Kiến thức

Khoảng cách và góc trong hình học không gian-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

25/6/18

25/6/18

#1

Trong hình học không gian thì dạng toán tìm góc giữa 2 mặt phẳng, góc đường thẳng với mặt phẳng hay khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; giữa hai mặt phẳng song song… thường hay gặp và gây nhiều khó khăn cho học sinh. Bài trước đã hướng dẫn bằng kiến thức hình học thông thường, bài này ta sẽ dùng phương pháp tọa độ để giải quyết

Bạn đang xem: Khoảng cách và góc trong hình học không gian-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

A. Lý thuyết khoảng cách và góc trong hình học không gian

I. GÓC:
1. Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0, (Q): A′x+B′y+C′z+D′=0 được ký hiệu: 0°≤((P),(Q))≤90° , xác định bởi hệ thức: $cos ((P),(Q)) = frac{{left| {AA’ + BB’ + CC’} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}.$
Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) ⇔ AA′+BB′+CC′=0.
2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (a;b;c)$và $overrightarrow {u’} = (a’;b’;c’)$là $phi $
$cos phi = frac{{left| {aa’ + bb’ + cc’} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}$ $({0^o} le phi le {90^o}).$
Đặc biệt: (d)⊥(d′) ⇔ aa′ + bb′ + cc′ = 0.
b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = (a;b;c)$ và mp $(alpha )$có vectơ pháp tuyến $overrightarrow n = (A;B;C).$
$sin phi ,, = ,,left| {cos (overrightarrow n ,,,overrightarrow u )} right| = frac{{left| {Aa + Bb + Cc} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $({0^o} le phi le {90^o}).$
Đặc biệt: $(d)//(alpha )$hoặc $(d) subset (alpha )$ $ Leftrightarrow Aa + Bb + Cc = 0.$

II. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

a) Khoảng cách từ $M({x_0};y{}_0;{z_0})$ đến mặt phẳng (α) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 là: $d(M,(P)) = frac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$
b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
2. Cách tìm

khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

– khoảng cách giữa hai đường thẳng.
a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ chỉ phương $overrightarrow u $(d(M,,,d),, = ,,frac{{left| {left[ {overrightarrow {{M_0}M} ;,,overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}}.)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
dđi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $overrightarrow u $và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow {u’} $ là: $d(,d,,,d’),, = ,,frac{{left| {left[ {overrightarrow u ;,,overrightarrow {u’} } right].overrightarrow {{M_0}M} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow u ;,,overrightarrow {u’} } right]} right|}}.$
d) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.

Bài tập tìm khoảng cách và góc trong hình học không gian

Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1;2;2) đến mặt phẳng (α): x + 2y – 2z – 4 = 0 bằng:
A. 3.
B. 1.
C. (frac{{13}}{3}.)
D. (frac{1}{3}.)

(d(A,(alpha )) = frac{{left| {1.{x_A} + 2.{y_A} – 2.{z_A} – 4} right|}}{{sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 1.)

Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): 2x – y – 2z – 4 = 0 và β 2x – y – 2z + 2 = 0.
A. 2.
B. 6.
C. (frac{{10}}{3}.)
D. (frac{4}{3}.)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc (α). Khi đó (dleft( {(alpha ),(beta )} right) = dleft( {H,(beta )} right) = frac{{left| {2.2 – 1.0 – 2.0 + 2} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 2).

Câu 3. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α): 2x−y−2z−4=0 và đường thẳng d: (left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2 + 4t\z = – tend{array} right.) .
A. (frac{1}{3}.)
B. (frac{4}{3}.)
C. 0.
D. 2.

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng.
Ta lấy điểm $Hleft( {1;{rm{ }}2;{rm{ }}0} right)$ thuộc đường thẳng d. Khi đó:
$d(d,(alpha )) = d(H,(alpha )) = frac{{left| {2.1 – 1.2 – 2.0 – 4} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = frac{4}{3}.$

Câu 4. Khoảng cách từ điểm A(2;4;3) đến mặt phẳng (α): 2x + y + 2z + 1 = 0 và β: x = 0 lần lượt là d(A,(α)), d(A,(β)). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. d(A,(α)) = 3.d(A,(β)).
B. d(A,(α)) > d(A,(β)).
C. d(A,(α)) = d(A,(β)).
D. 2.d(A,(α)) = d(A,(β)).

(dleft( {A,(alpha )} right) = frac{{left| {2.{x_A} + {y_A} + 2.{z_A} + 1} right|}}{{sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1) ; (dleft( {A,(beta )} right) = frac{{left| {{x_A}} right|}}{{sqrt {{1^2}} }} = 2.)
Kết luận: (dleft( {A,(beta )} right) = 2.dleft( {A,(alpha )} right)).

Câu 5. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): 2x−y+3z−4=0 nhỏ nhất?
A. M(0;2;0).
B. M(0;4;0).
C. M(0;−4;0).
D. (Mleft( {0;frac{4}{3};0} right)).

Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = – 4. Vậy M(0;- 4;0).
Cách giải khác
Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng (P) sau đó so sánh chọn đáp án.

Câu 6. Khoảng cách từ điểm M(−4;−5;6) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng::
A. 6 và 4.
B. 6 và 5.
C. 5 và 4.
D. 4 và 6.

(dleft( {M,left( {Oxy} right)} right) = left| {{z_M}} right| = 6); (d(M,(Oyz)) = left| {{x_M}} right| = 4.)

Câu 7. Khoảng cách từ điểm (Cleft( { – 2;,,0;,,0} right)) đến mặt phẳng (Oxy) bằng:
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. (sqrt 2 .)

Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên (dleft( {C,(Oxy)} right) = 0)

Câu 8. Khoảng cách từ điểm H (1;0;3) đến đường thẳng ({d_1}:left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2t\z = 3 + tend{array} right.), (t in R) và mặt phẳng (P):z−3=0 lần lượt là d(H,d1) và d(H,(P)). Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:
A. d(H,d1)>d(H,(P)).
B. d(H,(P))>d(H,d1).
C. d(H,d1)=6.d(H,(P)).
D. d(H,(P))=1.

Vì H thuộc đường thẳng ({d_1})và H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường thẳng ({d_1}) bằng 0 và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) bằng 0.

Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 2 + t\y = 4 + 3t\z = – 2 – 5tend{array} right.), (t in R) bằng:
A(frac{1}{{sqrt {35} }}.)
B. (frac{4}{{sqrt {35} }}.)
C. (frac{5}{{sqrt {35} }}.)
D. 0

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua E và vuông góc với (P). Viết phương trình (P)
+ Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và (P). Tìm tọa độ H
+ Tính độ dài EH.
Khoảng cách từ điểm E((1;1;3)) đến đường thẳng d bằng EH.
Cách giải khác:
Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E((1;1;3)) đến đường thẳng d bằng 0.

Câu 10. Cho vectơ (overrightarrow u left( { – 2;,, – ,2;,,0} right);,,overrightarrow v left( {sqrt 2 ;,,sqrt 2 ;,,2} right)). Góc giữa vectơ (overrightarrow u ) và vectơ (overrightarrow v ) bằng:
A. (135^circ ).
B. (45^circ ).
C. (60^circ ).
D. (150^circ ).

Ta có (cos (overrightarrow u ,,,overrightarrow v ),, = ,,frac{{overrightarrow u .,overrightarrow v }}{{left| {overrightarrow u } right|.,left| {,overrightarrow v } right|}},, = ,,frac{{ – 2.sqrt 2 – 2.sqrt 2 ,, + 2.0}}{{sqrt {{{( – 2)}^2},, + ,,{{( – 2)}^2}} .sqrt {{{left( {sqrt 2 } right)}^2},, + {{left( {sqrt 2 } right)}^2},, + {2^2}} }},, = ,, – frac{1}{{sqrt 2 }})( Rightarrow ,,(overrightarrow u ,,,overrightarrow v ),, = ,,135^circ ).

Câu 11. Cho hai đường thẳng ({d_1}:,,left{ begin{array}{l}x,, = ,,2,, + ,,t\y,, = ,, – 1,, + ,,t\z,, = ,,3end{array} right.) và ({d_2}:,,left{ begin{array}{l}x,, = ,,1,, – ,,t\y,, = ,,2\z,, = ,, – 2,, + ,,tend{array} right.). Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:
A(30^circ ).
B. (120^circ ).
C. (150^circ ).
D. (60^circ ).

Gọi (overrightarrow {{u_1}} ;,,overrightarrow {{u_2}} ) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
(overrightarrow {{u_1}} , = ,(1;,,1;,,0);,,overrightarrow {{u_2}} ,, = ,,( – ,1;,,0;,,1))
Áp dụng công thức ta có (cosleft( {{d_1},{d_2}} right),, = ,,left| {cos left( {overrightarrow {{u_1}} ,,,overrightarrow {{u_2}} } right)} right|,, = ,,frac{{left| {overrightarrow {{u_1}} .,overrightarrow {{u_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_1}} } right|.,left| {,overrightarrow {{u_2}} } right|}},, = ,,frac{{left| { – ,1} right|}}{{sqrt {1,, + ,,1} .sqrt {1,, + ,,1} }},, = ,,frac{1}{2}).
( Rightarrow left( {{d_1},{d_2}} right),, = ,,60^circ ).

Câu 12. Cho đường thẳng (Delta :,,frac{x}{1},, = ,,frac{y}{{ – ,2}},, = ,,frac{z}{1}) và mặt phẳng (P): 5x+11y+2z−4=0. Góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) là
A. (60^circ ).
B. ( – ,30^circ ).
C. (30^circ ).
D. ( – ,,60^circ ).

Gọi (overrightarrow u ;,,overrightarrow n ) lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (P). (overrightarrow u = left( {1;,, – 2;,,1} right);,,overrightarrow n ,, = ,,left( {5;,,11;,,2} right))
Áp dụng công thức ta có $sin left( {Delta ,(P)} right) = left| {cosleft( {overrightarrow u ,overrightarrow n } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow u .overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow n } right|}} = frac{{left| {1.5 – 11.2 + 1.2} right|}}{{sqrt {{5^2} + {{11}^2} + {2^2}} .sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = frac{1}{2}.$
( Rightarrow ,,left( {Delta ,left( P right)} right),, = ,,30^circ .)

Câu 13. Cho mặt phẳng (α): 2x − y + 2z − 1=0; (β): x + 2y − 2z − 3=0. Cosin góc giữa mặt phẳng (α)và mặt phẳng(β) bằng:
A. (frac{4}{9})
B. ( – frac{4}{9}.)
C. (frac{4}{{3sqrt 3 }}.)
D. ( – frac{4}{{3sqrt 3 }}.)

Gọi (overrightarrow {{n_alpha }} ), (,overrightarrow {{n_beta }} ) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và β.
Ta có (overrightarrow {{n_alpha }} (2;,, – ,,1;,,2);,,overrightarrow {{n_beta }} (1;,,2;,, – ,2)).
Áp dụng công thức:
(cos((alpha ),,(beta )),, = ,,left| {cos(overrightarrow {{n_alpha }} ,,,overrightarrow {{n_beta }} )} right|,, = ,,frac{{left| {overrightarrow {{n_alpha }} .,,overrightarrow {{n_beta }} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_alpha }} } right|.,,left| {overrightarrow {{n_beta }} } right|}} = ,,frac{{left| {2.1 – 1.2 – 2.2} right|}}{{sqrt {{2^2} + ,,{{( – 1)}^2},, + ,,{2^2}} .sqrt {({1^2},, + ,,{2^2},, + ,,{{( – 2)}^2}} }},, = ,,frac{4}{9}.)

Câu 14. Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 2 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x − 2y + 1 = 0; (β): x − 2z − 3 = 0. Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
A. (60^circ ).
B. (45^circ ).
C. (30^circ ).
D. (90^circ ).

Đường thẳng d có phương trình: (left{ begin{array}{l}x,, = ,, & 2t\y,, = ,,frac{1}{2},, + ,,t\z,, = ,, – frac{3}{2},, + ,,tend{array} right.,,,t,, in ,,R) . Suy ra VTCP của d là (overrightarrow {{u_d}} (2;,,1;,,1))
Ta có $sin left( {d,(P)} right) = ,,left| {cosleft( {overrightarrow {{u_d}} ,,,overrightarrow n } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow {{u_d}} .overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_d}} } right|.left| {overrightarrow n } right|}},, = ,,frac{{left| {2.3,, + ,,1.4,, + ,,1.5} right|}}{{sqrt {{2^2},, + ,,{1^2},, + ,,{1^2}} .sqrt {{3^2},, + ,,{4^2},, + ,,{5^2}} }},, = ,,frac{{sqrt 3 }}{2}$.
( Rightarrow ,,(d,(P)),, = ,,60^circ ).

Câu 15. Cho mặt phẳng (α): 3x − 2y + 2z − 5 = 0. Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc (45^circ .)
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 4.

[Phương pháp tự luận]
Gọi (overrightarrow {{n_beta }} left( {a;,,b;,,c} right)) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng β cần lập. (cosleft( {(alpha ),,(beta )} right),, = ,,left| {cosleft( {overrightarrow {{n_alpha }} ,,,overrightarrow {{n_beta }} } right)} right|,, = ,,frac{{left| {overrightarrow {{n_alpha }} .,,overrightarrow {{n_beta }} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_alpha }} } right|.,,left| {overrightarrow {{n_beta }} } right|}} = ,,frac{{left| {3.a – 2.b,, + ,,2.c} right|}}{{sqrt {{3^2} + ,,{{( – 2)}^2},, + ,,{2^2}} .sqrt {{a^2},, + ,,{b^2},, + ,,{c^2}} }},, = ,,frac{{sqrt 2 }}{2})
( Rightarrow ,,2{(3a,, – ,,2b,, + ,,2c)^2},, = ,,17({a^2},, + ,,{b^2},, + ,,{c^2}))
Phương trình trên có vô số nghiệm.
Suy ra có vô số vectơ (overrightarrow {{n_beta }} (a;,,b;,,c)) là véc tơ pháp tuyến của β. Suy ra có vô số mặt phẳng βthỏa mãn điều kiện bài toán
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựng hình.
Giả sử tồn tại mặt phẳng β thỏa mãn điều kiện bài toán. (Đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc (45^circ )). Gọi (Delta ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α). Sử dụng phép quay theo trục (Delta ) với mặt phẳng β. Ta được vô số mặt phẳng ((beta ‘)) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 16. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc (60^circ )
A. (P): 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q): x + 2y – z – 2 = 0.
B. (P): 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q): – x + 2y + z – 5 = 0.
C. (P): 2x – 11y + 5z – 21 = 0 và (Q): 2x + y + z – 2 = 0.
D. (P): 2x – 5y + 11z – 6 = 0 và (Q): – x + 2y + z – 5 = 0.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
(cos left( {(P),(Q)} right) = frac{{left| {overrightarrow {{n_P}} .overrightarrow {{n_Q}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_P}} } right|.left| {overrightarrow {{n_Q}} } right|}},, = ,,cos 60^circ ,, = ,,frac{1}{2})
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng.
Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất.

Câu 17. Cho vectơ (overrightarrow u (1;,,1;,, – ,2),,,overrightarrow v (1;,,0;,,m)). Tìm m để góc giữa hai vectơ (overrightarrow u ,,,overrightarrow v ) có số đo bằng (45^circ ).
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: Tính (cos left( {overrightarrow u ,,,overrightarrow v } right),, = ,,frac{{1,, – ,,2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2},, + ,,1} }})
Bước 2: Góc giữa (overrightarrow u ,,,overrightarrow v ) có số đo bằng (45^circ ) nên (frac{{1,, – ,,2m}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2},, + ,,1} }}, = ,,frac{1}{{sqrt 2 }})
( Leftrightarrow ,,1,, – ,,2m,, = ,,sqrt {3({m^2},, + ,,1)} ) (*)
Bước 3: Phương trình ((*),, Leftrightarrow ,,{(1,, – ,,2m)^2},, = ,,3({m^2},, + ,,1))
( Leftrightarrow ,,{m^2},, – ,,4m,, – ,,2,, = ,,0,, Leftrightarrow ,,left[ begin{array}{l}m,, = ,,2,, – ,,sqrt 6 \m,, = ,,2,, + ,,sqrt 6 .end{array} right.)
Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Sai ở bước 3.
B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 1.
D. Đúng.

Phương trình (*) chỉ bình phương được hai vế khi biến đổi tương đương nếu thỏa mãn (1,, – ,,2m,, ge ,,0). Bài toán đã thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm (m,, = ,,2,, + ,,sqrt 6 ).

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(−3;−4;5) ; B(2;7;7); C(3;5;8); D(−2;6;1). Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc (60^circ )?
A. DB và AC.
B. AC và CD.
C. AB và CB.
D. CB và CA.

Tính tọa độ các vectơ sau đó thay vào công thức: (cos (d,d’) = left| {cos (overrightarrow {{u_d}} ,overrightarrow {{u_{d’}}} } right|) để kiểm tra.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz một góc (30^circ )?
A. (sqrt 2 (x,, – 2),, + ,,(y,, – ,,1),, – ,,(z,, – ,,2),, – 3,, = ,,0.)
B. ((x,, – 2),, + ,,sqrt 2 (y,, – ,,1),, – ,,(z,, + ,,1),, – 2,, = ,,0.)
C. (2(x,, – 2),, + ,,(y,, – ,,1),, – ,,(z,, – ,,2),, = ,,0.)
D. (2(x,, – 2),, + ,,(y,, – ,,1),, – ,,(z,, – ,,1),, – ,,2,, = ,,0.)

Gọi phương trình mặt phẳng (α) cần lập có dạng (A(x,, – ,,2),, + ,,B(y,, – ,,1),, + ,,C(z,, + ,,1),,, = ,,0;,,overrightarrow n ,(A;,,B;,,C))
Oz có vectơ chỉ phương là (overrightarrow k (0;,,0;,,1)).
Áp dụng công thức (sin ((alpha ),,,Oz),, = ,,frac{{left| {overrightarrow n .overrightarrow k } right|}}{{overrightarrow {left| n right|} .overrightarrow {left| k right|} }},, = ,,sin 30^circ )
Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng.

Câu 20. Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 8 = 0. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x − 2y + 1 = 0;(β): x − 2z − 3 = 0. Góc giữa d và (P) là::
A. (120^circ .)
B. (60^circ .)
C. (150^circ .)
D. (30^circ .)

Ta có (overrightarrow {{n_P}} (3;,,4;,,5))
(overrightarrow {{n_d}} = ,,left[ {overrightarrow {{n_alpha }} ,,,overrightarrow {{n_beta }} } right],, = ,,(2;,,1;,,1))
Áp dụng công thức (sin ((P),,,d),, = ,,frac{{left| {overrightarrow {{n_P}} .overrightarrow {{u_d}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_P}} } right|.left| {overrightarrow {{u_d}} } right|}},, = ,,frac{{sqrt 3 }}{2}).

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng(α): x + 2y + 2z + m = 0 và điểm A(1; 1; 1). Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) bằng 1?
A. – 2.
B. – 8.
C. – 2 hoặc – 8.
D. 3.

(dleft( {A,left( alpha right)} right) = frac{{left| {5 + m} right|}}{3} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m + 5 = 3\m + 5 = – 3end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = – 2\m = – 8end{array} right.)

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (left( alpha right)) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm (Aleft( { – 2;0;0} right)),(Bleft( {0;3;0} right)),(Cleft( {0;0;4} right)). Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ (O) đến mặt phẳng (left( {ABC} right)) là
A. (frac{{sqrt {61} }}{{12}}.)
B. 4.
C. (frac{{12sqrt {61} }}{{61}}.)
D. 3.

Cách 1: (left( alpha right):frac{x}{{ – 2}} + frac{y}{3} + frac{z}{4} = 1 Leftrightarrow 6x – 4y – 3z + 12 = 0);(dleft( {O,,left( {ABC} right)} right) = frac{{12sqrt {61} }}{{61}})
Cách 2: Tứ diệnOABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, khi đó(frac{1}{{{d^2}left( {O,left( {ABC} right)} right)}} = frac{1}{{O{A^2}}} + frac{1}{{O{B^2}}} + frac{1}{{O{C^2}}} = frac{{61}}{{144}} Rightarrow dleft( {O,left( {ABC} right)} right) = frac{{12sqrt {61} }}{{61}})

Câu 23. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm (Aleft( {1;,2;,3} right);,Bleft( {0;,1;1} right);,Cleft( {1;,0;, – 2} right)).
Điểm (M, in ,left( P right):,x + y + z + 2 = 0)sao cho giá trị của biểu thức (T = M{A^2} + ,2M{B^2}, + ,3M{C^2}) nhỏ nhất. Khi đó, điểm (M) cách (left( Q right):,2x – y – 2z + 3 = 0) một khoảng bằng
A. (frac{{121}}{{54}}.)
B. 24.
C. (frac{{2sqrt 5 }}{3}.)
D. (frac{{101}}{{54}}.)

Gọi (Mleft( {x;,y;,z} right)). Ta có (T = 6{x^2} + 6{y^2} + 6{z^2} – 8x – 8y + 6z + 31)
( Rightarrow T = 6left[ {{{left( {x – frac{2}{3}} right)}^2} + {{left( {y – frac{2}{3}} right)}^2}{{left( {z + frac{1}{2}} right)}^2}} right] + ,frac{{145}}{6})
( Rightarrow ,T = 6M{I^2} + frac{{145}}{6}) với (Ileft( {frac{2}{3};,frac{2}{3};, – frac{1}{2}} right))
( Rightarrow T) nhỏ nhất khi (MI) nhỏ nhất ( Rightarrow M)là hình chiếu vuông góc của (I) trên (left( P right))
( Rightarrow ,Mleft( { – frac{5}{{18}}; – frac{5}{{18}};, – frac{{13}}{9},} right)).

