Kiến thức

Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến

Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm M_0(x_0;y_0) in D

1. Định nghĩa:

Ta nói M_0(x_0;y_0) là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại varepsilon _lân cận của M_o , B(M_0;varepsilon) sao cho:

f(x_0,y_0) le f(x,y) , forall (x,y) in B(M_0;varepsilon) , (x,y) ne (x_0;y_0)

( f(x_0,y_0) ge f(x,y) , forall (x,y) in B(M_0;varepsilon) , (x,y) ne (x_0;y_0) )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại mathop M_0 thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại mathop M_0

Nhận xét:

– Hàm số mathop z = f(x;y) đạt cực tiểu (cực đại) tại mathop M_0(x_0;y_0) nếu: {Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{Delta}x;y_0+{Delta}y) - f(x_0;y_0) ge 0 (le 0), forall {Delta}x , {Delta}y

– Nếu mathop {Delta}f(x_0;y_0) thay đổi dấu khi {Delta}x , {Delta}y thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại M_0

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số z = x^3 + y^3 có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét mathop N(0+{Delta}x;0+{Delta}y) là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

{Delta}f(0;0) = f({Delta}x;{Delta}y) - f(0;0) = ({Delta}x)^3 +({Delta}y)^3

Với {Delta}x > 0 , {Delta}y > 0 : {Delta}f(0;0) > 0

Với {Delta}x < 0 , {Delta}y < 0 : {Delta}f(0;0) < 0

Vậy {Delta}f(0;0) thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm mathop f(x,y) đạt cực trị (địa phương) tại M_0(x_0; y_0) in D và nếu f có các đạo hàm riêng tại M_0(x_0; y_0) thì:

{ dfrac{{partial}f}{{partial}x}}(x_0;y_0) = { dfrac{{partial}f}{{partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại M_0(x_0;y_0) (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm g(x) =f(x,y_0) ta có: g(x) = f(x;y_0) le g(x_0) = f(x_0;y_0) , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay: g'(x_0) = 0

Mặt khác: g'(x_0) = { dfrac{{partial}f}{{partial}x}}(x_0;y_0) . Vậy: { dfrac{{partial}f}{{partial}x}}(x_0;y_0) = 0

Tương tự, nếu xét hàm h(y) = f(x_0;y) ta sẽ có: { dfrac{{partial}f}{{partial}y}}(x_0;y_0) = 0

Điểm mathop (x_0;y_o) mà tại đó { dfrac{{partial}f}{{partial}x}}(x_0;y_0) = { dfrac{{partial}f}{{partial}y}}(x_0;y_0) = 0 , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số mathop z = f(x;y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng mathop M_0(x_0;y_0)

Đặt: A = { dfrac{{partial}^2f}{{partial}x^2}}(x_0;y_0) ; B = { dfrac{{partial}^2f}{{partial}x{partial}y}}(x_0;y_0) ; C = { dfrac{{partial}^2f}{{partial}y^2}}(x_0;y_0)

Khi đó:

a. Nếu B^2 - AC < 0 A > 0 (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu B^2 - AC < 0 A < 0 (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu B^2 - AC > 0 thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu B^2 - AC = 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: z = x^3 + y^3 - 3xy

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số: z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2


Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button