Kiến thức

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit-Tìm đáp án, giải bài

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit


Video bài giảng

2.1. Các phương pháp giải phương trình mũ

Bạn đang xem: Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit-Tìm đáp án, giải bài

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với (0

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với (0 < a neq 1, log_ab) là số x sao cho (a^x=b)

Với (00:a^x=bLeftrightarrow x=log_ab)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
    • Dạng 1: (a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0)
      • Đặt (t=m^{f(x)} (t>0))
      • Ta có: (a.t^2+b.t+c=0)
    • Dạng 2: (a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0) trong đó (m.n=1)
      • Đặt (t=n^{f(x)}Rightarrow m^{f(x)}=frac{1}{t} (t>0))
      • Ta có:   (a.frac{1}{t} + b.t + c = 0 Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0).
    • Dạng 3: (a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0)
      • Chia 2 vế cho (n^{2g(x)}) ta có:
      • (a.left (frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} right )^2+b.left (frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} right )^2+c=0)
      • Đặt (t=frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}})
      • Ta có (a.t^4+b.t^2+c=0).
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 
    • Xem ẩn đầu là tham số
    • Đưa về phương trình tích
    • Đưa về hệ phương trình
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
    • Đưa về phương trình tích
    • Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

  • Xét hàm số (y=a^x):
    • Nếu (a>1): (y=a^x) đồng biến trên (mathbb{R}.)
    • Nếu (0
  • Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
  • Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
  • Cho hàm số (f(x)) và (g(x)), nếu:
    • (f(x))đồng biến trên D.
    • (g(x)) ​nghịch biến trên D.

⇒ (f(x)-g(x)) đồng biến trên D.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với (00 end{matrix}right.)

b) Phương pháp mũ hóa

Với (0

Xem thêm: Các phương pháp giải hệ phương trình

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Xem ẩn ban đầu là tham số.
    • Đưa về phương trình tích.
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về phương trình tích
    • Xem 1 ẩn là tham số
    • Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

  • Xét hàm số (y = {log _a}x,(0 < a ne 1):)
    • (a>1, y =log_a x) đồng biến trên ((0;+infty )).
    • ​(0
  • Xét hai hàm số (f(x)) và (g(x):)
    • Nếu (f(x)) và (g(x)) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì (f(x)+g(x)) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
    • Nếu (f(x)) và (g(x)) là hai hàm số đồng biến trên tập D và (f(x).g(x)>0) thì (f(x).g(x)) là hàm số đồng biến trên tập D.
    • Nếu (f(x)) đồng biến trên D, (g(x)) nghịch biến trên D:
      • (f(x)-g(x)) đồng biến trên D.
      • (f(x)-g(x)) nghịch biến trên D.
  • Nếu hàm số (f(x)) đồng biến trên D và (g(x)) nghịch biến trên D thì phương trình (f(x)=g(x)) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
  • Xét phương trình (f(x)=m): Nếu (f(x)) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  ({2^{{x^2} + 3x – 2}} = frac{1}{4})

b) ({left( {frac{3}{4}} right)^{x – 1}}.sqrt {{{left( {frac{4}{3}} right)}^{frac{8}{x}}}} = frac{9}{{16}})  

Lời giải:

a) ({2^{{x^2} + 3x – 2}} = frac{1}{4} Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x – 2}} = {2^{ – 2}})

(Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = – 2 Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = – 3 end{array} right.)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) ({left( {frac{3}{4}} right)^{x – 1}}.sqrt {{{left( {frac{4}{3}} right)}^{frac{8}{x}}}} = frac{9}{{16}})

 (begin{array}{l} Leftrightarrow {left( {frac{3}{4}} right)^{x – 1}}.{left( {frac{4}{3}} right)^{frac{4}{x}}} = {left( {frac{3}{4}} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {frac{3}{4}} right)^{x – 1}}.{left( {frac{3}{4}} right)^{ – frac{4}{x}}} = {left( {frac{3}{4}} right)^2} end{array})

 

(Leftrightarrow x – 1 – frac{4}{x} = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {x_1} = – 1\ {x_2} = 3 end{array} right. Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3).

Ví dụ 2:

Giải phương trình  ({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 Leftrightarrow {log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {log _3}1)

(Leftrightarrow x + {x^2}{log _3}2 = 0 Leftrightarrow xleft( {1 + x{{log }_3}2} right) = 0)

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ 1 + x{log _3}2 = 0 end{array} right.)(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = – frac{1}{{{{log }_3}2}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = – {log _2}3 end{array} right.)

Vậy phương trình có nghiệm: (x = 0,x = – {log _2}3).

Xem thêm: Hồi quy đa thức sử dụng scikit-learn

Ví dụ 3: 

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  ({3.25^x} – {2.5^{x + 1}} + 7 = 0)

b)  ({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} – 1)

Lời giải:

a) Phương trình (Leftrightarrow {3.25^x} – {10.5^x} + 7 = 0). Đặt (t = {5^x},left( {t > 0} right))

Khi đó phương trình trở thành: (3{t^2} – 10t + 7 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 1\ t = frac{7}{3} end{array} right.)

(*) Với (t = 1 Rightarrow {5^x} = 1 Leftrightarrow x = 0)

(*) Với (t = frac{7}{3} Rightarrow {5^x} = frac{7}{3} Leftrightarrow x = {log _5}left( {frac{7}{3}} right))

Vậy phương trình có tập nghiệm: (S = left{ {0;{{log }_5}left( {frac{7}{3}} right)} right}).

b) Đặt: (left{ begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\ v = {2^{1 – {x^2}}} end{array} right.,,u,v > 0)

Nhận xét: (u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 – {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}})

Khi đó phương trình tương đướng với:

(u + v = uv + 1 Leftrightarrow (u – 1)(v – 1) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} u = 1\ v = 1 end{array} right.)

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\ {2^{1 – {x^2}}} = 1 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {x^2} + x = 0\ 1 – {x^2} = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = 1\ x = – 1 end{array} right.).

Ví dụ 4: 

a) (x + {2.3^{{{log }_2}x}} = 3)

b) ({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {(x – 1)^2})

Lời giải:

a) Điều kiện: (x>0)

(x + {2.3^{{{log }_2}x}} = 3 Leftrightarrow {2.3^{{{log }_2}x}} = 3 – x) (*)

Nhận xét: 

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy: (x=1) là nghiệm của phương trình (*).

Vậy (x=1) là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có: ({(x – 1)^2} ge 0 Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 ge 0 Leftrightarrow {x^2} – x ge x – 1)

Suy ra: ({2^{{x^2} – x}} ge {2^{x – 1}} Leftrightarrow {2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} le 0) (Do hàm số (y=2^t) đồng biến)

Vậy: (left{ begin{array}{l} VT le 0\ VP ge 0 end{array} right.)

Mà: (VT=VP)

Suy ra: (VT=VP=0)(Rightarrow left{ begin{array}{l} {(x – 1)^2} = 0\ {2^{x – 1}} = {2^{{x^2} – x}} end{array} right. Leftrightarrow x = 1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x=1.)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình ({log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {log _{sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)) (Đưa về cùng cơ số)

Lời giải:

Điều kiện: ({3^{50}} + 2x > 0), khi đó ta có:

({log _3}left( {{9^{50}} + 6{x^2}} right) = {log _{sqrt 3 }}left( {{3^{50}} + 2x} right) Leftrightarrow {log _3}left( {{9^{50}} + 6{x^2}} right) = {log _3}{left( {{3^{50}} + 2x} right)^2})

(begin{array}{l} Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {left( {{3^{50}} + 2x} right)^2}\ Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\ Leftrightarrow 2{x^2} – 4x{.3^{50}} = 0\ Leftrightarrow 2x(x – {2.3^{50}}) = 0\ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\ {x = {{2.3}^{50}}} end{array}} right. end{array})

Xem thêm: Năng lượng hạt nhân và quá trình khử cacbon hiệu quả về chi phí của hệ thống điện

Ví dụ 6:

Giải phương trình ({log _{{x^2} – 1}}left( {2sqrt 2 } right) = frac{1}{2}) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện: (left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 1 > 0}\ {{x^2} – 1 ne 1} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x < – 1 vee x > 1}\ {x ne pm sqrt 2 } end{array}} right.)

(begin{array}{l} {log _{{x^2} – 1}}left( {2sqrt 2 } right) = frac{1}{2} Leftrightarrow 2sqrt 2 = {left( {{x^2} – 1} right)^{frac{1}{2}}} = sqrt {{x^2} – 1} \ Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 Leftrightarrow x = pm 3. end{array})

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Ví dụ 7: 

Giải phương trình  (log _{frac{1}{2}}^2x + 2{log _{sqrt 2 }}x = 5) (Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

 (begin{array}{l} log _{frac{1}{2}}^2x + 2{log _{sqrt 2 }}x = 5 Leftrightarrow {{rm{[}} – {log _2}x{rm{]}}^2} + 4{mathop{rm log_2x}nolimits} = 5\ Leftrightarrow log _2^2x + 4log_2 x = 5 end{array})

Đặt: (t = {log _2}x.) Phương trình trở thành:

({t^2} + 4t – 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = – 5\ t = 1 end{array} right. Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{{log }_2}x = – 5}\ {{{log }_2}x = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ – 5}}}\ {x = 2} end{array}.} right.)

Vậy phương trình có hai nghiệm: (x=2) và (x=frac{1}{32}).

Ví dụ 8:

Giải phương trình ({log _2}({x^2} – 4) + x = {log _2}left[ {8(x + 2)} right]) (Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện: (left{ begin{array}{l} {x^2} – 4 > 0\ x + 2 > 0 end{array} right. Leftrightarrow x > 2.)

Khi đó: 
(begin{array}{l} {log _2}({x^2} – 4) + x = {log _2}left[ {8(x + 2)} right]\ Leftrightarrow {log _2}({x^2} – 4) – {log _2}(x + 2) = 3 – x\ Leftrightarrow {log _2}frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = 3 – x\ Leftrightarrow {log _2}left( {x – 2} right) = 3 – x end{array})

Nhận xét:

Hàm số (y = {log _2}(x – 2)) là hàm số đồng biến.

Hàm số (y=3-x) là hàm số nghịch biến

Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có ngiệm duy nhất (x=3.)

 

Bài học tiếp theo

Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Ôn tập chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

Bài học bổ sung

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button