Kiến thức

Giới hạn của hàm hai biến số

Giới hạn của hàm hai biến số

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm M_n(x_n, y_n) dần đến điểm M_0(x_0,y_0) và viết M_n to M_0 , nếu dãy khoảng cách d(M_n, M_0) dần đến 0 khi n to infty .

Nhận xét:

d(M_n;M_0) = sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}

nên : mathop {lim }limits_{n to infty } d({x_n};{y_n}) = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {x_n} to {x_0} \ {y_n} to {y_0} \ end{array} right.

Ví dụ 1:

left( { dfrac{1}{n}};{ dfrac{1}{n}} right) to left( 0;0 right) ; left({ dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} right)xrightarrow{nto infty }(1;0)

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm (a; b) in {mathbb{R}}^2 là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy {x_n ; y_n } in E, (x_n ; y_n) ne (a; b) sao cho (x_n ; y_n) to (a; b)

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M_0(x_0, y_0), (có thể trừ điểm M_0 ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến M_0 khi và chỉ khi: với mọi dãy M_n(x_n ; y_n) (ne M_0) dần tiến đến M_0 ta đều có: underset{nto infty }{mathop{lim}} , f(x_n; y_n) = L

Khi đó, ta viết: limlimits_{(x;y) to (x_0;y_0)} f(x;y) = L hay underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim}} , f(x;y) = L

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi x to x_0, y to y_0 (hay là M(x;y) to M_0(x_0 ; y_0) nếu:

forall varepsilon >0,exists delta >0:d(M,M_0)< delta Rightarrow left| f(M)-L right| < varepsilon

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến (x_0; y_0) theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến (x_0; y_0) , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy left(x_n^1;y_n^1 right) , left( x_n^2;y_n^2 right) cùng dần tiến về left( x_0;y_0 right) nhưng : fleft( x_{n}^{1};y_{n}^{1} right)to {{L}_{1}}ne fleft( x_{n}^{2};y_{n}^{2} right)to {{L}_{2}} .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi x to x_0, y to y_0 .

2. Định lý:

Cho lim f(x;y) = a, qquad lim g(x;y) = b thì:

1. lim left[ f(x;y)+g(x;y) right] = a+b

2. lim cf(x;y) = c.a (c là hằng số hữu hạn)

3. lim left[ f(x;y).g(x;y) right] = a.b

4. lim left[ dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} right] = dfrac{a}{b} (b ne 0)

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

h(x;y)le f(x;y)le g(x;y),forall (x;y)in D

Hơn nữa: lim h(x;y) = lim g(x;y) = 0

Khi đó: lim f(x;y) = 0

4. Các ví dụ:

a.underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , dfrac{sin xy}{x} = underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , dfrac{y.sin xy}{xy} = underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , y.underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , dfrac{sin xy}{xy} = 0.1 = 0

b. underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Cách 1: Ta xét hai dãy left( dfrac{1}{n}; dfrac{1}{n} right),left( dfrac{1}{n}; dfrac{2}{n} right)to (0;0)

Ta có: f(x;y) = dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Và: f left( dfrac{1}{n} ; dfrac{1}{n} right) = { dfrac{{ dfrac{1}{n^2}}}{{ dfrac{1}{n^2}}+{ dfrac{1}{n^2}}}} to { dfrac{1}{2}}

nhưng f left( { dfrac{1}{n}};{ dfrac{2}{n}} right) = { dfrac{{ dfrac{2}{n^2}}}{{ dfrac{1}{n^2}}+{ dfrac{4}{n^2}}}} to { dfrac{2}{5}}

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = underset{xto 0}{mathop{lim }} , dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. underset{begin{smallmatrix} xto 0 \ yto 0 end{smallmatrix}}{mathop{lim }} , dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}

Ta có: 0le left| dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} right|le left| dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} right| = dfrac{1}{2}left| x right|, forall (x,y) ne (0;0)

Mà: underset{(x;y)to (0;0)}{mathop{lim }},left| x right| = 0

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: limlimits_{(x;y) to (0;0)} left|{ dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} right| = 0

Vậy: limlimits_{(x;y) to (0;0)} { dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị y ne y_0 , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},f(x;y)=g(y)

Nếu tồn tại giới hạn: underset{yto {{y}_{0}}}{mathop{lim }},g(y) = a thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi x to x_0 , y to y_0 và viết:underset{yto {{y}_{0}}}{mathop{lim }} , left( underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},f(x;y) right) = a .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},left( underset{yto {{y}_{0}}}{mathop{lim }},f(x;y) right)

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive