ta có: VT = cosA + cosB + cosC = (cosA + cosB) + cosC
= 2cos$frac{{A + B}}{2}$.cos$frac{{A – B}}{2}$ + cosC = 2cos($frac{pi }{2}$ – $frac{C}{2}$).cos$frac{{A – B}}{2}$ + cosC
= 2sin$frac{C}{2}$.cos$frac{{A – B}}{2}$ + (1 – 2sin2$frac{C}{2}$) = 1 – 2sin$frac{C}{2}$(sin$frac{C}{2}$ – cos$frac{{A – B}}{2}$)
= 1 – 2sin$frac{C}{2}$[sin($frac{pi }{2}$ – $frac{{A + B}}{2}$) – cos$frac{{A – B}}{2}$]
= 1 – 2sin$frac{C}{2}$(cos$frac{{A + B}}{2}$ – cos$frac{{A – B}}{2}$) = 1 + 4sin$frac{A}{2}$.sin$frac{B}{2}$.sin$frac{C}{2}$.
Hướng dẫn cách thực hiện:

  • Bước 1: Vì VT có cosA, cosB, cosC ta lựa chọn phép biến đổi tổng thành tích cho hai toán tử cosA, cosB còn cosC sẽ lựa chọn phép biển đổi sau.
  • Bước 2: Thông qua việc biến đổi cosA + cosB = 2cos$frac{{A + B}}{2}$.cos$frac{{A – B}}{2}$ = 2sin$frac{C}{2}$.cos$frac{{A – B}}{2}$ ta nhận thấy sự xuất hiện của sin$frac{C}{2}$, do đó lựa chọn phép biến đổi cho cosC = 1 – 2sin2$frac{C}{2}$.
  • Bước 3: Tiếp theo ta có sự xuất hiện sin$frac{C}{2}$ – cos$frac{{A – B}}{2}$

Vì sự có mặt của cả ba góc A, B, C, do vậy ta cần tìm cách đưa về biến đổi hai góc bằng phép thay $frac{C}{2}$ = $frac{pi }{2}$ – $frac{{A + B}}{2}$.
Chúng ta sẽ thực hiện thêm một ví dụ nữa để hiểu hơn.

Thí dụ 2. Cho ΔABC, chứng minh rằng: sin$^2$A + sin$^2$B + sin$^2$C = 2 + 2cosA.cosB.cosC.

Giải

VT = sin$^2$A + sin$^2$B + sin$^2$C = $frac{{1 – cos 2A}}{2}$ + $frac{{1 – cos 2B}}{2}$ + sin$^2$C
= 1 – $frac{1}{2}$(cos2A + cos2B) + sin$^2$C = 1 – cos(A + B).cos(A – B) + sin$^2$C
= 1 – cos(π – C).cos(A – B) + sin$^2$C = 1 + cosC.cos(A – B) + 1 – cos2C
= 2 + [cos(A – B) – cosC].cosC = 2 + [cos(A – B) + cos(A + B)].cosC
= 2 + 2cosA.cosB.cosC.
Nhận xét:

  1. Như vậy vẫn với ý tưởng được trình bày sau thí dụ 1, ta thực hiện phép biến đổi cho sin2A và sin2B, tuy nhiên không tồn tại phép biến đổi lượng giác cho hai toán tử bậc cao, do vậy ở đây ta đã sử dụng công thức hạ bậc để thực hiện.
  2. Khi có sự xuất hiện của cosC ta lại lựa chọn phép biến đổi: sin$^2$C = 1 – cos$^2$C.
  3. Cuối cùng với cos(A – B) – cosC, ta lựa chọn: cosC = – cos(A + B).
  4. Kết quả của ví dụ trên được sử dụng để xác định dạng của ΔABC khi so sánh tổng S = sin$^2$A + sin$^2$B + sin$^2$C với 2, cụ thể:

  • Nếu S > 2 thì: cosA.cosB.cosC > 0 ⇔ cosA, cosB, cosC > 0⇔ ΔABC nhọn.
  • Nếu S = 2 thì: cosA.cosB.cosC = 0 ⇔ cosA = 0 ∨ cosB = 0 ∨ cosC = 0⇔ ΔABC vuông.
  • Nếu S < 2 thì: cosA.cosB.cosC < 0⇔ một trong ba cosA, cosB, cosC nhỏ hơn không⇔ ΔABC tù.
5. Việc lựa chọn phương pháp hạ bậc cũng rất quan trọng, để minh hoạ ta xem xét ví dụ sau:​

Thí dụ 3. Cho ΔABC, chứng minh rằng: sin$^3$A.cos(B – C) + sin$^3$B.cos(C – A) + sin$^3$C.cos(A – B) = 3sinA.sinB.sinC.

