Kiến thức

Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

Ví dụ: Xác định cận lấy tích phân sau trong tọa độ cực:

1. D giới hạn bởi : x^2 + y^2 = 1

Ta có:  D giới hạn bởi đường tròn tâm O , bán kính 1 nên O nằm trong miền D, và mọi tia xuất phát từ  O cắt biên tại 1 điểm có: r = 1 Do đó theo (3) ta có : D ={ 0 le varphi le 2pi ; o le r le 1 }

2 D giới hạn bởi x^2 + y^2 = 2ax

tptdcuc1Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2 tia xuất phát từ O tiếp xúc với đường tròn chính là 2 tia alpha = - { dfrac{pi}{2}} , beta = { dfrac{pi}{2}}

Do đường tròn đi qua O nên cận dưới r = 0, cận trên,: chuyển D qua tọa độ cực ta có r^2=2ar{cos}varphi Rightarrow r=2a{cos}varphi

Vậy cận lấy tích phân của miền D là:

D = left{-{ dfrac{pi}{2}} le varphi le { dfrac{pi}{2}} ; 0 le r le 2acosvarphi right}

3. D giới hạn bởi x^2 + y^2 = 2ay

Hoàn toàn tương tự, bạn sẽ tìm được cận lấy tích phân của miền D là: D =left{0le varphi le pi ; o le r le 2asinvarphi right}

tptdcuc24. D là miền giới hạn bởi đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R bất kỳ.

Trong trường hợp này, việc tìm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ rất vất vả, đôi khi lại không rơi vào các góc đặc biệt. Và việc tìm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ AB cũng không phải đơn giản.

Tuy nhiên, nếu tịnh tiến tâm đường tròn về góc tọa độ thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều vì sẽ trở về ví dụ 1.

Với miền D có dạng này, trước tiên ta đổi biến. Đặt: left{begin{array}{l} X = x - a \ Y = y - b \ end{array} right.

Khi đó:

iintlimits_{D} f(x,y) , dxdy = iintlimits_{X^2+Y^2=R^2} f(X+a;Y+b) , dXdY = intlimits_{0}^{2pi} , d{varphi} intlimits_{0}^{R} f left( a + rcos{varphi} ; a + rsin{varphi} right) , rdr

5. Cho I= iintlimits_D g left({sqrt{x^2+y^2}} right) , dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng: y = 0 ; y = x ; x =1

Ở đây, tuy miền D là miền tam giác và ta dễ dàng xác định cận giới hạn của miền D là: D = { 0 le x le 1 ; 0 le y le x } , nhưng trong hàm lấy tích phân là g(sqrt{x^2+y^2} ) nên việc lấy tích phân sẽ phức tạp. Do đó, cần chuyển sang tọa độ cực.

Khi đó: bạn dễ dàng nhận thấy miền  D giới hạn bởi 2 tia varphi = 0 ; varphi = { dfrac{pi}{4}} , gốc O thuộc miền D nên chỉ cần tìm cận trên của r . Dựa vào hình vẽ: cận trên được xác định rcosvarphi = 1 Rightarrow r = { dfrac{1}{cosvarphi}}

Vậy: I = intlimits_{0}^{ dfrac{pi}{4}} , d{varphi} intlimits_0^{(cosvarphi)^{-1}} rg(r) , dr

Cách 2:  xác định cận bằng phương pháp đại số.

Chuyển các phương trình đường cong sang tọa độ cực. Chú ý điều kiện ban đầu r ge 0 ; varphi in [0;2{pi}] left([-pi;pi] right) Khi đó: bạn sẽ có các trường hợp sau:

TH1: chỉ có duy nhất đường cong r = r(varphi)

Trường hợp này, ta tìm điều kiện của varphi để r(varphi) ge 0 . Khi đó, kết hợp điều kiện varphi in [0; 2{pi}] ta có cận của varphi ; còn cận của r sẽ là: 0 le r le r(varphi)

Ví dụ 1: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi r = 1 - cos{varphi}

Ta có: r = 1 - cos{varphi} ge 0 , forall varphi in [0;2{pi}]

Do đó cận lấy tích phân được xác định bởi: D = left{ 0 le varphi le 2{pi} ; 0 le r le 1 - cos(varphi) right}

Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi đường cong: (x^2+y^2)^{dfrac{3}{2}} = 2xy

Rõ ràng, trong trường hợp này, việc vẽ miền D để xác định cận là việc làm tương đối khó khăn.