Câu 24. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (left( P right):,x + y – z + 2 = 0) và hai đường thẳng (d:,left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = t\z = 2 + 2tend{array} right.); $d’:,left{ begin{array}{l}x = 3 – t’\y = 1 + t’\z = 1 – 2t’end{array} right..$
Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với (left( P right)); cắt d, d’ và tạo với (d) góc ({30^{rm{O}}}.) Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
A. (frac{1}{{sqrt 5 }}.)
B. (frac{1}{{sqrt 2 }}.)
C. (sqrt {frac{2}{3}} .)
D. (frac{1}{2}.)

Gọi (Delta ) là đường thẳng cần tìm, $overrightarrow {{n_P}} $ là VTPT của mặt phẳng (left( P right)).
Gọi (Mleft( {1 + t;,t;,2 + ,2t} right)) là giao điểm của (Delta ) và (d); (M’,left( {3 – t’;,1 + t’;,1 – 2t’} right)) là giao điểm của (Delta ) và (d’)
Ta có: (overrightarrow {MM’} ,left( {2 – t’ – t;,1 + t’ – t;, – 1 – 2t’ – 2t} right))
(MM’) ${rm{//}}$ $left( P right), Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}M, notin ,left( P right)\overrightarrow {MM’} , bot ,overrightarrow {{n_P}} end{array} right., Leftrightarrow ,t’, = , – 2, Rightarrow ,overrightarrow {MM’} ,left( {4 – t; – 1 – t;,3 – 2t} right)$
Ta có ${rm{cos}}{30^{rm{O}}}, = ,{rm{cos}}left( {overrightarrow {MM’} ,,{{overrightarrow u }_d}} right), Leftrightarrow ,frac{{sqrt 3 }}{2} = ,frac{{left| { – 6t, + 9} right|}}{{sqrt {36{t^2}, – ,108t, + ,156} }}, Leftrightarrow ,left[ begin{array}{l}t = 4\t = – 1end{array} right.$
Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là ({Delta _1}:,left{ begin{array}{l}x = 5\y = 4 + t\z = 10 + tend{array} right.;,{Delta _2}:,left{ begin{array}{l}x = t’\y = – 1\z = t’end{array} right.).
Khi đó, ${rm{cos}}left( {{Delta _1},,{Delta _2}} right), = ,frac{1}{2}.$

Câu 25. Tập hợp các điểm (Mleft( {x;,y;,z} right))trong không gian (Oxyz) cách đều hai mặt phẳng (left( P right):,x + y – 2z – 3 = 0) và (left( Q right):,x + y – 2z + 5 = 0) thoả mãn:
A. x + y – 2z + 1 = 0.
B. x + y – 2z + 4 = 0.
C. x + y – 2z + 2 = 0.
D. x + y – 2z – 4 = 0.

(Mleft( {x;y;z} right)). Ta có (dleft( {M,left( P right)} right) = dleft( {M,left( Q right)} right) Leftrightarrow frac{{left| {x + y – 2z – 3} right|}}{{sqrt 6 }} = frac{{left| {x + y – 2z + 5} right|}}{{sqrt 6 }})( Leftrightarrow left| {x + y – 2z – 3} right| = left| {x + y – 2z + 5} right| Leftrightarrow x + y – 2z + 1 = 0)

Câu 26. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho các điểm (Aleft( {1;0;,0} right),,Bleft( {0;b;,0} right),,Cleft( {0;,0;c} right)) trong đó (b,,c) dương và mặt phẳng (left( P right):,y – ,z, + 1, = 0). Biết rằng (mpleft( {ABC} right)) vuông góc với (mpleft( P right)) và (dleft( {O,,left( {ABC} right)} right), = ,frac{1}{3}), mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (b + ,c = ,1.)
B. (2b + ,c = ,1.)
C. (b – 3,c = ,1.)
D. (3b + ,c = ,3.)

Ta có phương trình mp((ABC)) là (frac{x}{1} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1)
(left( {ABC} right), bot ,left( P right) Rightarrow frac{1}{b} – frac{1}{c} = 0, Rightarrow ,b = c,(1))
Ta có (dleft( {O,,left( {ABC} right)} right), = ,frac{1}{3}, Leftrightarrow ,frac{1}{{sqrt {1 + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} }}, = ,frac{1}{3}, Leftrightarrow ,frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}, = 8,(2))
Từ (1) và (2) ( Rightarrow b, = ,c, = frac{1}{2}, Rightarrow ,b + ,c, = ,1).

Câu 27. Trong không gian (Oxyz) cho điểm (M)thuộc trục Oxcách đều hai mặt phẳng (left( P right):x + y – 2z – 3 = 0) và (left( {Oyz} right)).Khitọa độ điểm (M) là
A. (left( {frac{3}{{1 + sqrt 6 }};0;0} right))và (left( {frac{3}{{sqrt 6 – 1}};0;0} right).)
B. (left( {frac{3}{{1 + sqrt 6 }};0;0} right)) và (left( {frac{3}{{1 – sqrt 6 }};0;0} right).)
C. (left( {frac{{sqrt 6 – 1}}{3};0;0} right)) và (left( {frac{{sqrt 6 + 1}}{3};0;0} right).)
D. (left( {frac{{1 + sqrt 6 }}{3};0;0} right))và (left( {frac{{1 – sqrt 6 }}{3};0;0} right).)

Điểm (Mleft( {m;0;0} right) in Ox); (dleft( {M,left( P right)} right) = dleft( {M,left( P right)} right) Leftrightarrow frac{{left| {m – 3} right|}}{{sqrt 6 }} = left| m right|)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m – 3 = msqrt 6 \m – 3 = – msqrt 6 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = frac{3}{{1 + sqrt 6 }}\m = frac{3}{{1 – sqrt 6 }}end{array} right.)

Câu 28. Trong không gian $Oxyz$ cho điểm (Aleft( {3; – 2;4} right)) và đường thẳng (d:frac{{x – 5}}{2} = frac{{y – 1}}{3} = frac{{z – 2}}{{ – 2}}). Điểm(M) thuộc đường thẳng $d$ sao cho (M)cách (A) một khoảng bằng(sqrt {17} ). Tọa độ điểm (M) là
A. (left( {5;1;2} right))và (left( {6;,,9;,,2} right)).
B. (left( {5;1;2} right)) và (left( { – 1; – 8; – 4} right).)
C. (left( {5; – 1;2} right))và(left( {1; – 5;6} right).)
D. (left( {5;1;2} right)) và (left( {1; – 5;6} right).)

Cách 1:(Mleft( {5 + 2t;1 + 3t;2 – 2t} right) in d); (overrightarrow {AM} left( {2 + 2m;3 + 3m; – 2 – 2m} right))
$ Rightarrow AM = sqrt {17} Leftrightarrow 17{left( {1 + m} right)^2} = 17 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 0\m = – 2end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}Mleft( {5;1;2} right)\Mleft( {1; – 5;6} right)end{array} right.$
Cách 2: Kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng $d$ có 2 cặp điểm trong đáp án B và C thuộcđường thẳng $d$ . Dùng công thức tính độ dài (AM) suy ra đáp án C thỏa mãn.

Câu 29. Trong không gian (Oxyz) cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {1;2;1} right)),(Bleft( { – 2;1;3} right)),(Cleft( {2; – 1;1} right)) và(Dleft( {0;3;1} right)). Phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua 2 điểm (A,B) sao cho khoảng cách từ (C)đến (left( P right)) bằng khoảng cách từ (D) đến (left( P right)) là
A. (left[ begin{array}{l}4x,, – ,,2y + 7z – 1 = 0\2x + 3z – 5 = 0end{array} right..)
B. (2x + 3z – 5 = 0.)
C. (4x + 2y + 7z – 15 = 0.)
D. (left[ begin{array}{l}4x + 2y + 7z – 15 = 0\2x + 3z – 5 = 0end{array} right..)

Trường hợp 1: (left( P right)) qua (AB) và song song với (CD), khi đó:
(left( P right)) có vectơ pháp tuyến là (left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} } right] = left( { – 8; – 4; – 14} right))và (C notin ,left( P right))( Rightarrow left( P right):4x + 2y + 7z – 15 = 0.)
Trường hợp 2: (left( P right)) qua (AB) cắt (CD) tại trung điểm (I) của đoạn (CD). Ta có(Ileft( {1;1;1} right) Rightarrow overrightarrow {AI} left( {0; – 1;0} right)), vectơ pháp tuyến của (left( P right)) là (left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AI} } right] = left( {2;0;3} right)) nên phương trình (left( P right):2x + 3z – 5 = 0).

Câu 30. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,gọi $left( P right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng (d:frac{{x – 1}}{1} = frac{{y + 2}}{{ – 1}} = frac{z}{{ – 2}}) và tạo với trục (Oy) góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc (mpleft( P right))?
A. (Eleft( { – 3;0;4} right).)
B. (Mleft( {3;0;2} right).)
C. (Nleft( { – 1; – 2; – 1} right).)
D. (Fleft( {1;,2;1} right).)

Gọi (overrightarrow n left( {a;,b;,c} right);,overrightarrow n , ne ,overrightarrow 0 )là VTPT của $left( P right)$; α là góc tạo bởi $left( P right)$và (Oy), α lớn nhất khi (sinalpha ) lớn nhất. Ta có (overrightarrow n ) vuông góc với ({overrightarrow u _d}) nên (overrightarrow n ,left( {b + 2c;,b;,c} right))
(sin alpha = left| {cos left( {overrightarrow n ,,overrightarrow j } right)} right| = ,frac{{left| b right|}}{{sqrt {2{b^2} + 5{c^2} + 4bc} }})
Nếu (b, = ,0)thì ${rm{sin}}alpha ,{rm{ = }},{rm{0}}{rm{.}}$
Nếu (b, ne ,0)thì (sin alpha = frac{1}{{sqrt {{{left( {frac{{sqrt 5 c}}{b} + frac{2}{{sqrt 5 }}} right)}^2} + frac{6}{5}} }}). Khi đó, (sinalpha ) lớn nhất khi (frac{c}{b} = – frac{2}{5})
( Rightarrow ) chọn (b, = ,5;,c, = , – 2)
Vậy, phương trình mp(left( P right)) là (x + ,5y, – 2z, + ,9, = ,0). Do đó ta có (N, in ,left( P right)).

Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(0; −1; 2), N(−1; 1; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M, N và tạo với mặt phẳng (Q): 2x – y – 2z – 2 = 0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1; 2;3) cách mp( P ) một khoảng là
A. (sqrt 3 .)
B. (frac{{5sqrt 3 }}{3}.)
C. (frac{{7sqrt {11} }}{{11}}.)
D. (frac{{4sqrt 3 }}{3}.)

(left( P right)) có VTPT (overrightarrow n ) vuông góc với (overrightarrow {MN} ,left( { – 1;,2;,1} right)) nên (overrightarrow n ,left( {2b, + ,c;,,b;,,c} right)).
Gọiα là góc tạo bởi $left( P right)$và $left( Q right)$,αnhỏ nhất khi (cosalpha ) lớn nhất.
Ta có ({rm{cos}}alpha = ,frac{{left| b right|}}{{sqrt {5{b^2} + 2{c^2} + 4bc} }})
Nếu (b, = ,0)thì ${rm{cos}}alpha ,{rm{ = }},{rm{0}}{rm{.}}$
Nếu (b, ne ,0)thì ({rm{cos}}alpha = frac{1}{{sqrt {2{{left( {frac{c}{b} + 1} right)}^2} + 3} }}). Khi đó, ${rm{cos}}alpha ,$lớn nhất khi (frac{c}{b} = , – 1, Rightarrow ) chọn (b, = ,1;,c = , – 1)
Vậy, phương trình mp(left( P right)) là (x + ,y, – z, + ,3, = ,0). Do đó (dleft( {A,,left( P right)} right) = ,sqrt 3 ).

Câu 32. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho điểm (Aleft( {2;,5;,3} right)) và đường thẳng (d:,frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z – 2}}{2}). Gọi (left( P right)) là mặt phẳng chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ (A) đến (left( P right)) lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm (Mleft( {1;,2;, – 1} right)) đến mặt phẳng (left( P right)).
A. (frac{{11sqrt {18} }}{{18}}.)
B. (3sqrt 2 .)
C. (frac{{sqrt {11} }}{{18}}.)
D. (frac{4}{3}.)

Gọi (H) là hình chiếu của (A) trên (d); (K) là hình chiếu của (A) trên (left( P right)).
Ta có d(A,(P)) = AK ≤ AH (Không đổi)
( Rightarrow ) GTLN của (d(d,,,(P))) là (AH)
=> d(A,(P)) lớn nhất khi k ≡ H.
Ta có (Hleft( {3;1;4} right)), (left( P right)) qua (H) và ( bot )(AH)
( Rightarrow ,left( P right):,x – 4y + z – 3 = 0)
Vậy (dleft( {M,,left( P right)} right) = ,frac{{11sqrt {18} }}{{18}}).

 

Sửa lần cuối: 10/7/20

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button