Giải

Ta có:
sin$^3$A.cos(B – C) = sin$^2$A.sinA.cos(B – C) = $frac{{1 – cos 2A}}{2}$sin(B + C).cos(B – C)
= $frac{1}{4}$(1 – cos2A)(sin2B + sin2C)
= $frac{1}{4}$(sin2B + sin2C – sin2B.cos2A – sin2C.cos2A). (1)
tương tự:
sin$^3$B.cos(C – A) = $frac{1}{4}$(sin2C + sin2A – sin2C.cos2B – sin2A.cos2B). (2)
sin$^3$C.cos(A – B) = $frac{1}{4}$(sin2A + sin2B – sin2A.cos2C – sin2B.cos2C). (3)
Cộng theo vế (1), (2), (3), ta được:sin$^3$A.cos(B – C) + sin$^3$B.cos(C – A) + sin$^3$C.cos(A – B) = $frac{3}{4}$(sin2A + sin2B + sin2C) = 3sinA.sinB.sinC, đpcm.
Chú ý: Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng kết quả: sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC – Đề nghị bạn đọc chứng minh.

Thí dụ 4. Cho ΔABC không vuông, chứng minh rằng: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC. (*)

Giải

Ta có: A + B + C = π ⇔ A + B = π – C ⇒ tan(A + B) = tan(π – C)
⇔ $frac{{tan A + tan B}}{{1 – tan A.tan B}}$ = – tanC ⇔ tanA + tanB = (1 – tanA.tanB)tanC
⇔ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
Nhận xét:

  1. Như vậy xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng A + B + C = π, ta đã chứng minh được (*).
  2. Phương pháp chứng minh trên được sử dụng để chứng minh kết quả tổng quát: tannA + tannB + tannC = tannA.tannB.tannC, với n nguyên dương.
  3. Thông qua bốn ví dụ trên chúng ta đã có được phương pháp luận cho dạng toán thứ nhất ” Chứng minh hệ thức lượng giác liên hệ giữa các góc.”

Thí dụ 5. Cho ΔABC, chứng minh rằng: $frac{{cos A}}{{b.cos C + c.cos B}}$ + $frac{{cos B}}{{c.cos A + a.cos C}}$ + $frac{{cos C}}{{a.cos B + b.cos A}}$= $frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}}$.

Giải

Sử dụng công thức hình chiếu, ta được:
VT = $frac{{cos A}}{a}$ + $frac{{cos B}}{b}$ + $frac{{cos C}}{c}$ = $frac{{bc.cos A + ac.cos B + ab.cos C}}{{abc}}$
= $frac{{frac{1}{2}({b^2} + {c^2} – {a^2}) + frac{1}{2}({a^2} + {c^2} – {b^2}) + frac{1}{2}({a^2} + {b^2} – {c^2})}}{{abc}}$= $frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}}$.

Thí dụ 6. Cho ΔABC, chứng minh rằng $frac{{b – c}}{a}$cos$frac{A}{2}$ = sin$frac{{B – C}}{2}$.

Giải

Ta có: VT = $frac{{b – c}}{a}$cos$frac{A}{2}$ = $frac{{2Rsin B – 2Rsin C}}{{2Rsin A}}$cos$frac{A}{2}$
= $frac{{2cos frac{{B + C}}{2}.sin frac{{B – C}}{2}}}{{2sin frac{A}{2}.cos frac{A}{2}}}$cos$frac{A}{2}$ = sin$frac{{B – C}}{2}$.
Nhận xét: Như vậy bằng việc sử dụng định lý hàm số sin thuần tuý ta đã chứng minh được đẳng thức. Tuy nhiên điều cần bàn ở đây là cần vận dụng thật linh hoạt để đạt được mục đích thông qua việc đánh giá điểm xuất phát và đích cần tiến tới, thí dụ như:

  1. Khi cần biến đổi a thành b ta sử dụng a = $frac{{b.sin A}}{{sin B}}$.
  2. Nếu điểm xuất phát chứa a$^2$ và đích cần tiến tới chứa ab thì: a$^2$ = a.a = a.$frac{{b.sin A}}{{sin B}}$.

Để minh hoạ chúng ta xét ví dụ sau:

Thí dụ 7. Cho ΔABC, chứng minh rằng:
a. b.cosB + c.cosC = a.cos(B – c).
b. a$^2$sin2B + b$^2$sin2A = 2ab.sinC.

Giải

a. Ta có: VT = b.cosB + c.cosC = $frac{{a.sin B}}{{sin A}}$.cosB + $frac{{a.sin C}}{{sin A}}$.cosC
= $frac{a}{{2sin A}}$(sin2B + sin2C) = $frac{a}{{sin A}}$.sin(B + C).cos(B – C) = a.cos(B – c).

b. Ta có:
VT = a$^2$sin2B + b$^2$sin2A = a.a.sin2B + b.b.sin2A
= a.$frac{{b.sin A}}{{sin B}}$.2sinB.cosB + b.$frac{{a.sin B}}{{sin A}}$.2sinA.cosA
= 2ab(sinA.cosB + sinB.cosA) = 2ab.sin(A + B) = 2ab.sinC.
Chú ý:

  1. Kết quả của câu b) được sử dụng để chứng minh: S = $frac{1}{4}$(a$^2$sin2B + b$^2$sin2A).
  2. Khi cần sử dụng tới các biến đổi hữu tỉ, chúng ta cần nhớ phép biến đổi rất hiệu quả: $frac{a}{b}$ = $frac{c}{d}$ = $frac{{a + c}}{{b + d}}$.

Để minh hoạ chúng ta xét ví dụ sau:

Thí dụ 8. Cho ΔABC, chứng minh rằng R = $frac{p}{{4cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$.

Giải

Ta có: $frac{a}{{sin A}}$ = $frac{b}{{sin B}}$ = $frac{c}{{sin C}}$ = 2R
⇔ R = $frac{a}{{2sin A}}$ = $frac{b}{{2sin B}}$ = $frac{c}{{2sin C}}$ = $frac{{a + b + c}}{{2(sin A + sin B + sin C)}}$
= $frac{{frac{{a + b + c}}{2}}}{{4cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$ = $frac{p}{{4cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$.
Chú ý:

  1. Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng kết quả: sinA + sinB + sinC = 4cos$frac{A}{2}$.cos$frac{B}{2}$.cos$frac{C}{2}$.
  2. Thí dụ tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm tới hệ thức lượng giác liên hệ tới nhiều yếu tố trong tam giác.

Thí dụ 9. Cho ΔABC, chứng minh rằng tan$frac{A}{2}$ + tan$frac{B}{2}$ + tan$frac{C}{2}$ = $frac{{r + 4R}}{p}$.

Giải

Ta có:
VT = $frac{1}{2}$(tan$frac{A}{2}$ + tan$frac{B}{2}$) + $frac{1}{2}$(tan$frac{B}{2}$ + tan$frac{C}{2}$) + $frac{1}{2}$(tan$frac{C}{2}$ + tan$frac{A}{2}$)
= $frac{1}{2}$[$frac{{sin frac{{A + B}}{2}}}{{cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}}}$ + $frac{{sin frac{{B + C}}{2}}}{{cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$ + $frac{{sin frac{{C + A}}{2}}}{{cos frac{C}{2}.cos frac{A}{2}}}$]
= $frac{1}{2}$[$frac{{cos frac{C}{2}}}{{cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}}}$ + $frac{{cos frac{A}{2}}}{{cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$ + $frac{{cos frac{B}{2}}}{{cos frac{C}{2}.cos frac{A}{2}}}$]
= $frac{{{{cos }^2}frac{A}{2} + {{cos }^2}frac{B}{2} + {{cos }^2}frac{C}{2}}}{{2cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$ = $frac{{3 + cos A + cos B + cos C}}{{4cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}}}$
= $frac{{4 + 4sin frac{A}{2}.sin frac{B}{2}.sin frac{C}{2}}}{{sin A + sin B + sin C}}$ = $frac{{Rleft( {4 + 4sin frac{A}{2}.sin frac{B}{2}.sin frac{C}{2}} right)}}{{R(sin A + sin B + sin C)}}$ = $frac{{r + 4R}}{p}$.
Chú ý: Trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng hai đẳng thức:
cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin$frac{A}{2}$.sin$frac{B}{2}$.sin$frac{C}{2}$.
sinA + sinB + sinC = 4cos$frac{A}{2}$.cos$frac{B}{2}$.cos$frac{C}{2}$.

 

Sửa lần cuối: 3/10/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button