Kiến thức

Tìm m để hàm số nghịch biến trên R-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

11/9/19

11/9/19

#1

Tìm m để hàm số nghịch biến trên R là dạng toán hay lớp 12. Giống như

tìm m để hàm số đồng biến trên R

, ta chỉ cần biện luận giá trị m sao cho f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R là hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định.

Bạn đang xem: Tìm m để hàm số nghịch biến trên R-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

I. Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Hàm y = f(x) nghịch biến (tăng) trên R nếu $forall {x_1},{x_2} in K,{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) > fleft( {{x_2}} right)$.
Điều kiện: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Để hàm số nghịch biến trên tập xác định R thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Quy Tắc tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R như sau:
Bước 1
. Tìm tập xác định R.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m để f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn

II. Ví dụ

Câu 1: Tìm m đề hàm số $y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} + 3m(m – 2)x + 1$ nghịch biến trên R

Hướng dẫn

tim-m-de-ham-so-nghich-bien-tren-r-jpg.6836

Câu 2. Cho hàm số $y = {x^2}(m – x) – m$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = – {x^3} + m{x^2} – m$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – {x^3} + m{x^2} – m leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – 1 < 0 \ Delta = {m^2} leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m = 0 \ end{array} $
Kết luận: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Câu 3. Cho hàm số $y = frac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} – x$. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = – m{x^2} + 2mx – 1$
Trường hợp 1: $m = 0 Rightarrow y’ = – 1 < 0 Rightarrow $ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne 0$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – m{x^2} + 2mx – 1 leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – m < 0 \ Delta ‘ = {m^2} – m leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow left{ begin{array} m > 0 \ 0 leqslant m leqslant 1 \ end{array} right.,,,,,,,,,,,,,(V.Ng) \ end{array} $
Kết luận: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Câu 4. Cho hàm số $y = frac{1}{3}m{x^3} – (m – 1){x^2} + 3(m – 2)x + frac{1}{3}$. Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2)$
Trường hợp 1: $m = 0 Rightarrow y’ = 2x – 6 Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne 0$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2) leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = m < 0 \ Delta = – 2{m^2} + 4m + 1 leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m leqslant frac{{2 – sqrt 6 }}{2} \ end{array} $

Câu 5. Định m để hàm số $y = frac{{1 – m}}{3}{x^3} – 2(2 – m){x^2} + 2(2 – m)x + 5$ luôn luôn giảm

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = (1 – m){x^2} – 4(2 – m)x + 4 – 2m$
Trường hợp 1: $m = 1 Rightarrow y’ = – 4x + 2 leqslant 0 Leftrightarrow x geqslant frac{1}{2}$ nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne 1$
Hàm số luôn giảm khi $left{ begin{array} a = 1 – m < 0 \ Delta ‘ = 2{m^2} – 10m + 12 leqslant 0 \ end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array} m > 1 \ 2 leqslant m leqslant 3 \ end{array} right. Leftrightarrow 2 leqslant m leqslant 3$

Câu 6. Cho hàm số $y = frac{{m + 2}}{3}{x^3} – (m + 2){x^2} + (m – 8)x + {m^2} – 1$. Tìm m để đồ thị hàm số nghịch biến trên R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = (m + 2){x^2} – 2(m + 2)x + m – 8$
Trường hợp 1: $m + 2 = 0 Leftrightarrow m = – 2 Rightarrow y’ = – 10 Rightarrow $ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne – 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow (m + 2){x^2} – 2(m + 2)x + m – 8 leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = m + 2 < 0 \ Delta ‘ = {(m + 2)^2} – (m + 2)(m – 8) leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m < – 2 \ end{array} $
Kết luận: Với m < – 2 thì đồ thị hàm số nghịch biến trên tập xác định R

Câu 7. Cho hàm số $y = frac{1}{3}(m + 3){x^3} – 2{x^2} + mx$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = (m + 3){x^2} – 4x + m$
Trường hợp 1: $m + 3 = 0 Leftrightarrow m = – 3 Rightarrow y’ = – 4x – 3 Rightarrow $ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne – 3$.
Hàm số luôn nghịch biến khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow (m + 3){x^2} – 4x + m leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = m + 3 < 0 \ Delta = – {m^2} – 3m + 4 leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m leqslant – 4 \ end{array} $

Câu 8. Cho hàm số $y = {x^2}(m – x) – mx + 6$.

Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R.
Lấy đạo hàm: $y’ = – 3{x^2} + 2mx – m$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – 3{x^2} + 2mx – m leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – 3 < 0 \ Delta = {m^2} – 3m leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow 0 leqslant m leqslant 3 \ end{array} $
Kết luận: Với $0 leqslant m leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Câu 9. Cho hàm số $y = – frac{1}{3}{x^3} + (m – 1){x^2} + (m + 3)x + 4$. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R.
Lấy đạo hàm: $y’ = – {x^2} + 2(m – 1)x + m + 3$
Hàm số luôn luôn giảm khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – {x^2} + 2(m – 1)x + m + 3 leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – 1 < 0 \ Delta ‘ = {m^2} – m + 4 leqslant 0 \ end{array} right.,,,,,,,,,,,,,(V.Ng) \ end{array} $
Kết luận: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

 

Sửa lần cuối: 4/10/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive