Kiến thức

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn-Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn


1. Nhị thức Newton

Định lí: ({(a + b)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} )

(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} )

(+ … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n})

2. Nhận xét

Trong khai triển Newton ({(a + b)^n}) có các tính chất sau

– Gồm có (n + 1) số hạng

– Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

– Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

– Các hệ số có tính đối xứng: (C_n^k = C_n^{n – k})

– Số hạng tổng quát : ({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n – k}}{b^k})

VD: Số hạng thứ nhất ({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}),

Số hạng thứ k:

({T_{(k – 1) + 1}} = C_n^{k – 1}{a^{n – k + 1}}{b^{k – 1}})

3. Hệ quả

Ta có : ({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + … + {x^n}C_n^n)

Từ khai triển này ta có các kết quả sau:

– (C_n^0 + C_n^1 + … + C_n^n = {2^n})

– (C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 – … + {( – 1)^n}C_n^n = 0)

4. Bài toán

Xác định hệ số của số hạng chứa ({x^m}) trong khai triển:

({left( {a{x^p} + b{x^q}} right)^n}) với (x > 0)      ((p,q) là các hằng số khác nhau).

Bạn đang xem: Bài 3: Nhị thức Niu-tơn-Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

Phương pháp giải:

Ta có:

({left( {a{x^p} + b{x^q}} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{{left( {a{x^p}} right)}^{n – k}}{{left( {b{x^q}} right)}^k}}  )

(= sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}} )

Số hạng chứa ({x^m}) ứng với giá trị (k) thỏa: (np – pk + qk = m).

Từ đó tìm (k = frac{{m – np}}{{p – q}})

Vậy hệ số của số hạng chứa ({x^m}) là: (C_n^k{a^{n – k}}.{b^k}) với giá trị (k) đã tìm được ở trên.

Nếu (k) không nguyên hoặc (k > n) thì trong khai triển không chứa ({x^m}), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa ({x^m}) trong khai triển

(Pleft( x right) = {left( {a + b{x^p} + c{x^q}} right)^n}) được viết dưới dạng ({a_0} + {a_1}x + … + {a_{2n}}{x^{2n}}).

Ta làm như sau:

– Viết (Pleft( x right) = {left( {a + b{x^p} + c{x^q}} right)^n} )

(= sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{{left( {b{x^p} + c{x^q}} right)}^k}} );

– Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ({left( {b{x^p} + c{x^q}} right)^k}) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

– Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ({x^m}).

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

– Tính hệ số ({a_k}) theo (k) và (n);

– Giải bất phương trình ({a_{k – 1}} le {a_k}) với ẩn số (k);

– Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số (x_{16}) trong khai triền ((x^2-2x)^{10}).

Xem thêm: Cách Giải Toán Trên Máy Tính Casio Fx 570es Plus Nhanh Nhất

Hướng dẫn giải: 

Ta có: ({left( {{x^2} – 2x} right)^{10}} = ,{sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 – k}}{left. { – 2x} right)^k})

(= ,sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 – 2k}}{x^k}} {left. { – 2} right)^k} = ,sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 – k}}} {left. { – 2} right)^k})

Ta chọn: (20 – k= 16) (Leftrightarrow ,k = 4)

=> Hệ số (x_{16}) trong khai triển là (C_{10}^4 = 3360)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của (x^2) trong khai triển của ((1-3x)^n) là 90. Tìm n.

Xem thêm: Công thức Con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật lý 12-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Hướng dẫn giải: 

Với số thực (x ne 0) và với mọi số tự nhiên (n ge 1), ta có:

({(1 – 3x)^n} = ,{[1 – (3x)]^n} )

(sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n – k}}{( – 3)^k}{x^k})

Suy ra hệ số của (x^2) trong khai triển này là ({3^2}C_n^2). Theo giả thiết, ta có:

({3^2}C_n^2= 90Rightarrow)(C_n^2, = 10)

Từ đó ta có: 

(frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 10, Leftrightarrow ,n(n – 1), = ,20)

(Leftrightarrow ,{n^2}, – ,n = ,20, Leftrightarrow ,n = , – 4) (loại) hoặc (n= 5)

Đáp số: (n= 5)

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển (f(x) = {left( {x – frac{2}{x}} right)^{12}}{rm{    (}}x ne 0).)

Xem thêm: Axit panmitic có công thức là

Hướng dẫn giải:

Ta có: (f(x) = {(x – 2.{x^{ – 1}})^{12}})

(= sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 – k}}.{{( – 2{x^{ – 1}})}^k}} )

(=sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( – 2)}^k}{x^{12 – 2k}}} )

Số hạng không chứa (x) ứng với giá trị (k) thỏa mãn: (12 – 2k = 0Leftrightarrow k = 6)

(Rightarrow ) số hạng không chứa (x) là:

(C_{12}^6{.2^6} = 59136).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của ({x^4}) trong khai triển sau: (f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}).

Hướng dẫn giải:

(fleft( x right) = {left( {1 + 2x + 3{x^2}} right)^{10}} )

(= sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {left( {2x + 3{x^2}} right)^k})

( = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} sumlimits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k – i}}.{(3{x^2})^i} )

(= sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} sumlimits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k – i}}{.3^i}{x^{k + i}})

với (0 le i le k le 10).

Do đó (k + i = 4) với các trường hợp (i = 0,k = 4) hoặc (i = 1,k = 3) hoặc (i = k = 2).

Vậy hệ số chứa ({x^4}):

({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 )

(= 8085).

Bài học tiếp theo

Bài 4: Phép thử và biến cố

Bài 5: Xác suất của biến cố

Bài học bổ sung

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button