Nếu chuyển qua tọa độ cực, ta có: r^3 = 2r^2cos{varphi}sin{varphi}

Hay: r = 2cos{varphi}sin{varphi}

Do điểm (0;0) nằm trên đường cong, nên gốc O thuộc vào miền lấy tích phân D. Nên:

0 le r le sin2{varphi}

Như vậy, ta phải có điều kiện: sin{varphi}.cos{varphi} ge 0

Nghĩa là: varphi in left[0; dfrac{pi}{2}right] hoặc varphi in left[ pi ; dfrac{3pi}{2} right]

Như vậy miền D gồm hai miền:

D_1 = left{ 0 le varphi le dfrac{pi}{2} ; 0 le r le sin2{varphi} right}

D_2 = left{ pi le varphi le dfrac{3pi}{2} ; 0 le r le sin2{varphi} right}

TH2: thu được 2 đường cong xác định bởi: r_1(varphi) le r le r_2(varphi)

Với trường hợp này, ta phải tìm điều kiện của varphi để:

left{begin{array}{l} r_1(varphi) ge 0 \ r_2(varphi) ge 0 \ r_2(varphi) ge r_1(varphi) \ end{array} right.

Ví dụ: D là miền giới hạn nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính 1 và nằm trong đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1.

Theo giả thiết ta có: D = left{ (x,y): 1 le x^2 + y^2 le 2x right}

Chuyển qua tọa độ cực ta có: 1 le r^2 le 2rcos{varphi}

Hay: 1 le r le 2cos{varphi}

Như vậy, ta phải có điều kiện: 2cos{varphi} ge 1 Rightarrow cos{varphi} ge dfrac{1}{2}

Từ đó, ta có: -dfrac{pi}{3} le varphi le dfrac{pi}{3}

Vậy: D =left{ -dfrac{pi}{3} le varphi le dfrac{pi}{3} ; 1 le r le 2cos{varphi} right}

Ngoài ra, còn một số trường hợp khác dành cho các bạn nghiên cứu thêm.

3. Đổi biến trong tích phân kép:

Cho hàm số f(x;y) liên tục trong miền D đóng và bị chặn.

Xét phép đổi biến: x = x(u;v) ; y = y(u;v) (1)

Giả sử:

– D’ là tạo ảnh của D qua phép biến đổi (1)

– (1) xác định một song ánh từ D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi biến biến miền D trong mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho mỗi điểm (u;v) thuộc D’ chỉ tương ứng duy nhất với 1 điểm (x;y) thuộc D).

– Các hàm số x(u;v)y(u;v) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên D’, thỏa mãn điều kiện:

J = dfrac{D(x;y)}{D(u;v)} = left|begin{array}{ll} dfrac{{partial}x}{{partial}u} & dfrac{{partial}x}{{partial}v} \ dfrac{{partial}y}{{partial}u} & dfrac{{partial}y}{{partial}v} \ end{array} right| ne 0 , forall (u;v) in D'

(J được gọi là định thức Jacobi của các hàm số x và y)

Khi đó, ta có công thức đổi biến sau:

iintlimits_D f(x,y) , dxdy = iintlimits_{D'} fleft[x(u;v);y(u;v) right].|J| , dudv

(Ta công nhận công thức đổi biến trên)

Pic1

Ví dụ: Tính I = iintlimits_D (x+y) , dxdy với D giới hạn bởi: y = -x ; y = -x + 3 ; y = 2x + 1 ; y = 2x - 1

Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù lấy theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Do đó, việc tính toán sẽ phức tạp.

Dễ dàng nhận thấy miền D bị giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng song song. Cặp thứ nhất có dạng: x + y = a và cặp thứ hai có dạng: 2x - y = b

Do đó: thực hiện phép đổi biến. Đặt:

left{begin{array}{ll} x + y = u \ 2x - y = v \ end{array} right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll} x = dfrac{u + v}{3} \ y = dfrac{2u-v}{3} \ end{array} right.

Khi đó: J = left|begin{array}{cc} dfrac{1}{3} & dfrac{1}{3} \ dfrac{2}{3} & dfrac{-1}{3} \ end{array} right| = - dfrac{1}{3} ne 0

Và: D' = left{(u;v): 0 le u le 3 ; -1 le y le 1 right}

Nên: I = iintlimits_{D'} u. left| -dfrac{1}{3} right| , dudv = dfrac{1}{3} left( intlimits_0^3 u , du right) . left( intlimits_{-1}^{1} dv right) = 3

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button