Kiến thức

Đạo hàm hàm số ẩn

Đạo hàm hàm số ẩn

Ví dụ: Tìm { dfrac{{partial}z}{{partial}x}} , { dfrac{{partial}z}{{partial}y}} nếu x^3 + 2y^3 + z^3 - 3xyz -2y + 3 = 0

Cách 1: ký hiệu vế trái của phương trình là F(x,y,z). Khi đó:

F_x^{'} = 3x^2 - 3yz ; F_y^{'} = 6y^2 - 3xz - 2 ; F_z^{'} = 3z^2 - 3xy

Theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

{ dfrac{{partial}z}{{partial}x}} = - { dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} = - { dfrac{3x^2-3yz}{3z^2-3xy}} ; { dfrac{{partial}z}{{partial}y}} = - { dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}} = - { dfrac{6y^2 - 3xz - 2}{3z^2-3xy}}

Cách 2: Lấy vi phân phương trình đã cho ta có:

d(x^3) + d(2y^3) + d(z^3) - 3d(xyz) - 2dy = 0

Hay: 3x^2dx + 6y^2yd + 3z^2dz - 3yzdx - 3xzdy - 3xydz - 2dy = 0

Từ đó, ta tìm dz:

dz = { dfrac{3(x^2-yz)dx+(6y^2 - 3xz -2)dy}{3(xy-z^2)}}

So với công thức dz = { dfrac{{partial}z}{{partial}x}}dx + { dfrac{{partial}z}{{partial}y}}dy , ta có:

{ dfrac{{partial}z}{{partial}x}} = { dfrac{x^2-yz}{zy-z^2}} , { dfrac{{partial}z}{{partial}y}} = { dfrac{6y^2-3xz-2}{3(xy-z^2)}}

Ví dụ 2: Cho xyz = x + y +z , tìm dz

Cách 1: Xét F(x,y,z) = xyz – x – y – z . Ta tìm z_x^{'} , z_y^{'} theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

F_x^{'} = yz - 1 ; F_y^{'} = xz - 1 ; F_z^{'} = xy - 1

Nên:

{ dfrac{{partial}z}{{partial}x}} = - { dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} = - { dfrac{yz-1}{xy-1}} ; { dfrac{{partial}z}{{partial}y}} = - { dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}} = - { dfrac{xz - 1}{xy -1}}

Vậy: dz = - { dfrac{1}{xy-1}}[(yz-1)dx+(xz-1)dy]

Cách 2: Lấy vi phân hai vế của phương trình, ta có:

d(xyz) = d(x+y+z) Rightarrow yzdx + xzdy + xydz = dx + dy + dz

Từ đó, ta có: dz = - { dfrac{1}{xy-1}}[(yz-1)dx+(xz-1)dy]

Ví dụ 3: Cho x + y + z = e^z Tìm { dfrac{{partial}^2z}{{partial}x^2}} , { dfrac{{partial}^2z}{{partial}x{partial}y}}

Ta có: z_x^{'} = { dfrac{1}{e^z - 1}} (*)

Để tính tiếp đạo hàm riêng cấp 2, ta cần chú ý z là hàm theo biến x, y. Đo đó để tìm tiếp đạo hàm riêng cấp 2 thì ta phải lấy đạo hàm của (*) theo quy tắc hàm hợp. Ta có:

z_{xx}^{''} = left(z_x^{'} right)_x^{'} = left({ dfrac{1}{e^z - 1}} right)_x^{'} = left({ dfrac{1}{e^z - 1}} right)_z^{'} . z_x^{'} \ = -{ dfrac{e^z}{(e^z-1)^2}}.{ dfrac{1}{e^z-1}} = -{ dfrac{e^z}{(e^z-1)^3}}

Tương tự: z_{xy}^{''} = left(z_x^{'} right)_y^{'} = left({ dfrac{1}{e^z - 1}} right)_y^{'} = left({ dfrac{1}{e^z - 1}} right)_z^{'} . z_y^{'} (*)

Vậy ta cần tính z_y^{'} . Sử dụng công thức (2.3) ta có: z_y^{'} = { dfrac{1}{e^z-1}}

Thế vào (*) ta có x_{xy}^{''} = { dfrac{e^z}{(1-e^z)^3}}

Ví dụ 4: Cho hàm ẩn z = z(x;y) xác định bởi z - xe^{y/z} = 0 . Hãy tính gần đúng z(0,98 ; 0,01)

Ta có công thức tính gần đúng: z(0,98 ; 0,01) approx z(1;0) + z_x^{'}(1;0)(-0,02) + z_y^{'}(1;0) (0,01)

Mặt khác: cho x = 1, y = 0 vào phương trình, ta có z(1;0) = 1

Mà: F_x^{'} = -e^{y/z} ; F_y^{'} = -{ dfrac{x}{z}}e^{y/z} ; F_z^{'} = 1 + { dfrac{xy}{z^2}e^{y/z}}

Tại x = 1, y = 0, z = 1 Ta có: F_x^{'}(1;0;1) = -1 ; F_y^{'} = -1 ; F_z^{'} = 1 . Vậy: z_x^{'}(1;0) = 1 ; z_y^{'}(1;0) = 1

Do đó: z(0,98;0,01) approx 1 + 1.(-0,02) + 1.(0,01) = 0,99

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button