Kiến thức

Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

4/7/18

4/7/18

#1

Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp là phần nâng cao thuộc chương trình lớp 11.

Bạn đang xem: Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

PHƯƠNG PHÁP

1. Kiến thức cần nhớ

hoan-vi-va-to-hop-chinh-hop-png.7397

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:

  • Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
  • Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp chung:

  • Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
  • Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

VÍ DỤ VẬN DỤNG

Câu 1.Tìm tất cả các giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $6left( {{P_x} – {P_{x – 1}}} right) = {P_{x + 1}}.$
A. x = 2.
B. x = 3.
C. x = 2; x = 3.
D. x = 5.

Điều kiện: $x ge 1$ và $x in mathbb{N}.$
Ta có $6left( {{P_x} – {P_{x – 1}}} right) = {P_{x + 1}} Leftrightarrow 6left[ {x! – left( {x – 1} right)!} right] = left( {x + 1} right)! Leftrightarrow 6left( {x – 1} right)!.left( {x – 1} right) = left( {x – 1} right)!.xleft( {x + 1} right)$
$ Leftrightarrow 6.left( {x – 1} right) = xleft( {x + 1} right) Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 2{rm{ }}left( {nhan} right)\x = 3{rm{ }}left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn C.

Câu 2.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn ${P_2}.{x^2}–{P_3}.x = 8.$
A. S = – 4.
B. S = – 1.
C. S = 4.
D. S = 3.

Ta có ${P_2}.{x^2}–{P_3}.x = 8 Leftrightarrow 2!.{x^2} – 3!.x = 8 Leftrightarrow 2{x^2} – 6x – 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 1\x = 4end{array} right.$
-> S = – 1 + 4 = 3
Chọn D.

Câu 3.Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn $3A_x^2 – A_{2x}^2 + 42 = 0$?
A. 0.
B. 1
C. 2
D. 6.

Điều kiện: $x ge 2$ và $x in mathbb{N}$.
Ta có $3A_x^2 – A_{2x}^2 + 42 = 0 Leftrightarrow 3.frac{{x!}}{{left( {x – 2} right)!}} – frac{{left( {2x} right)!}}{{left( {2x – 2} right)!}} + 42 = 0$
$ Leftrightarrow 3.left( {x – 1} right).x – left( {2x – 1} right).2x + 42 = 0 Leftrightarrow {x^2} + x – 42 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 7left( {loai} right)\x = 6left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn B.

Câu 4.Cho số tự nhiên x thỏa mãn $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x là số chính phương.
B. x là số nguyên tố.
C. x là số chẵn.
D. x là số chia hết cho 3

Điều kiện: $x ge 10$ và $x in mathbb{N}$.
Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 Leftrightarrow frac{{x!}}{{left( {x – 10} right)!}} + frac{{x!}}{{left( {x – 9} right)!}} = 9frac{{x!}}{{left( {x – 8} right)!}}$
$ Leftrightarrow frac{1}{1} + frac{1}{{x – 9}} = frac{9}{{left( {x – 9} right)left( {x – 8} right)}} Leftrightarrow {x^2} – 16x + 55 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 11left( {nhan} right)\x = 5left( {loai} right)end{array} right..$ Chọn B.

Câu 5.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $A_n^3 + 5A_n^2 = 2left( {n + 15} right)$?
A. 0.
B. 1
C. 2
D. 3

Điều kiện: $n ge 3$ và $n in mathbb{N}.$
Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2left( {n + 15} right) Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 3} right)!}} + 5.frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} – 2n – 30 = 0$
$ Leftrightarrow left( {n – 2} right).left( {n – 1} right).n + 5.left( {n – 1} right).n – 2n – 30 = 0 Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} – 5n – 30 = 0 Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.

Câu 6.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3.$
A. n = 12.
B. n = 9.
C. n = 16.
D. n = 2.

Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$
Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 Leftrightarrow frac{{left( {n + 1} right)!}}{{1!.n!}} + 3.frac{{left( {n + 2} right)!}}{{2!.n!}} = frac{{left( {n + 1} right)!}}{{3!.left( {n – 2} right)!}}$
$ Leftrightarrow n + 1 + 3.frac{{left( {n + 1} right).left( {n + 2} right)}}{2} = frac{{left( {n – 1} right).n.left( {n + 1} right)}}{6} Leftrightarrow 1 + 3.frac{{left( {n + 2} right)}}{2} = frac{{left( {n – 1} right).n.}}{6}$
$ Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} – n Leftrightarrow {n^2} – 10n – 24 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n = – 2left( {loai} right)\n = 12left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn A.

Câu 7.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}.$
A. P = 4.
B. P = 32.
C. P = – 32.
D. P = 12.

Điều kiện: $0 le x le 12$ và $x in mathbb{N}$.
Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} Leftrightarrow frac{{14!}}{{x!left( {14 – x} right)!}} + frac{{14!}}{{left( {x + 2} right)!left( {12 – x} right)!}} = 2frac{{14!}}{{left( {x + 1} right)!left( {13 – x} right)!}}$
$begin{array}{l} Leftrightarrow frac{1}{{left( {14 – x} right)left( {13 – x} right)}} + frac{1}{{left( {x + 1} right)left( {x + 2} right)}} = 2.frac{1}{{left( {x + 1} right)left( {13 – x} right)}}\ Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {x + 2} right) + left( {14 – x} right)left( {13 – x} right) = 2left( {x + 2} right)left( {14 – x} right)end{array}$
$ Leftrightarrow {x^2} – 12x + 32 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 4\ x = 8 end{array} right. to P = 4.8 = 32.$
Chọn B.

Câu 8.Tính tổng S của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $frac{1}{{C_n^1}} – frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = frac{7}{{6C_{n + 4}^1}}.$
A. S = 8.
B. S = 11.
C. S = 12.
D. S = 15.

Điều kiện: $n ge 1$ và $n in mathbb{N}$.
Ta có $frac{1}{{C_n^1}} – frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} Leftrightarrow frac{{left( {n – 1} right)!}}{{n!}} – frac{{2!.left( {n – 1} right)!}}{{left( {n + 1} right)!}} = frac{{7left( {n + 3} right)!}}{{6left( {n + 4} right)!}} Leftrightarrow frac{1}{n} – frac{2}{{nleft( {n + 1} right)}} = frac{7}{{6left( {n + 4} right)}}$
$ Leftrightarrow {n^2} – 11n + 24 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n = 3left( {nhan} right)\n = 8left( {nhan} right)end{array} right. to S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.

Câu 9.Tìm giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_x^0 + C_x^{x – 1} + C_x^{x – 2} = 79.$
A. x = 13.
B. x = 17.
C. x = 16.
D. x = 12.

Điều kiện: $x in mathbb{N}$.
Ta có $C_x^0 + C_x^{x – 1} + C_x^{x – 2} = 79 Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$
$ Leftrightarrow 1 + x + frac{{xleft( {x – 1} right)}}{2} = 79 Leftrightarrow {x^2} + x – 156 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 12left( {nhan} right)\x = – 13left( {loai} right)end{array} right..$ Chọn D.

Câu 10.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n = 7left( {n + 3} right).$
A. n = 15.
B. n = 18.
C. n = 16.
D. n = 12.

Điều kiện: $n in mathbb{N}$.
Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n = 7left( {n + 3} right) Leftrightarrow C_{n + 4}^3 – C_{n + 3}^3 = 7left( {n + 3} right)$
$ Leftrightarrow frac{{left( {n + 4} right)left( {n + 2} right)}}{{3!}} – frac{{left( {n + 2} right)left( {n + 1} right)}}{{3!}} = 7 Leftrightarrow 3n – 36 = 0 Leftrightarrow n = 12left( {nhan} right).$ Chọn D.

Câu 11.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = frac{{7n}}{2}.$
A. n = 3.
B. n = 4.
C. n = 6.
D. n = 8.

Ta có $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = frac{{7n}}{2} Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 1} right)!}} + frac{{n!}}{{2!.left( {n – 2} right)!}} + frac{{n!}}{{3!left( {n – 3} right)!}} = frac{{7n}}{2}$
$ Leftrightarrow {n^2} – 16 = 0 to n = 4.$ Chọn B.

Câu 12.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} – 14x.$
A. S = 2.
B. S = 7.
C. S = 9.
D. S = 14.

Điều kiện: $x ge 3$ và $x in mathbb{N}.$
Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} – 14x Leftrightarrow frac{{x!}}{{1!.left( {x – 1} right)!}} + 6.frac{{x!}}{{2!.left( {x – 2} right)!}} + 6.frac{{x!}}{{3!.left( {x – 3} right)!}} = 9{x^2} – 14x$
$ Leftrightarrow x + 3xleft( {x – 1} right) + left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)x = 9{x^2} – 14x Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0left( {loai} right)\x = 2left( {loai} right)\x = 7left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn B.

Câu 13.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8.$
A. n = 18.
B. n = 16.
C. n = 15.
D. n = 14.

Điều kiện: $n ge 9$ và $n in mathbb{N}.$
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$
$ Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2left( {C_n^7 + C_n^8} right) + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$
$ Leftrightarrow left( {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8} right) + left( {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9} right) = 2C_{n + 2}^8 Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 to n + 2 = 9 + 8 Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.

Câu 14.Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^6.$
B. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^6.$
C. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999}.$
D. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^{2000}.$

Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2007}^7$. Do đó A đúng.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n – k} to left{ begin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} end{array} right..$
Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.
Chọn B.

Câu 15.Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = C_{n + 1}^2.$
B. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = A_{n + 1}^2.$
C. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = C_n^1 + C_n^2 + …. + C_n^n.$
D. $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = A_n^1 + A_n^2 + …. + A_n^n.$

Ta có $1 + 2 + 3 + 4 + … + n = frac{{nleft( {n + 1} right)}}{2}$ và $C_{n + 1}^2 = frac{{left( {n + 1} right)!}}{{2!left( {n + 1 – 2} right)!}} = frac{{nleft( {n + 1} right)}}{2}.$
Do đó A đúng. Chọn A.

Câu 16.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn ${P_n}A_n^2 + 72 = 6left( {A_n^2 + 2{P_n}} right).$
A. P = 12.
B. P = 5.
C. P = 10.
D. P = 6.

Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$
Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6left( {A_n^2 + 2{P_n}} right) Leftrightarrow n!.frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} + 72 = 6left[ {frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} + 2.n!} right]$
$ Leftrightarrow n!.left( {n – 1} right).n + 72 = 6left[ {left( {n – 1} right)n + 2.n!} right] Leftrightarrow left( {n! – 6} right)left( {{n^2} – n – 12} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {n^2} – n – 12 = 0\ n! – 6 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} n = 4left( {nhan} right)\ n = – 3left( {loai} right)\ n = 3left( {nhan} right) end{array} right. to P = 4.3 = 12.$
Chọn A.

Câu 17.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $7left( {A_{x + 1}^{x – 1} + 2{P_{x – 1}}} right) = 30{P_x}.$
A. P = 7.
B. P = 4.
C. P = 28.
D. P = 14.

Điều kiện: $x ge 1$ và $x in mathbb{N}$.
Ta có $7left( {A_{x + 1}^{x – 1} + 2{P_{x – 1}}} right) = 30{P_x} Leftrightarrow 7left[ {frac{{left( {x + 1} right)!}}{{2!}} + 2left( {x – 1} right)!} right] = 30x!$
$ Leftrightarrow 7left[ {frac{{xleft( {x + 1} right)}}{2} + 2} right] = 30x Leftrightarrow 7{x^2} – 53x + 28 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 7left( {nhan} right)\x = frac{4}{7}left( {loai} right)end{array} right. to P = 7.$ Chọn A.

Câu 18.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3.$
A. n = 15.
B. n = 17.
C. n = 6.
D. n = 14.

Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n – k}$, ta có $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 Leftrightarrow C_{n + 8}^5 = 5.A_{n + 6}^3$
$ Leftrightarrow frac{{left( {n + 8} right)left( {n + 7} right)}}{{5!}} = 5 Leftrightarrow {n^2} + 15n – 544 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n = 17left( {nhan} right)\n = – 32left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn B.

Câu 19.Tìm giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $A_x^2.C_x^{x – 1} = 48.$
A. x = 4.
B. x = 3.
C. x = 7.
D. x = 12.

Điều kiện: $x ge 2$ và $x in mathbb{N}$.
Ta có $A_x^2.C_x^{x – 1} = 48 Leftrightarrow frac{{x!}}{{left( {x – 2} right)!}}.frac{{x!}}{{left( {x – 1} right)!.1!}} = 48$
$ Leftrightarrow left( {x – 1} right)x.x = 48 Leftrightarrow {x^3} – {x^2} – 48 = 0 Leftrightarrow x = 4left( {tho^u a ma~o n} right).$ Chọn A.

Câu 20.Tìm giá trị $n in mathbb{N}$ thỏa mãn $A_n^2 – C_{n + 1}^{n – 1} = 5.$
A. n = 3.
B. n = 5.
C. n = 4.
D. n = 6.

Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$
Ta có $A_n^2 – C_{n + 1}^{n – 1} = 5 Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} – frac{{left( {n + 1} right)!}}{{left( {n – 1} right)!2!}} = 5 Leftrightarrow left( {n – 1} right).n – frac{{nleft( {n + 1} right)}}{2} – 5 = 0$
$ Leftrightarrow {n^2} – 3n – 10 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n = – 2;left( {loai} right)\n = 5left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn B.

Câu 21.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $A_n^2 – 3C_n^2 = 15 – 5n.$
A. P = 5.
B. P = 6.
C. P = 30.
D. P = 360.

Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}.$
Ta có $A_n^2 – 3C_n^2 = 15 – 5n Leftrightarrow frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} – 3.frac{{n!}}{{2!.left( {n – 2} right)!}} = 15 – 5n$
$ Leftrightarrow nleft( {n – 1} right) – 3frac{{nleft( {n – 1} right)}}{2} = 15 – 5n Leftrightarrow – {n^2} + 11n – 30 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n = 6left( {nhan} right)\n = 5left( {nhan} right)end{array} right.$
-> P = 5.6 = 30
Chọn C.

Câu 22.Tìm giá trị $x in mathbb{N}$ thỏa mãn $3A_x^4 = 24left( {A_{x + 1}^3 – C_x^{x – 4}} right).$
A. x = 3.
B. x = 1.
C. x = 5.
D. $x = 1;{rm{ }}x = 5.$

Điều kiện: $x ge 4$ và $x in mathbb{N}$.
Ta có $3A_x^4 = 24left( {A_{x + 1}^3 – C_x^{x – 4}} right) Leftrightarrow 23.frac{{x!}}{{left( {x – 4} right)!}} = 24.left[ {frac{{left( {x + 1} right)!}}{{left( {x – 2} right)!}} – frac{{x!}}{{left( {x – 4} right)!.4!}}} right]$
$ Leftrightarrow 23.frac{1}{{left( {x – 4} right)!}} = 24.left[ {frac{{x + 1}}{{left( {x – 2} right)!}} – frac{1}{{left( {x – 4} right)!.4!}}} right] Leftrightarrow 23.frac{1}{1} = 24.left[ {frac{{x + 1}}{{left( {x – 2} right)left( {x – 3} right)}} – frac{1}{{1.24}}} right]$
$ Leftrightarrow 23 = 24.frac{{x + 1}}{{left( {x – 2} right)left( {x – 3} right)}} – 1 Leftrightarrow frac{{x + 1}}{{left( {x – 2} right)left( {x – 3} right)}} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1left( {loai} right)\x = 5left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn C.

Câu 23.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $frac{{A_{n + 4}^4}}{{left( {n + 2} right)!}} < frac{{15}}{{left( {n – 1} right)!}}$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.

Điều kiện: $n in mathbb{N}$.
Ta có $frac{{A_{n + 4}^4}}{{left( {n + 2} right)!}} < frac{{15}}{{left( {n – 1} right)!}} Leftrightarrow frac{{left( {n + 4} right)!}}{{left( {n + 2} right)!.n!}} < frac{{15}}{{left( {n – 1} right)!}} Leftrightarrow frac{{left( {n + 3} right)left( {n + 4} right)}}{n} < 15$
$ Leftrightarrow left( {n + 3} right)left( {n + 4} right) < 15n Leftrightarrow {n^2} – 8n + 12 < 0 Leftrightarrow 2 < n < 6 to n in left{ {3,{rm{ }}4,{rm{ }}5} right}.$ Chọn C.

Câu 24.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 – 20 < 0$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.

Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}$.
Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 – 20 < 0 Leftrightarrow 2frac{{left( {n + 1} right)!}}{{2!.left( {n – 1} right)!}} + 3.frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} – 20 < 0$
$ Leftrightarrow nleft( {n + 1} right) + 3left( {n – 1} right)n – 20 < 0 Leftrightarrow 2{n^2} – n – 10 < 0 Leftrightarrow – 2 < n < frac{5}{2} to n = 2.$ Chọn A.

Câu 25.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + {rm{ }}3A_n^2 < 30$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.

Điều kiện: $n ge 2$ và $n in mathbb{N}$.
Ta có $2C_{n + 1}^2 + {rm{ }}3A_n^2 < 30 Leftrightarrow 2.frac{{left( {n + 1} right)!}}{{2!left( {n – 1} right)!}} + 3.frac{{n!}}{{left( {n – 2} right)!}} < 30$
$ Leftrightarrow nleft( {n + 1} right) + 3left( {n – 1} right)x < 30 Leftrightarrow 2{n^2} – n – 15 < 0 Leftrightarrow – frac{5}{2} < n < 3 to n = 2.$ Chọn A.

Câu 26.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $14.{P_3}C_{n – 1}^{n – 3} < A_{n + 1}^4$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.

Điều kiện: $n ge 3$ và $n in mathbb{N}$.
Ta có $14.{P_3}C_{n – 1}^{n – 3} < A_{n + 1}^4 Leftrightarrow 14.3!.frac{{left( {n – 1} right)!}}{{left( {n – 3} right)!.2!}} < frac{{left( {n + 1} right)!}}{{left( {n – 3} right)!}}$
$begin{array}{l} Leftrightarrow 42left( {n – 2} right)left( {n – 1} right) < left( {n – 2} right)left( {n – 1} right)nleft( {n + 1} right) Leftrightarrow 42 < nleft( {n + 1} right)\ Leftrightarrow {n^2} + n – 42 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n < – 7\n > 6end{array} right.end{array}$
$ to left{ begin{array}{l}n ge 7\n in mathbb{N}end{array} right..$ Chọn D.

Câu 27.Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}C_x^y – C_x^{y + 1} = 0\4C_x^y – 5C_x^{y – 1} = 0end{array} right..$
A. $left{ begin{array}{l}x = 17\y = 8end{array} right..$
B. $left{ begin{array}{l}x = 17\y = – 8end{array} right..$
C. $left{ begin{array}{l}x = 9\y = 8end{array} right..$
D. $left{ begin{array}{l}x = 7\y = 9end{array} right..$

Điều kiện: $x ge y + 1$ và $x,y in mathbb{N}$.
Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{l}}{C_x^y – C_x^{y + 1} = 0}&{left( 1 right)}\{4C_x^y – 5C_x^{y – 1} = 0}&{left( 2 right)}end{array}} right.$.
Phương trình $left( 1 right) Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} Leftrightarrow y + y + 1 = x Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0$.
Phương trình $left( 2 right) Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y – 1} Leftrightarrow 4.frac{{x!}}{{y!.left( {x – y} right)!}} = 5.frac{{x!}}{{left( {y – 1} right)!.left( {x – y + 1} right)!}}$
$ Leftrightarrow frac{4}{y} = frac{5}{{x – y + 1}} Leftrightarrow 4x – 9y + 4 = 0.$
Do đó hệ phương trình đã cho $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x – 2y – 1 = 0\4x – 9y + 4 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 17\y = 8end{array} right.left( {tho^u a ma~o n} right).$ Chọn A.

Câu 28.Tìm cặp số $left( {x;y} right)$ thỏa mãn $frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = frac{{C_x^{y – 1}}}{2}.$
A. $left( {x;y} right) = left( {8;3} right).$
B. $left( {x;y} right) = left( {3;8} right).$
C. $left( {x;y} right) = left( { – 1;0} right).$
D. $left( {x;y} right) = left( { – 1;0} right),{rm{ }}left( {x;y} right) = left( {8;3} right).$

Điều kiện: $x ge y + 1$ và $x,y in mathbb{N}$.
$frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = frac{{C_x^{y + 1}}}{5} Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} Leftrightarrow frac{{5left( {x + 1} right)!}}{{y!left( {x + 1 – y} right)!}} = frac{{6x!}}{{left( {y + 1} right)!left( {x – y – 1} right)!}}$
$ Leftrightarrow frac{{5left( {x + 1} right)}}{{left( {x – y} right)left( {x – y + 1} right)}} = frac{6}{{left( {y + 1} right)}} Leftrightarrow 5left( {y + 1} right)left( {x + 1} right) = 6left( {x – y} right)left( {x – y + 1} right)$. $left( 1 right)$
$frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = frac{{C_x^{y – 1}}}{2} Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y – 1} Leftrightarrow frac{{x!}}{{5.left( {y + 1} right)!.left( {x – y – 1} right)!}} = frac{{x!}}{{2.left( {y – 1} right)!.left( {x – y + 1} right)!}}$
$ Leftrightarrow frac{1}{{5.yleft( {y + 1} right)}} = frac{1}{{2.left( {x – y} right)left( {x – y + 1} right)}}$ $ Leftrightarrow 5.yleft( {y + 1} right) = 2.left( {x – y} right)left( {x – y + 1} right) Leftrightarrow 15.yleft( {y + 1} right) = 6.left( {x – y} right)left( {x – y + 1} right)$. $left( 2 right)$
Từ $left( 1 right)$ và $left( 2 right)$, suy ra $ Leftrightarrow 5left( {y + 1} right)left( {x + 1} right) = 15.yleft( {y + 1} right) Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $left( 1 right)$, ta được
$ Leftrightarrow 15left( {y + 1} right)y = 6left( {2y – 1} right)2y Leftrightarrow 3{y^2} – 9y = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y = 0 to x = – 1left( {loai} right)\y = 3 to x = 8left( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn A.

Câu 29.Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = frac{1}{3}\C_y^x:A_y^x = frac{1}{{24}}end{array} right..$
A. $left{ begin{array}{l}x = 4\y = 1end{array} right..$
B. $left{ begin{array}{l}x = 4\y = 8end{array} right..$
C. $left{ begin{array}{l}x = 4\y = 1end{array} right.,{rm{ }}left{ begin{array}{l}x = 4\y = 8end{array} right..$
D. $left{ begin{array}{l}x = 1\y = 8end{array} right..$

Điều kiện: $y ge x$ và $x,y in mathbb{N}$.
Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = frac{1}{3}}&{left( 1 right)}\{C_y^x:A_y^x = frac{1}{{24}}}&{left( 2 right)}end{array}} right..$
Phương trình $left( 2 right) Leftrightarrow frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = frac{1}{{24}} Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x Leftrightarrow 24.frac{{y!}}{{x!left( {y – x} right)!}} = frac{{y!}}{{left( {y – x} right)!}} Leftrightarrow frac{{24}}{{x!}} = 1 Leftrightarrow x = 4$.
Thay $x = 4$ vào $left( 1 right)$, ta được $frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = frac{1}{3} Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 Leftrightarrow 3.frac{{y!}}{{4!.left( {y – 4} right)!}} = frac{{left( {y + 2} right)!}}{{4!.left( {y – 2} right)!}}$
$ Leftrightarrow frac{3}{1} = frac{{left( {y + 1} right)left( {y + 2} right)}}{{left( {y – 3} right)left( {y – 2} right)}} Leftrightarrow {y^2} – 9y + 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y = 1 < 4 = xleft( {nhan} right)\y = 8 > 4 = xleft( {nhan} right)end{array} right..$ Chọn B.

Câu 30.Giải hệ phương trình $left{ begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\5A_x^y – 2C_x^y = 80end{array} right.$.
A. $left{ begin{array}{l}x = 5\y = 2end{array} right..$
B. $left{ begin{array}{l}x = 20\y = 10end{array} right..$
C. $left{ begin{array}{l}x = 2\y = 5end{array} right..$
D. $left{ begin{array}{l}x = 6\y = 3end{array} right..$

Điều kiện: $x ge y$ và $x,y in mathbb{N}$.
Đặt $left{ begin{array}{l}u = A_x^y\v = C_x^yend{array} right.$, ta được $left{ begin{array}{l}2u + 5v = 90\5u – 2v = 80end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}u = 20\v = 10end{array} right.$.
Ta có $A_n^k = k!C_n^k to u = y!.v Leftrightarrow 20 = y!.10 Leftrightarrow y! = 2 Leftrightarrow y = 2.$
Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 Leftrightarrow A_x^2 = 20 Leftrightarrow frac{{x!}}{{left( {x – 2} right)!}} = 20 Leftrightarrow left( {x – 1} right)x = 20 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 5\x = – 4left( {loai} right)end{array} right..$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $left{ begin{array}{l}x = 5\y = 2end{array} right..$ Chọn A.

 

Sửa lần cuối: 7/11/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button