Kiến thức

Bài toán tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2-HOCTOANCAP2.COM

Bạn đang xem: Bài toán tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2-HOCTOANCAP2.COM

Bài toán tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2

Khi nói tới phương trình bậc 2 chúng ta không thể không nhắc tới hệ thức Viet. Phương trình bậc 2 và hệ thức Viet luôn là chủ đề được quan tâm bởi ứng dụng rộng rãi của nó. Đặc biệt với dạng toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó thì hệ thức Viet đóng vai trò vô cùng quan trọng.

Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp làm dạng toán này. Dạng toán này chiếm tới 90% khả năng nằm trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

Xem thêm bài giảng:

  • Biện luận theo m số nghiệm của phương trình bậc 2

  • 8 Cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hay

Để làm được dạng toán này các em cần phải thực hiện 2 bước:

  • Tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm
  • Tìm mối liên hệ giữa 2 nghiệm nhờ hệ thức Viet và điều kiện ban đầu bài toán cho. Từ đó sẽ tìm được giá trị của tham số m.

Bài tập tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2

Bài tập 1:

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:  $x^2-2(m + 1)x + 2m – 4 = 0$.  (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b/ Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm m để $3( x_1+x_2) = 5x_1x_2$

Hướng dẫn:

a. Với bài toán này để chứng minh phương trình bậc 2 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m thì ta cần chứng tỏ $Delta> 0$ hoặc $Delta’>0$ với mọi  giá trị của m.

Ta có: $Delta’=(m+1)^2-(2m-4)=m^2+2m+1-2m+4=m^2+5 >0$ với mọi giá trị m

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b. Theo ý a thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là $x_1, x_2$.

Theo hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=2(m+1)$ và $x_1.x_2=2m-4$

Ta có:

$3( x_1+x_2) = 5x_1x_2$

$Leftrightarrow 6(m+1)=5(2m-4)$

$Leftrightarrow 4m=26$

$Leftrightarrow m=dfrac{13}{2}$

Vậy với $m=dfrac{13}{2}$ thì phương trình luôn có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $3( x_1+x_2) = 5x_1x_2$

Bài tập 2:  Cho phương trình bậc hai ẩn x: $x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0$

a. Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm $x_1, x_2$ không phụ thuộc vào m.

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=8$

Hướng dẫn:

a. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm $x_1, x_2$ không phụ thuộc vào m có nghĩa là các em phải tìm một hệ thức nào đó chỉ chứa hai nghiệm $x_1, x_2$ và hằng số, không được có mặt của m ở trong đó.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: $Delta geq 0 Leftrightarrow (m-1)^2-(m^2-3m) geq 0 Leftrightarrow m+1 geq 0 Leftrightarrow mgeq -1$.

(Chú ý: Bài toán yêu cầu có 2 nghiệm nên hai nghiệm này có thể bằng nhau hoặc khác nhau)

Với điều kiện có 2 nghiệm của m ở trên thì ta gọi  hai nghiệm là $x_1, x_2$.

Theo hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=2m-2, x_1.x_2=m^2-3m$

Từ $x_1+x_2=2m-2Rightarrow m=dfrac{x_1+x_2+2}{2}$ thay vào tích $x_1.x_2$ ta có:

$ x_1.x_2=m^2-3m$

$ Leftrightarrow x_1.x_2=left(dfrac{x_1+x_2+2}{2}right)^2-3.dfrac{x_1+x_2+2}{2}$

Các em thấy biểu thức trên là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1, x_2$ mà không có tham số m.

Vậy $x_1.x_2=left(dfrac{x_1+x_2+2}{2}right)^2-3.dfrac{x_1+x_2+2}{2}$ chính là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào tham số m.

b. Theo ý (a) thì với $mgeq -1$ phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$.

Theo hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=2m-2, x_1.x_2=m^2-3m$

Theo giả thiết:

$x_1^2+x_2^2 =8$

$Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=8$

$Leftrightarrow (2m-2)^2-2(m^2-3m)=8$

$Leftrightarrow m^2-m-2=0$

$Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=2$  (thỏa mãn điều kiện của $Delta$)

Vậy với $m=-1$ hoặc $m=2$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x_1^2+x_2^2 =8$

 Trên đây là 2 bài toán liên quan tới biện luận nghiệm phương trình có tham số m và hệ thức Viet. Về dạng này thì chỉ xoay quanh điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 và điều kiện sử dụng Viet. Tức là bằng mọi cách các em phải đưa về được tổng và tích hai nghiệm. Khi đó mới biến đổi được và tìm được giá trị m. Chúc các em học tốt.

Tagged

tài liệu ôn thi toán 9

tài liệu ôn thi vào 10 môn toán

ứng dụng hệ thức viet

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive