Kiến thức

Dạng 8: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

29/7/18

#1

Phương pháp thực hiện
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng:

  • a. Định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
  • b. Bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
  • c. Tính chất của giá trị tuyệt đối.
  • d. Ẩn phụ.

Dạng 1: Với phương trình:
|f(x)| = |g(x)| <=> f$^2$(x) = g$^2$(x) <=> [f(x)-g(x)].[f(x) + g(x)] = 0 (1)
<=> $left[ begin{array}{l}f(x) = g(x),,,,,,,,(2)\f(x) = – g(x),,,,,,(3)end{array} right.$.
Như vậy, với phương trình dạng trên có chứa tham số chúng ta cần thực hiện theo các bước:

  • Bước 1: Giải và biện luận (2).
  • Bước 2: Giải và biện luận (3)
  • Bước 3: Kết luận với lưu ý tập nghiệm của phương trình (1) là hợp 2 tập nghiệm của (2), (3).

Thí dụ 1. Cho phương trình: |x$^2$-2mx-2m| = |x$^2$ + 2x|. (1)
1. Giải phương trình với m = 1.
2. Tìm m để phương trình:
a. Vô nghiệm.
b. Có nghiệm.
c. Có nghiệm duy nhất.
d. Có hai nghiệm phân biệt.
e. Có ba nghiệm phân biệt.

Giải

Phương trình tương đương với: $left[ begin{array}{l}{x^2} – 2mx – 2m = {x^2} + 2x\{x^2} – 2mx – 2m = – {x^2} – 2xend{array} right.$
<=> $left[ {begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x = – m}\ {{x^2} – (m – 1)x – m = 0} end{array}} right. Leftrightarrow {mkern 1mu} {mkern 1mu} left[ {begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x = – m{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} (*)}\ {x = 1{mkern 1mu} {mkern 1mu} ,hoac,{mkern 1mu} {mkern 1mu} x = – m} end{array}} right.$(I)
1. Với m = 1, ta thấy ngay phương trình có ba nghiệm phân biệt x = -$frac{1}{2}$, x = ±1.

2. Ta lần lượt:
a. Không tồn tại m để phương trình vô nghiệm.

b. Với mọi m phương trình luôn có nghiệm.

c. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m = -1.

d. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ta lần lượt đánh giá:

  • Nếu -m = 1 tức m = -1 thì (*) vô nghiệm, do đó không thoả mãn.
  • Nếu -m ≠ 1 tức m ≠ -1 thì (*) có nghiệm $x = – frac{m}{{m + 1}}.$
  • Khi đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là: $left[ begin{array}{l} – frac{m}{{m + 1}} = 1\ – frac{m}{{m + 1}} = – mend{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left[ begin{array}{l} – m = m + 1\ – m = – m(m + 1)end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left[ begin{array}{l}m = – 1/2\m = 0end{array} right.$.

Vậy, với $m in Rbackslash left{ {0,{mkern 1mu} {mkern 1mu} – frac{1}{2},{mkern 1mu} {mkern 1mu} – 1} right}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
e. Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi:
$left{ begin{array}{l} – frac{m}{{m + 1}} ne 1\ – m ne 1\ – frac{m}{{m + 1}} ne – mend{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l} – m ne m + 1\m ne – 1\ – m ne – m(m + 1)end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,left{ begin{array}{l}m ne – 1/2\m ne – 1\m ne 0end{array} right.$.
Vậy, với thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình |mx + 1| = |3x + m-2|.

Giải

Phương trình được chuyển thành dạng:
$left[ begin{array}{l}mx + 1 = 3x + m – 2\mx + 1 = – 3x – m + 2end{array} right.$<=> $left[ begin{array}{l}(m – 3)x = m – 3,,,,,,(2)$m + 3)x = 1 – m,,,,,,(3)end{array} right.$.
Giải và biện luận phương trình (2): Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1:
Nếu m – 3 = 0 <=> m = 3.
(2) <=> 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ $mathbb{R}$.
Trường hợp 2: Nếu m – 3 ≠ 0 <=> m ≠ 3.
(2) <=> x = 1: phương trình có nghiệm duy nhất.

Giải và biện luận phương trình (3): Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1:
Nếu m + 3 = 0 <=> m = -3.
(3) <=> 0x = 4, phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu m + 3 ≠ 0 <=> m ≠ -3.
(3) <=> x = $frac{{1 – m}}{{m + 3}}$: là nghiệm duy nhất.
Kết luận:

  • Với m = 3, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ $mathbb{R}$.
  • Với m = -3, phương trình có một nghiệm là x = 1.
  • Với m ≠ ±3, phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = $frac{{1 – m}}{{m + 3}}$.
Dạng 2: Với phương trình:
|f(x)| = g(x) <=> $left{ begin{array}{l}g(x) ge 0\{f^2}(x) = {g^2}(x)end{array} right.$ <=> $left{ begin{array}{l}g(x) ge 0\f(x) = pm g(x)end{array} right.$ (I)
hoặc $left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}f(x) ge 0\f(x) = g(x)end{array} right.\left{ begin{array}{l}f(x) < 0\ – f(x) = g(x)end{array} right.end{array} right.$ (II)
Như vậy, với phương trình dạng trên có chứa tham số chúng ta cần thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lựa chọn hướng biến đổi về (I) hoặc (II), rồi thực hiện việc giải và biện luận nó.
Bước 2: Kết luận.
* Chú ý:

  • a. Nếu g(x) không chứa tham số ta lựa chọn phép biến đổi (I).
  • b. Nếu f(x) không chứa tham số ta lựa chọn phép biến đổi (II).
  • c. Trong trường hợp cả f(x), g(x) đều chứa tham số thì tuỳ vào độ phức tạp của f(x), g(x) ta lựa chọn phép biến đổi (I) hoặc (II).

Thí dụ 1. Giải các phương trình sau:
a. |2x + 5| = x$^2$ + 5x + 1.
b. $frac{{x – 1}}{{2x – 3}} = frac{{ – 3x + 1}}{{left| {x + 1} right|}}.$

Giải

a. Điều kiện x$^2$ + 5x + 1 + 3 ≥ 0. (*)
Biến đổi phương trình tương đương với:
$left[ begin{array}{l}2x + 5 = {x^2} + 5x + 1,\ – 2x – 5 = {x^2} + 5x + 1end{array} right.$ <=> $left[ begin{array}{l}{x^2} + 3x – 4 = 0\{x^2} + 7x + 6 = 0end{array} right.$ $mathop Leftrightarrow limits^{(*)} ,,left[ begin{array}{l}x = 1\x = – 6end{array} right..$
Vậy,phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -6.

b. Tập xác định D = R{-1; $frac{3}{2}$}
Biến đổi phương trình tương đương với:
$left{ begin{array}{l}frac{{x – 1}}{{2x – 3}} = frac{{ – 3x + 1}}{{x + 1}},,,khi,,x ge – 1\,frac{{x – 1}}{{2x – 3}} = frac{{ – 3x + 1}}{{ – x – 1}},,,khi,,x < – 1end{array} right.$<=>$left{ begin{array}{l}7{x^2} – 11x + 2 = 0,,,khi,,x ge – 1\5{x^2} – 11x + 2 = 0,,,,khi,,x < – 1end{array} right.$$ Leftrightarrow ,,x = frac{{11 pm sqrt {65} }}{{14}}.$
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = $frac{{11 pm sqrt {65} }}{{14}}$.

Thí dụ 2. Giải và biện luận các phương trình |x-1| = mx + 2m-1.

Giải

Ta biến đổi phương trình về dạng:
|x-1| = mx + 2m-1 <=> $left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0\x – 1 = mx + 2m – 1end{array} right.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(I)\left{ begin{array}{l}x – 1 < 0\x – 1 = – (mx + 2m – 1)end{array} right.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(II)end{array} right.$.
Ta đi giải và biện luận (I)
(I) <=> $left{ begin{array}{l}x ge 1$1 – m)x = 2m,,,,,,(*)end{array} right.$.
Trường hợp 1: Nếu 1 – m = 0 <=> m = 1.
(*) <=> 0.x = 2 (mâu thuẫn) => (*) vô nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu 1 – m ≠ 0 <=> m ≠ 1.
(*) <=> x = $frac{{2m}}{{1 – m}}$.
Nếu $frac{{2m}}{{1 – m}}$ < 1 <=> $frac{{3m – 1}}{{1 – m}}$ < 0 <=> $left[ begin{array}{l}m < frac{1}{3}\m > 1end{array} right.$ => (I) vô nghiệm.
Nếu $frac{{2m}}{{1 – m}}$ ≥ 1 <=> $frac{{3m – 1}}{{1 – m}}$ ≥ 0 <=> $frac{1}{3}$ ≤ m < 1 => (I) có nghiệm x = $frac{{2m}}{{1 – m}}$.
Giải và biện luận (II) – Học sinh tự làm.

Dạng 3: Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối
Ta sử dụng các tính chất sau:

  • Tính chất 1: Ta có: |a + b| = |a| + |b| <=> ab ≥ 0.
  • Tính chất 2: Ta có: |a| + |b| = a + b <=> $left{ begin{array}{l}a ge 0\b ge 0end{array} right.$.
  • Tính chất 3: Ta có:|a| + |b| = a-b <=> $left{ begin{array}{l}a ge 0\b le 0end{array} right.$.
  • Tính chất 4: Ta có: |a-b| = |a|-|b| <=> b(a-b) ≥ 0.

với lược đồ thực hiện theo các bước:

  • Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa (nếu cần) cho các biểu thức trong phương trình.
  • Bước 2: Biến đổi phương trình về một trong 4 tính chất đã biết.
  • Bước 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trình đại số nhận được.
  • Bước 4: Kết luận.

Thí dụ 1. Giải phương trình |x$^2$-4x + 3| + |x$^2$-4x| = 3.

Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng: |x$^2$-4x + 3| + |4x-x$^2$| = ( x$^2$-4x + 3) + (4x-x$^2$)
$ leftrightarrow $$left{ begin{array}{l}{x^2} – 4x + 3 ge 0\4x – {x^2} ge 0end{array} right.$ <=> $left[ begin{array}{l}0 le x le 1\3 le x le 4end{array} right.$.
Vậy, nghiệm của phương trình là [0; 1] ∪ [3; 4].
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: |x$^2$-4x + 3| + |x$^2$-4x| = ( x$^2$-4x + 3)-( x$^2$-4x)
$ leftrightarrow $$left{ begin{array}{l}{x^2} – 4x + 3 ge 0\{x^2} – 4x le 0end{array} right.$ <=> $left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x ge 3\x le 1end{array} right.\0 le x le 4end{array} right.$<=> $left[ begin{array}{l}0 le x le 1\3 le x le 4end{array} right.$.
Vậy, nghiệm của phương trình là [0; 1] ∪ [3; 4].

Dạng 4: Sử dụng ẩn phụ
Thí dụ 1
. Cho phương trình |mx-2| + $frac{2}{{|mx – 2| + 1}}$ = 2. (1)
a. Giải phương trình với m = 1.
b. Giải và biện luận phương trình theo m.

Giải

Đặt t = |mx-2| + 1, điều kiện t ≥ 1.
Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:
t-1 + $frac{2}{t}$ = 2 <=> t$^2$-3t + 2 = 0
<=> $left[ begin{array}{l}t = 1\t = 2end{array} right.$
<=> $left[ begin{array}{l}|mx – 2| + 1 = 1\|mx – 2| + 1 = 2end{array} right.$
<=> $left[ begin{array}{l}|mx – 2| = 0\|mx – 2| = 1end{array} right.$ <=> $left[ begin{array}{l}mx = 2\mx = 3\mx = 1end{array} right.$. (I)
a. Với m = 1, khi đó (I) tương đương với:
$left[ begin{array}{l}x = 2\x = 3\x = 1end{array} right.$.
Vậy, với m = 1 phương trình có 3 nghiệm là x = 1, x = 2 và x = 3.
b. Ta có ngay:

  • Với m = 0, (I) vô nghiệm <=> (1) vô nghiệm.
  • Với m ≠ 0, (I) có ba nghiệm phân biệt <=> (1) có ba nghiệm phân biệt.

Thí dụ 2. Giải phương trình (x + 2)|x$^3$-3x| = x$^6$-6x$^4$ + 9x$^2$ + 2x.

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng: (x$^3$-3x)$^2$-(x + 2)|x$^3$-3x| + 2x = 0. (1)
Đặt t = |x$^3$-3x|, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó, phương trình (1) được biến đổi về dạng: t$^2$-(x + 2)t + 2x = 0 (3)
ta có Δ$_t$ = (x + 2)$^2$-8x = (x-2)$^2$, do đó:
(3) <=> $left[ begin{array}{l}t = x\t = 2end{array} right.$ <=> $left[ begin{array}{l}|{x^3} – 3x| = x\|{x^3} – 3x| = 2end{array} right.$
<=> $left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x ge 0\{x^3} – 3x = pm xend{array} right.\{x^3} – 3x = pm 2end{array} right.$ <=> $left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x ge 0\left[ begin{array}{l}{x^3} – 4x = 0\{x^3} – 2x = 0end{array} right.end{array} right.\{x^3} – 3x pm 2 = 0end{array} right.$ <=> $left[ begin{array}{l}x = 0\x = sqrt 2 \x = pm 1,,,x = pm 2end{array} right.$.
Vây, phương trình có 6 nghiệm phân biệt x = 0, x = ± 1, x = $sqrt 2 $, x = ± 2.

 

Sửa lần cuối: 9/11/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button