Kiến thức

Tìm m để hàm số nghịch biến trên R-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

Học Lớp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT

11/9/19

11/9/19

#1

Tìm m để hàm số nghịch biến trên R là dạng toán hay lớp 12. Giống như

tìm m để hàm số đồng biến trên R

, ta chỉ cần biện luận giá trị m sao cho f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R là hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định.

Bạn đang xem: Tìm m để hàm số nghịch biến trên R-7scv: Học các môn từ lớp 1 đến lớp 12

I. Cơ sở lý thuyết

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Hàm y = f(x) nghịch biến (tăng) trên R nếu $forall {x_1},{x_2} in K,{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) > fleft( {{x_2}} right)$.
Điều kiện: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Để hàm số nghịch biến trên tập xác định R thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Quy Tắc tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định R như sau:
Bước 1
. Tìm tập xác định R.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m để f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn

II. Ví dụ

Câu 1: Tìm m đề hàm số $y = {x^3} – 3(m – 1){x^2} + 3m(m – 2)x + 1$ nghịch biến trên R

Hướng dẫn

tim-m-de-ham-so-nghich-bien-tren-r-jpg.6836

Câu 2. Cho hàm số $y = {x^2}(m – x) – m$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = – {x^3} + m{x^2} – m$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – {x^3} + m{x^2} – m leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – 1 < 0 \ Delta = {m^2} leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m = 0 \ end{array} $
Kết luận: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Câu 3. Cho hàm số $y = frac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} – x$. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = – m{x^2} + 2mx – 1$
Trường hợp 1: $m = 0 Rightarrow y’ = – 1 < 0 Rightarrow $ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne 0$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – m{x^2} + 2mx – 1 leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – m < 0 \ Delta ‘ = {m^2} – m leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow left{ begin{array} m > 0 \ 0 leqslant m leqslant 1 \ end{array} right.,,,,,,,,,,,,,(V.Ng) \ end{array} $
Kết luận: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Câu 4. Cho hàm số $y = frac{1}{3}m{x^3} – (m – 1){x^2} + 3(m – 2)x + frac{1}{3}$. Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2)$
Trường hợp 1: $m = 0 Rightarrow y’ = 2x – 6 Rightarrow $ m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne 0$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow m{x^2} – 2(m – 1)x + 3(m – 2) leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = m < 0 \ Delta = – 2{m^2} + 4m + 1 leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m leqslant frac{{2 – sqrt 6 }}{2} \ end{array} $

Câu 5. Định m để hàm số $y = frac{{1 – m}}{3}{x^3} – 2(2 – m){x^2} + 2(2 – m)x + 5$ luôn luôn giảm

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = (1 – m){x^2} – 4(2 – m)x + 4 – 2m$
Trường hợp 1: $m = 1 Rightarrow y’ = – 4x + 2 leqslant 0 Leftrightarrow x geqslant frac{1}{2}$ nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne 1$
Hàm số luôn giảm khi $left{ begin{array} a = 1 – m < 0 \ Delta ‘ = 2{m^2} – 10m + 12 leqslant 0 \ end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array} m > 1 \ 2 leqslant m leqslant 3 \ end{array} right. Leftrightarrow 2 leqslant m leqslant 3$

Câu 6. Cho hàm số $y = frac{{m + 2}}{3}{x^3} – (m + 2){x^2} + (m – 8)x + {m^2} – 1$. Tìm m để đồ thị hàm số nghịch biến trên R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = (m + 2){x^2} – 2(m + 2)x + m – 8$
Trường hợp 1: $m + 2 = 0 Leftrightarrow m = – 2 Rightarrow y’ = – 10 Rightarrow $ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne – 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow (m + 2){x^2} – 2(m + 2)x + m – 8 leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = m + 2 < 0 \ Delta ‘ = {(m + 2)^2} – (m + 2)(m – 8) leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m < – 2 \ end{array} $
Kết luận: Với m < – 2 thì đồ thị hàm số nghịch biến trên tập xác định R

Câu 7. Cho hàm số $y = frac{1}{3}(m + 3){x^3} – 2{x^2} + mx$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: $y’ = (m + 3){x^2} – 4x + m$
Trường hợp 1: $m + 3 = 0 Leftrightarrow m = – 3 Rightarrow y’ = – 4x – 3 Rightarrow $ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m ne – 3$.
Hàm số luôn nghịch biến khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow (m + 3){x^2} – 4x + m leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = m + 3 < 0 \ Delta = – {m^2} – 3m + 4 leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow m leqslant – 4 \ end{array} $

Câu 8. Cho hàm số $y = {x^2}(m – x) – mx + 6$.

Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R.
Lấy đạo hàm: $y’ = – 3{x^2} + 2mx – m$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – 3{x^2} + 2mx – m leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – 3 < 0 \ Delta = {m^2} – 3m leqslant 0 \ end{array} right. \ Leftrightarrow 0 leqslant m leqslant 3 \ end{array} $
Kết luận: Với $0 leqslant m leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Câu 9. Cho hàm số $y = – frac{1}{3}{x^3} + (m – 1){x^2} + (m + 3)x + 4$. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R.
Lấy đạo hàm: $y’ = – {x^2} + 2(m – 1)x + m + 3$
Hàm số luôn luôn giảm khi $y’ leqslant 0,forall x$
$begin{array} Leftrightarrow – {x^2} + 2(m – 1)x + m + 3 leqslant 0,forall x \ Leftrightarrow left{ begin{array} a = – 1 < 0 \ Delta ‘ = {m^2} – m + 4 leqslant 0 \ end{array} right.,,,,,,,,,,,,,(V.Ng) \ end{array} $
Kết luận: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

 

Sửa lần cuối: 4/10/19

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive