Kiến thức

Bài tập lượng giác 10 có lời giải-12htip

Bạn đang xem: Bài tập lượng giác 10 có lời giải-12htip

Bài tập lượng giác 10 có lời giải

Dựa vào những

công thức lượng giác

đã học ta sẽ giải bài tập thường gặp trong đề thi:

Bài tập 1: Trên đường tròn lượng giác gốc $A$. Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là $x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}$ ($k$ là số nguyên tùy ý).

Lời giải

Ta có $x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2} = frac{pi }{4} + kfrac{{2pi }}{4}$ do đó có bốn điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng $x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}$

Dựa vào Công thức cung và góc liên kết ta làm như sau

Bài tập lượng giác 10

Với $k = 0 Rightarrow x = frac{pi }{4}$ được biểu diễn bởi điêm ${M_1}$

$k = 1 Rightarrow x = frac{{3pi }}{4}$ được biểu diễn bởi ${M_2}$

$k = 2 Rightarrow x = frac{{5pi }}{4}$ được biểu diễn bởi ${M_3}$

$k = 3 Rightarrow x = frac{{7pi }}{4}$ được biểu diễn bởi ${M_4}$

Vậy góc lượng giác có số đo là $x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}$ được biểu diễn bởi đỉnh của hình vuông ${M_1}{M_2}{M_3}{M_4}$.

Bài tập 2: Hai góc lượng giác có số đo $frac{{39pi }}{7}$ và $frac{{mpi }}{9}$($m$ là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được không?

Lời giải

Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó $frac{{mpi }}{9} – frac{{39pi }}{7} = k2pi $, $k in Z$

Hay

$begin{gathered} 7m – 9.39. = 9.7.k2 hfill \ Leftrightarrow 7left( {m – 18k} right) = 351 hfill \ Leftrightarrow m – 18k = frac{{351}}{7} hfill \ end{gathered} $ với $k,,m in Z$.

Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí.

Vậy hai góc lương giác $frac{{39pi }}{7}$ và $frac{{mpi }}{9}$($m$ là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối.

Bài tập 3: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)${cos ^4}x + 2{sin ^2}x = 1 + {sin ^4}x$

Lời giải

Sử dụng công thức hạ bậc để rút gọn đẳng thức như sau

Đẳng thức tương đương với ${cos ^4}x = 1 – 2{sin ^2}x + {left( {{{sin }^2}x} right)^2}$

$ Leftrightarrow {cos ^4}x = {left( {1 – {{sin }^2}x} right)^2}$ (*)

$begin{gathered} {sin ^2}x + {cos ^2}x = 1 hfill \ Rightarrow {cos ^2}x = 1 – {sin ^2}x hfill \ end{gathered} $

Do đó (*)$ Leftrightarrow {cos ^4}x = {left( {{{cos }^2}x} right)^2}$ (đúng) ĐPCM.

Bài tập 4: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
$A = cos (5pi – x) – sin left( {frac{{3pi }}{2} + x} right) + tan left( {frac{{3pi }}{2} – x} right) + cot (3pi – x)$

Lời giải

Ta có $cos (5pi – x) = cos left( {pi – x + 2.2pi } right) = cos left( {pi – x} right) = – cos x$

$begin{gathered} sin left( {frac{{3pi }}{2} + x} right) hfill \ = sin left( {pi + frac{pi }{2} + x} right) hfill \ = – sin left( {frac{pi }{2} + x} right) = – cos x hfill \ end{gathered} $

$begin{gathered} tan left( {frac{{3pi }}{2} – x} right) = tan left( {pi + frac{pi }{2} – x} right) hfill \ = tan left( {frac{pi }{2} – x} right) = cot x hfill \ end{gathered} $

$cot (3pi – x) = cot left( { – x} right) = – cot x$

Suy ra $A = – cos x – left( { – cos x} right) + cot x + left( { – cot x} right) = 0$

Bài tập 5: Cho $3{sin ^4}alpha – {cos ^4}alpha = frac{1}{2}$. Tính $A = 2{sin ^4}alpha – {cos ^4}alpha $.

Lời giải

Sử dụng công thức hạ bậc để rút gọn đẳng thức như sau

Ta có

$begin{gathered} 3{sin ^4}alpha – {cos ^4}alpha = frac{1}{2} hfill \ Leftrightarrow 3{sin ^4}alpha – {left( {1 – {{sin }^2}alpha } right)^2} = frac{1}{2} hfill \ end{gathered} $

$begin{gathered} Leftrightarrow 6{sin ^4}alpha – 2left( {1 – 2{{sin }^2}alpha + {{sin }^4}alpha } right) = 1 hfill \ Leftrightarrow 4{sin ^4}alpha + 4{sin ^2}alpha – 3 = 0 hfill \ end{gathered} $

$begin{gathered} Leftrightarrow left( {2{{sin }^2}alpha – 1} right)left( {2{{sin }^2}alpha + 3} right) = 0 hfill \ Leftrightarrow 2{sin ^2}alpha – 1 = 0 hfill \ end{gathered} $

(Do $2{sin ^2}alpha + 3 > 0$ )

Suy ra ${sin ^2}alpha = frac{1}{2}$.

Ta lại có ${cos ^2}alpha = 1 – {sin ^2}alpha = 1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$

Suy ra $A = 2{left( {frac{1}{2}} right)^2} – {left( {frac{1}{2}} right)^2} = frac{1}{4}$

Bài tập 6: Biết $sin x + cos x = m.$ Tìm $left| {{{sin }^4}x – {{cos }^4}x} right|$

Lời giải

Để giải tốt bài này, ta sẽ vận dụng công thức hạ bậc

Ta có ${left( {sin x + cos x} right)^2} = {sin ^2}x + 2sin xcos x + {cos ^2}x = 1 + 2sin xcos x$ (*)

Mặt khác $sin x + cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2sin alpha cos alpha $ hay $sin alpha cos alpha = frac{{{m^2} – 1}}{2}$

Đặt $A = left| {{{sin }^4}x – {{cos }^4}x} right|$. Ta có

$begin{gathered} A = left| {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)left( {{{sin }^2}x – {{cos }^2}x} right)} right| hfill \ = left| {left( {sin x + cos x} right)left( {sin x – cos x} right)} right| hfill \ end{gathered} $

$begin{gathered} Rightarrow {A^2} = {left( {sin x + cos x} right)^2}{left( {sin x – cos x} right)^2} hfill \ = left( {1 + 2sin xcos x} right)left( {1 – 2sin xcos x} right) hfill \ end{gathered} $

$begin{gathered} Rightarrow {A^2} = left( {1 + frac{{{m^2} – 1}}{2}} right)left( {1 – frac{{{m^2} – 1}}{2}} right) hfill \ = frac{{3 + 2{m^2} – {m^4}}}{4} hfill \ end{gathered} $

Vậy $A = frac{{sqrt {3 + 2{m^2} – {m^4}} }}{2}$

Author:

Admin

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button