Kiến thức

Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)

3.2 Phương pháp Ostrogradski (

Ostrogradski method

):

Nếu Q(x) có nghiệm bội thì: intdfrac{P(x)}{Q(x)} , dx = dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)} + intdfrac{P_2(x)}{Q_2(x)}

Trong đó: Q1(x) là ước chung lớn nhất của Q(x) và Q’(x) (Q'(x) là đạo hàm cấp 1 của Q(x)); Q2(x) = Q(x) : Q1(x); P1(x) và P2(x) là những đa thức có hệ số chưa xác định, bậc của chúng lần lượt kém bậc của Q1(x) và Q2(x) 1 bậc.

Các hệ số của P1(x), P2(x) được tính bằng phép lấy vi phân của (5)

Ví dụ: Tính tích phân: int {dfrac{{3x + 2}}{{{{left( {{x^2} + 2x + 10} right)}^2}}}dx}

Ta có: Q(x) = (x^2+2x+10)^2 Rightarrow Q'(x) = 2(2x+2)(x^2+2x+10)

Suy ra: Q_1(x) = (x^2+2x+10) Rightarrow Q_2(x) = Q(x):Q_1(x) = x^2+2x+10

Khi đó: theo công thức mathop P_1(x) có bậc nhỏ hơn mathop Q_1(x) 1 bậc nên P_1(x) = ax+b

Tương tự: P_2(x) = cx + d

Do đó, theo công thức Ostrogradski ta có:

I = intdfrac{3x+2}{(x^2+2x+10)^2} = dfrac{ax+b}{(x^2+2x+10} + intdfrac{cx+d}{x^2+2x+10} dx

Để xác định hệ số a,b,c,d ta lấy đạo hàm 2 vế rồi quy đồng mẫu số. Đạo hàm 2 vế, ta có:

dfrac{3x+2}{(x^2+2x+10)^2} = dfrac{a.(x^2+2x+10)-(ax+b)(2x+2)}{(x^2+2x+10)^2} + dfrac{cx+d}{x^2+2x+10}

Kế tiếp, ta quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số 2 vế ta có:

3x+2 = cx^3+(-a+2c+d)x^2+(-2b+10c+2d)x+(10a-2b+10d)

Từ đó: a = -dfrac{1}{18} ; b = -dfrac{14}{9} ; c = 0 ; d= -dfrac{1}{18}

Vậy: mathop I = -dfrac{1}{18} dfrac{x+28}{x^2+2x+10} - dfrac{1}{18}intdfrac{dx}{x^2+2x+10} = -dfrac{1}{18} dfrac{x+28}{x^2+2x+10} - dfrac{1}{18} intdfrac{dx}{(x+1)^2+3^2}

Hay: mathop I = dfrac{1}{18} dfrac{x+28}{x^2+2x+10} -dfrac{1}{54}. arctan left( {dfrac{x+1}{3}} right) + C

Bài tập tự giải:

1. intdfrac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2} , dx

dfrac{1}{2}x^2 - dfrac{1}{x} +2ln left| {dfrac{x}{x-1}} right| + C

2. mathop intdfrac{xdx}{(x+2)(x+3)}

mathop ln left| {dfrac{(x+3)^3}{(x+2)^2}} right| + C

3. mathop intdfrac{x^2+2}{x(x+2)(x-1)}dx

mathop ln left| {dfrac{(x+2)(x-1)}{x}} right| +C

4. mathop intdfrac{x^3+1}{(x+2)(x-1)^3}

dfrac{7}{27}ln|x+2| + dfrac{20}{27}ln|x-1| - dfrac{7}{9} dfrac{1}{x-1} -dfrac{1}{3} dfrac{1}{(x-1)^2} + C

5. mathop intdfrac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2} dx

arctanx + dfrac{1}{2}ln(x^2+2) + C

6. mathop intdfrac{x^5-x^4+4x^3-4x^2+8x-4}{(x^2+2)^3}dx

dfrac{1}{2} ln(x^2+2) - dfrac{sqrt{2}}{2} arctan{dfrac{x}{sqrt{2}}} - dfrac{1}{(x^2+2)^2} + C

Bonus:

View this document on Scribd

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button